Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD.. Gọi SC, SD theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD.. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ABC và
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 1 − + x 1 + + 2 x x − = 2 + 2
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
(m 2)x m+ − ≥ +x 1 có nghiệm thuộc đoạn [-2;2]
Câu 2 (2,0 điểm): Giải hệ phương trình:
2
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: log (4 x + 2 ) log ( y + 4 x − 2 ) 1 y =
Chứng minh rằng: 2x− ≥y 15
b) Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn:
2 2 2 2
(a b c)+ + =2(a + +b c ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a3 b3 c3
(a b c)(ab bc ca)
+ +
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng
HA, HB, HC có phương trình là: x2+ −y2 2x 4y 4 0+ + = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 5 (5,0 điểm)
a) Cho tứ diện ABCD Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Gọi SC, SD theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD
Chứng minh: 2S S sinC D
V
3AB
α
= , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD
b) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=SA'.SB' SB'.SC' SC'.SA'1 + 1 + 1
Đề chính thức
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (3,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x = +3 3mx2− m2
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Câu 2 (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: 20102x + 2010x+ =12 12
b) Giải hệ phương trình :
2
2 2
1 y(x 1) x
x 1 y(x y) x
x
+ = −
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: log (x 2y) log (x 2y) 14 + + 4 − =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x y= −
b) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a b c 1+ + =
ab c+ + bc a+ + ca b+ ≤2
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) Gọi
SC, SD theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD
Chứng minh rằng: 2S S sinC D
V
3AB
α
= , với V là thể tích của khối tứ diện ABCD
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm của AB Trên cạnh AC lấy điểm N, trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2NC, DP = 2PC Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỷ số thể tích của hai phần đó
Hết
-Đề chính thức
Trang 3SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Cho hàm số: y = (x 1 x− ) ( 2+mx m+ ) (1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 12
+ + trên đoạn
[−1;2]
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: cos 122 x+cos 162 x=sin 42 x+sin 82 x+2
b) Giải hệ phương trình:
2 2
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn 8
n 5 3
x
Biết: n 1n 4 n
n 3
C + C 7n 21 0
b) Tìm giới hạn: limx 0cos x 2cos 2x
x
→
−
Câu 4 (5,0 điểm)
Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có
AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là hình chiếu vuông góc của A lên SC
a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C')
b) Tính tỉ số S.ABC' '
S.ABC
V
V , với VS.ABC ' ' và VS.ABC lần lượt là thể tích các khối chóp S.AB'C' và S.ABC
Hết
-Đề chính thức