Lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGNGUYỄN THỊ THANH THẢO LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng - Năm 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Thảo

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp và cách tiếp cận nghiên cứu 2

6 Tính mới và sáng tạo 2

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

8 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 KHÔNG GIAN METRIC 4

1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 8

1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 10 CHƯƠNG 2 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT 12 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 12

2.2 LÍ THUYẾT XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH 12

2.3 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN C[a;b] 14

2.4 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 23 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT

BÀI TOÁN CỰC TRỊ 283.2 ỨNG DỤNG XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC BẬC NHẤT CHO BÀI

TOÁN CỰC TRỊ 303.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 33

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật, lí thuyết xấp xỉ đềutốt nhất là một trong những lĩnh vực đang nhận được sự quan tâm trongtoán học hiện đại, nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong toán lí thuyếtcũng như trong toán ứng dụng Đối với toán sơ cấp, bằng việc ứng dụng

lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất sẽ cho ta lời giải của bài toán tìm cực trị vàmột số dạng toán khác

Nhằm đem lại một hướng giải quyết trong giải một số dạng Toán ởbậc trung học phổ thông (THPT), xây dựng một tài liệu tham khảo trongviệc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, xử lý một số dạng toán trong nội dungthi đại học, cao đẳng những năm gần đây, mong muốn tìm hiểu về lí thuyếtxấp xỉ đều và ứng dụng trong việc giải một số dạng toán sơ cấp và được

sự gợi ý của người hướng dẫn khoa học, thầy giáo – TS Lê Hải Trung, tácgiả đã chọn đề tài “Lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng" cho luậnvăn thạc sĩ khoa học của mình

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian Banach,trong không gian C[a;b], xấp xỉ bằng đa thức bậc không, xấp xỉ bằng đathức bậc nhất và ứng dụng lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất vào giải toán cựctrị

3 Mục đích nghiên cứu

Từ việc nghiên cứu các bài toán được trình bày một cách cụ thể, xâydựng lời giải tổng quát cho các bài toán đó dựa trên lí thuyết xấp xỉ đềutốt nhất bằng đa thức bậc không và bậc nhất cùng lời giải sơ cấp tươngứng Đây chính là yếu tố góp phần ảnh hưởng đến sự hình thành và pháttriển năng lực giải toán đối với học sinh, đồng thời góp phần bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, một số khái niệm

và kết quả của giải tích hàm, nghiên cứu cách giải quyết bài toán cực trịdựa vào lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và lời giải sơ cấp

5 Phương pháp và cách tiếp cận nghiên cứu

Trong phạm vi của đề tài có sử dụng kiến thức thuộc các lĩnh vực:Giải tích hàm, Lí thuyết Phương trình vi phân, Giải tích

Phương pháp được giới thiệu trong đề tài sẽ đưa ra việc vận dụngmột số ứng dụng của lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất để giải các bài toán sơcấp có bản chất xấp xỉ hàm nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh khá giỏi ở trung học phổ thông

6 Tính mới và sáng tạo

Bên cạnh những lời giải sơ cấp tương ứng, tác giả đã xây dựng đượclời giải tổng quát nhất cho bài toán cực trị thường gặp dựa trên lí thuyêtxấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc không và bậc nhất

Giúp giáo viên có định hướng ra các bài toán tương tự cho học sinhkhá giỏi bằng cách lựa chọn hàm số f (x) cũng như đoạn [a; b] sao cho quátrình tính toán không quá cồng kềnh

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tàiliệu tham khảo để góp phần dạy tốt môn Giải tích ở trường THPT, làmtài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quantâm đến lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì nội dung củaluận văn được chia làm ba chương, trong đó:

Chương 1: Tác giả hệ thống lại các kiến thức cơ sở: nhằm mục đíchphục vụ cho chương 2 và chương 3.

Chương 2: Lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất: Là một trong những nộidung cơ bản của luận văn

Chương này tác giả trình bày một số định lý, định nghĩa về lí thuyếtxấp xỉ đều tốt nhất, xấp xỉ bằng đa thức bậc không, xấp xỉ bằng đa thứcbậc nhất,

Chương 3: Ứng dụng lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất vào giải toán cựctrị

Luận văn được soạn thảo trên phần mềm VieTex với dung lượng 92trang, bởi máy tính Sony Vaio Vpc - Eb33FM/BJ, hệ điều hành Windows

7 Ultimate, 2.67 Hz, Ram 4.0GB

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về khônggian metric, không gian tuyến tính, không gian định chuẩn và không gianBanach Các kiến thức chuyên sâu trong chương 1 có thể xem tại các tàiliệu [2], [6], [9] và các tài liệu phổ biến dành cho bậc đại học hoặc cao hơn

1.1 KHÔNG GIAN METRIC

Định nghĩa 1.1.1.([1]) Cho X cùng với ánh xạ d: X × X −→ R thỏamãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X

2 d(x, y) = 0 ⇔ x = y ∀x, y ∈ X

3 d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X

4 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X

Tập X cùng với ánh xạ d được gọi là một không gian metric và ánh

xạ d được gọi là hàm khoảng cách

n−→∞d (xn, x∗) = 0 và kí hiệu lim

n−→∞xn = x∗

Định nghĩa 1.1.3.([1], [5]) Một dãy điểm {xn} , n = 1, 2, 3, trongkhông gian metric (X, d) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:

1 Chứng minh tồn tại max

2 Kiểm tra d là một metric.

i ∀x = (xn), y = (yn) ∈ X, ta có d(x, y) = max

n∈N ∗|xn − yn| ≥ 0+ Nếu x = y ⇒ xn = yn ∀n ∈ N∗ ⇒ |xn − yn| = 0 ∀n ∈ N∗

⇒ d(x, y) = max

n∈N ∗|xn − yn| = 0+ d(x, y) = 0 ⇒ max

Phải chứng minh d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x)

⇔ max

n∈N ∗|xn − zn| ≤ max

n∈N ∗|xn − yn| + max

n∈N ∗|yn− zn|.Đặt |xn0 − zn0| = max

n∈N ∗|xn − zn|

Ta có|xn0 − zn0| = |xn0 − yn0 + yn0 − zn0| ≤ |xn0 − yn0|+|yn0 − zn0|.Hay d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x)

Từ (i), (ii), (iii) suy ra d là một metric trên X

3 Chứng minh d là một metric đầy đủ

Cho x(p) là một dãy cauchy bất kỳ trong X

Phải chứng minh x(p) hội tụ trong X

∀n > n0, xp0 +1

n , xp0 +1+q

n

≤ d(xp, xp+q) < ε8

xp0 +1

n , xp0 +1+q

n

≤ ε

8, ∀n ∈ N∗.Qua giới hạn khi q → ∞ ⇒ = max

x∈[−1;2]

8 − (2x − 2)2 = 8

Cách 2: Giải bằng toán sơ cấp

+ Bước 1: Trước tiên ta đi tìm GTLN - GTNN của hàm số



|−12 + a| = |4 + a| = 8(−12 + a).(4 + a) ≤ 0

⇔



a = 8

−4 ≤ a ≤ 12 ⇔ a = 4Thử lại: Ta đi kiểm tra với a = 4 thì max

x∈[−1;2]

−4x2 + 8x + a đạt min

Dựa vào bảng biến thiên, ta được: max

x∈[−1;2]

|g(x)| = 8Vậy: với a = 4 thì GTLN của hàm số f (x) = −4x2 + 8x + a trên[−1; 2] đạt GTNN và giá trị đó bằng 8

Nhận xét

CHƯƠNG 2

LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT

Trong chương tác giả trình bày kết quan trọng l? ?thuyết xấp xỉ tốt như: tồn xấp xỉ tốt khônggian Banach, xấp xỉ tốt không gian C[a;b],... 2.3.3.([10]) Đa thức xấp xỉ tốt f ∈ C[a;b] duynhất

Chứng minh Giả sử p, q ∈ Gn xấp xỉ tốt f [a; b].Khi p+q2 ∈ X1 xấp xỉ tốt f [a; b] vì:... class="page_container" data-page="19">

1 Sự tồn xấp xỉ tốt suy từ định lý 2.2.1.

x1 ≡ x2

2.3 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN C[a;b]