sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8 .[r]
Trang 1Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01 MễN: Toán
Thời gian làm bài: 180 phỳt
I - PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Cõu I (2 điểm) Cho hàm số yx4 4m 1 x22m 1 cú đồ thị C m
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số khi 3
2
m
2 Xỏc định tham số m để hàm số cú 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giỏc đều
Cõu II (2 điểm) 1.Tỡm nghiệm x 0; của pt:4sin2 x 3sin 2x 1 2cos2 x 3
2 Giải PT và HPT: a)
x y x y
b) 2 3 4 2
3
Cõu III (1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB
= BC = a ; AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600
Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đờng thẳng CDvà SB
Cõu IV (1 điểm) 1 Tớnh tớch phõn:
1 3
2 0
3 4
x x
x x
2.Cho h/s f(x) liờn tục trờn R và f x( ) f x( ) cos 4x với mọi xR Tớnh:I 2 f x dx
2
Cõu V (1 điểm) Cho a,b,c>0 & ab bc ca =1.Tỡm GTNN của : 2 2 2
A
II PHẦN RIấNG (3 điểm)Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giỏc ABC với B1; 2 và đường cao AH cú
phương trỡnh x y 3 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, C của ABC biết C thuộc đường thẳng d
cú phương trỡnh 2x y 1 0 và diện tớch ABC bằng 1.
Cõu VII.a (1 điểm) Trong khụng gian cho điểm I1, 2, 2 và đường thẳng :
2x 2 y 3 zvà mặt phẳng P : 2x 2y z 5 0 Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hỡnh trũn cú chu vi bằng 8 Từ đú lập phương trỡnh mặt phẳng Q chứa và tiếp xỳc với (S)
Cõu VIII.a (1 điểm) Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số phức: 2 2 8
1
z w zw
2 Theo chương trỡnh Nõng cao.
Cõu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng cho ABC cú phương trỡnh cạnh AB: x + y – 3 = 0,
phương trỡnh cạnh AC: 3x + y – 7 = 0 và trọng tõm G(2; 1
3) Viết phương trỡnh đường trũn
đi qua trực tõm H và hai đỉnh B, C.
Cõu VII.b (1 điểm) Trong không gian cho tam giác ABC với A(1; -3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1)
và mặt phẳng (P): x - y - z - 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
MC MB
MA Khi đó tìm toạ độ của M
Cõu VIII.b (1 điểm) Giải hệ phương trỡnh : 2log3 3
ĐÁP ÁN
Trang 2Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
I.2
Ta cú y 4x3 8m 1x 4x x 2 2m 1 .
2
0 0
x y
nờn hàm số cú 3 cực trị khi m > 1
Với đk m > 1 hàm số cú 3 điểm cực trị là:
0 2 1 2 1 4 2 10 5 2 1 4 2 10 5
A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m . Ta cú:
AB AC m m ; BC m
So sỏnh với điều kiện cú 3 cực trị ta suy ra 1 33
2
m
VI
II.a
Vỡ đt BC quaB1; 2 , BCAH pt BC x y: 1 0 , Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ pt: 2 1 0 2 2; 3
C
Gọi A x y 0 ; 0,A AH x0 y0 3 0 1 ; 2, , 0 0 1
2
x y
BC AH d A BC
0 0
0 0
0 0
1 2 2 1
ABC
x y
x y
S AH BC
x y
0
1
1; 2 2
x
A y
Từ (1) và (3) 0
0
3
3;0 0
x
A y
VIII.b
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ pt : 3 0 2
Gọi B(m ; 3 – m), C(n, 7 – 3n)
Do ABC cú trọng tõm G(2; 1
3) nờn cú hệ phương trỡnh:
Từ đú ta cú B(1; 2), C(3; - 2)
Pt đường cao AA1: x – 2y = 0 Pt đường cao BB1: x – 3y + 5 = 0
Toạ độ trực tõm H là nghiệm của hệ pt : 2 0 10 (10;5)
H
Gọi (S) là đường trũn đi qua B, C, H cú pt: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
( a2 + b2 – c > 0)
Do B, C, H (S) nờn ta cú hệ pt :
Vậy pt đường trũn (S) : x2 + y2 – 12x – 4y + 15 = 0
Trang 3Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
III
Gọi H = AC BD =>
SH (ABCD) & BH =
3
1
BD
Kẻ HE AB => AB (SHE) =>
g((SAB);(ABCD)) = SEHã = 60 0
Mà HE =
3
1
AD =
3
2a
=> SH =
3
3
2a
=> V SABCD =
3
1
.SH.S ABCD =
3
3
3
a
Gọi O là trung điểm AD=>ABCO là hv cạnh a =>ACD có trung tuyến
CO =
2
1 AD; CD AC => CD (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO (SAC).=>d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO))
Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH =
3
1
IC =
6
2
a => IS =
6
2 5
2
HS
kẻ CK SI mà CK BO => CK (SBO) => d(C;(SBO)) = CK
Trong tam giác SIC có : SSIC=
2
1 SH.IC =
2
1 SI.CK => CK =
5
3 2
SI
IC SH
Vậy d(CD;SB) =
5
3
V
A
( )( ) ( )( )
1
a a b a c
a b a c
a a b c a b a b a c
a ab bc ca a
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi:
2
2
1
a b a c
a b a c
a a a b a c a a
a b a c a b a c a
b c b a c b c a
b c
A
a b a c b c b a c b c a
3 1
a b a c
b c b a
a b c
c b c a
ab bc ca
VIII.b Điều kiện: y > 0.
Từ phơng trình (1) ta có: x = 3 - log3y thay vào phơng trình (2) ta có:
(2y2 - y +12).33 log 3y= 81y 2 27
(2y y 12) 81y
y
2
y = - 4 (loại) hoặc y = 3 (t/m) khi đó tìm đợc x = 2
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (2; 3)
Khi đó:
Trang 4Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
3
MA MB MC MG GA MG GB MG GC
MG GA GB GC MG GA GB GC
MG GA GB GC
MC MB
MA )min 3.MG2 GA2 GB2 GC2 MG min
M là hình chiếu của G lên (P)
x y z
M= MG ( )P => M(11 2 4
; ;
3 3 3
)
mà 2r.= 8 suy ra r =4 và R2 r2 d2
Trong đú d d I P 3 R2 25
Phương trỡnh mặt cầu (S) : x 12y 22z 22 25
Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xỳc với tại điờm 5; 5 4;
3 3 3
M
Do đú : Mặt phẳng (Q) chứa tiếp xỳc với (S) đi qua 5; 5 4;
3 3 3
M
và cú VTPT
2 11 10
; ;
3 3 3
MI
là :6x 33y 30z 105 0
IV
1.Ta cú:
Đặt: t = x4 3x2 t2 x4 3x2 tdt (2x3 3 )x dx
x = 0 thỡ t = 0; x = 1 thỡ t = 2
2 0
4
t
2 Đặt x = –t 2 f x dx 2 f t dt 2 f t dt 2 f x dx
16
II.1
6
Vỡ x0 ; nờn x=5;x=17;x=5
II.2
2 Hpt
x y
3
Đặt a = 2x; b = y3 (2) a b ab 1 3
Trang 5Các đề tự luyện thi Đại học - Cao đẳng năm 2011 -2012
3 Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) > 0
x2 - 3x + 1 = 2(x2 - x + 1) - (x2 + x + 1) Đặt
2 2
t
, t > 0 Phơng trình trở thành:
2
3
t 3
2 2
x = 1
VIII.a
( ) 2( ) 15 0
z w zw
(a)