Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và ACb. Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất..[r]
Trang 1PHÒNG GD-ĐT
NGHĨA ĐÀN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN ( Thời gian 150 phút )
Câu 1: ( 4 đểm)
a) Cho P(x) = a x3 + b.x2 + c.x + d , với a Z*
Biết P(2009) = 2010 ; P(2010) = 2011 Chứng minh rằng : P(2011) – P(2008) là hợp số b) Tìm số tự nhiên a biết rằng trong ba mệnh đề P,Q,R dưới đây có hai mệnh đề đúng
và một mệnh đề sai :
1 P : “ a +21 là số chính phương ”
2 Q : “ Chữ số tận cùng của a là 1”
3 R : “ a – 58 là số chính phương ”
Câu 2: ( 4 điểm)
a) Giải phương trình : x 2 4x - 4 4x + 13 1
b) Giải hệ phương trình sau:
2 2
z = 4 1
Câu 3 : ( 3 điểm) Cho x , y > 0 và x + y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 2 5xy + y 14
Câu 4: ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC (AC>AB) Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC
ở D, E Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC Gọi K là giao điểm của MN và AI Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn
b) Ba điểm D, E, K thẳng hàng
Câu 5 : ( 5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=2cm, có góc BAC = 600 , đường cao AH = 3cm
a Tính diện tích tam giác ABC
b Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất Tính độ dài lớn nhất đó
.Hết
Trang 2PHÒNG GD&ĐT
NGHĨA ĐÀN
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu
Ý
câu ĐÁP ÁN
Biểu điểm
1
(4đ)
a
(2đ)
Ta có : P(2009) = 20093.a + 20092.b + 2009.c + d = 2010 P(2010) = 20103 a + 20102 b +2010.c +d = 2011 Nên P(2010) – P(2009) = (20103 – 20093).a + (20102 – 20092).b + c = (20103 – 20093).a + 4019.b +c = 1
0,5
Do [(20103 – 20093).a] nguyên nên [4019.b +c] cũng nguyên
0,25
P(2011) – P(2008) = (20113 – 20083).a +(20112 – 20082).b + 3c = (20113 – 20083).a +3.(4019.b+c)
0,5
Do (20113 – 20083) chia hết cho 3 và [4019.b +c] nguyên nên [3(4019.b +c)]
chia hết cho 3, suy ra [ P(2011) – P(2008)] chia hết cho 3
0,5
Vì [ P(2011) – P(2008)] 3 nên [ P(2011) – P(2008)] là hợp số 0,25
b
(2đ)
Hai mệnh đề P và Q không thể cùng đúng vì nếu ngược lại thì a có chữ số tận cùng là 1 , nên a + 21có chữ số tận cùng là 2 Vì thế a + 21 không thể là
số chính phương
0,5 Tương tự hai mệnh đề Q và R không thể cùng đúng.Do đó mệnh đề Q sai
và các mệnh đề P và R là đúng
0,25
Theo giả thiết, ta có m, n N sao cho
2 2
21 58
Suy ra m2 – n2 = 79 hay (m + n)(m – n) = 79
0,5
Vì 79 là số nguyên tố , nên
Vậy số cần tìm là a = 402 – 21 = 1579
0,25 2
(4đ)
a
(1,75đ) Giải phương trình : x 2 4x-4 4x+13 1 (1)
ĐKXĐ: x
13 4
0,25
Trang 3Từ ( 1)
x2 4x > 0 x (x+4) > 0 x > 0 hoặc x < -4 Kết hợp ĐKXĐ suy ra : x > 0
0,25 (1)
2 4x 4(-2+ 4x+13) 9
Đặt y 2 4x+13 ( y > 0 ) suy ra (y 2)2 4x+13 y2 +4y – 9 = 4x (2)
0,25
Từ (*) và (2) ta có hệ phương trình
2 2
4x - 9 = 4y
y 4 9 4x
x y
2
Trừ vế ta được (x – y)[(x+y) + 8] = 0 x = y hoặc x + y + 8 = 0(*) 0,25 + Với x = y x2 + 4x – 9 = 4x x2 = 9 x = 3 hoặc x = -3 (loại)
0,25 + Với x + y + 8 = 0 do x > 0 và y > 0 suy ra x + y +8 >0 (*) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
0,25 b
(2,25đ)
Giải hệ phương trình sau:
+ y 7(1)
z = 4(2) 1(3)
Trừ vế theo vế PT (1) cho PT (2) , ta được
y2 – z2 +xy – xz = 3 (y – z)(x + y + z) = 3 (4) Trừ vế theo vế PT(2) cho PT(3) , ta được
x2 – y2 + xz – yz = 3 (x – y)(x + y + z) = 3 (5)
0,25
Từ (4) và (5) (y – z)(x + y + z) = (x – y)(x + y + z)
0,25 Theo (4) thì (x + y+ z) 0 y – z = x – y x + z = 2y x+ y + z = 3y(*) 0,25 Thay vào (5) ta có:
(x – y)(x + y + z) = 3 (x – y).3y = 3 (x – y).y = 1(**)
0,25
*Với y = 0 hệ PT vô nghiệm y 0 Vậy từ (**)
1
x y
y
0,25
Thay
1
x y
y
vào (1) ta có:
2 2
(y ) y (y ).y 7
3y4 –4 y2 +1 = 0 y2 = 1 hoặc y2 =
1 3
y = 1 hoặc y =
3 3
0,25
Trang 4 Với y = 1 x = 2, thay vào (*) z = 0 với (x, y, z) = ( 2, 1, 0)
Với y = -1 x = -2, thay vào (*) z = 0 Với (x ,y, z) = ( -2,-1, 0)
Với y =
3
3 x =
4 3
3 , thay vào (*) z =
2 3 3
Với y =
-3
3 x
=-4 3
3 ,thay vào (*) z =
2 3 3
0,25 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm :
(1, 2, 0),(-1, -2, 0),(
3
3 ,
4 3
3 ,
2 3 3
) , (
3
3 ,
4 3
3 ,
2 3
3 )
0,25
3
(3đ)
3 2 5xy+ y 14
=
6 8 ( )(3x+2y+ )
x
x y
y
0,5
Ta có :
3x+2y+
3
2
y
y
0,5 0,5
0,5
0,25 Suy ra P ( x +y).19 6.19 = 114 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 114 khi
6 3x 6 2
8 2
x y
x y
y
x = 2 và y = 4
0,5
Trang 54
(4đ)
a
(2,5đ)
Vẽ hình đúng
0,5
Ta có : MA = MC, NB = NC (gt) suy ra MN là đường trung bình của
Suy ra NM // AB K 1 A1 A2 KM AM MC, Suy ra AKC 900, 1,0 laị có IEC 900 I, E, K, C thuộc đường tròn có đường kính IC 0,5
b
(1,5đ)
Từ câu a suy ra:
CEK CIK A C
Mặt khác ,
Từ (1) và (2) suy ra CEK CE D 180 0,do đó D, E, K thẳng hàng 0,5 5
(5đ) Vẽ hình đúng
0,5
a
(2đ) Goị M là trung điểm của BC ta có :
60 0
MOC BAC
( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm ) 0,5
Do OC = R = 2 nên MC = OC Sin 600 = 3 0,5
Trang 6Vì vậy SABC =
1
2AH BC = 3 3
0,5
b
(2,5đ)
Ta có : AK = AN ( = AP ) AKN cân tại A 0,25 Lại có : KAN 2.(BAP PAC ) 2.60 0 1200 0,25
KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân
Mà AK = AP 2R KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là
ABP ACP B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN 0,5
BC là đường trung bình của tam giác PKN KN = 2 BC = 4 3 0,5
L
ưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa