Đối ngẫu trong quy hoạch phân thức đa mục tiêu

Chương này nhắc lại một số kiến thức về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin), hàm liên hợp và giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ NGỌC BIÊN

ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu

Hà Nội- 2015

Mục lục

1.1 Tập lồi và tập đa diện lồi 5

1.2 Hàm lồi và hàm phân thức afin 8

1.3 Hàm liên hợp 10

1.4 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 11

2 ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 13 2.1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính 13

2.2 Bài toán đối ngẫu 14

2.3 Định lý đối ngẫu 15

2.4 Ví dụ minh họa 19

3 QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU 21 3.1 Bài toán gốc và bài toán tham số hóa 21

3.1.1 Bài toán gốc 21

3.1.2 Tham số hóa theo Dinkelbach 22

3.2 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange của bài toán vô hướng 24

3.3 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange đa mục tiêu 27

3.4 Ví dụ 35

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đối ngẫu đối với các bài toán tối ưu, với một hay nhiều hàm mục tiêu, là một trong những chủ đề quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa Lý thuyết đối ngẫu trong các bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm phân thức (tỉ số của hai hàm số) được phát triển mạnh mẽ trong vài chục năm gần đây bởi Wolfe (1991), Weir - Mond (1989), Nakayama (1984), Jahn (1983) và Wanka - Bot (2002)

Trường hợp tối ưu phân thức đã được Charnes và Cooper ([6], 1962) nghiên cứu cho các hàm mục tiêu phân tuyến tính Dinkelbach ([7], 1967) đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán phân thức và bài toán tham số hóa Schaible ([9], 1976) đã đưa ra một phép biến đổi cho phép xử lý các bài toán phân thức

Đáng chú ý là Wanka và Bot [10] đã đưa ra đối ngẫu liên hợp mới dựa trên cách tiếp cận nhiễu Sau đó các tác giả [4], [5] đã nghiên cứu quan hệ giữa các khái niệm đối ngẫu này trong qui hoạch phân thức

Bot R I., Charesy R và Wanka G ([3], 2006) đã xét quan hệ đối ngẫu cho một lớp bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu cụ thể là bài toán với nhiều hàm mục tiêu, mỗi mục tiêu là tỉ số của hàm lồi và hàm lõm Trên thực tế, kiểu bài toán này tạo ra một lớp riêng có đặc điểm là các bài toán đó nói chung không lồi

Kaul và Lyall ([8], 1989) đã xây dựng các bài toán đối ngẫu và các kết quả đối ngẫu cho các bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu, nhưng với giả thiêt các hàm khả vi Ohlendorf và Tammer (1994) đã đưa ra đối ngẫu kiểu Fenchel cho bài toán tối ưu véctơ với các hàm mục tiêu phân thức

Để phát triển các kiến thức giải tích đã học, chúng tôi chọn đề tài luận văn:

"Đối ngẫu trong các bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu"

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày về một số kết quả đã

có về đối ngẫu trong các bài toán qui hoạch phân thức, cụ thể là đối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính một mục tiêu và đối ngẫu trong bài toán quy hoạch

phân thức đa mục tiêu không lồi.

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [3] và [7] Nội dung của luận văn gồm ba chương

• Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại kiến thức về tập lồi, tập lồi

đa diện và các tính chất của các tập này; nhắc lại khái niệm hàm lồi, hàm afin

và các tính chất đáng chú ý của hàm afin, hàm liên hơp và giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu cùng một số khái niệm có liên quan

• Chương 2 "Đối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính"trình bày bài toán quy hoạch phân tuyến tính gốc và đối ngẫu, các kết quả của lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính, tương tự như trong quy hoạch tuyến tính Cuối chương nêu một số ví dụ minh họa

• Chương 3 "Quy hoạch phân thức đa mục tiêu" trình bày cách tiếp cận tham số của Dinkelbach ([7]) để đặt tương ứng bài toán ban đầu (gọi là bài toán gốc) với bài toán tối ưu lồi, đa mục tiêu trung gian Sau đó vô hướng hóa bài toán đa mục tiêu trung gian này và xây dựng bài toán đối ngẫu đa mục tiêu tương ứng Trình bày các kết quả về tính đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu đảo của cặp bài toán đối ngẫu Từ đó cho phép nhận được các đặc trưng đối ngẫu đối với các nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu ban đầu

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến

để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán - Cơ - Tin học của nhà trường

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin), hàm liên hợp và giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu cùng các khái niệm có liên quan Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Tập lồi và tập đa diện lồi

A.Tập lồi là một khái niệm quan trọng được dùng rộng rãi trong tối ưu hoá

Định nghĩa 1.1 Tập con C trong Rn được gọi là tập lồi nếu C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó Nói cách khác, tậpC là lồi nếuλa+(1−λ)b ∈

C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1

Ví dụ 1.1 Các tập sau đây đều là các tập lồi:

a) Tập afin, tức là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó b) Siêu phẳng, tức là tập có dạng

H = {x ∈ Rn : aTx = α, a ∈Rn\ {0}, α ∈R}.

c) Các nửa không gian đóng

H 1 = {x ∈Rn : aTx ≤ α}, H 2 = {x ∈Rn : aTx ≥ α}.

d) Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈Rn : ||x − a|| ≤ r}(a ∈Rn, r > 0cho trước)

Từ định nghĩa của tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi (nhưng hợp không đúng!) b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi

c) Nếu C ⊂ Rm, D ⊂ Rn thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là một tập lồi trong Rm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi)

Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1a1 + λ2a2 + + λkak với

ai∈Rn , λi≥ 0, λ1+λ2+ +λk = 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểma1, a2, , ak. b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1a1+ λ2a2 + + λkak với ai ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi là một tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các điểm a1, a2, , ak. Định nghĩa 1.3 Cho E là một tập bất kỳ trong Rn

a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là aff E

Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E

b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là conv E

Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E

Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập afin M, ký hiệu dim M, là thứ nguyên (số chiều) của không gian con song song với nó

b) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dim C, là thứ nguyên hay số chiều của bao afin aff C của nó

B Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay gặp trong lý thuyết tối ưu tuyến tính

Định nghĩa 1.5 Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng gọi là một tập lồi đa diện Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một

hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính:

a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n ≤ b i , i = 1, 2, , m, (1.1) nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (a ij ) ∈Rm×n, b = (b 1 , , b m )T Nhận xét 1.1 Do một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:

a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i , i = 1, 2, , k,

ai1x1+ ai2x2+ + ainxn ≤ bi, i = k + 1, , m, Một tập lồi đa diện có thể bị chặn (giới nội) hoặc không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi Các đa giác

lồi theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông, hình tròn, ) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong R2

Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện K ⊆ Rn được gọi là một nón lồi đa diện nếu

K có thêm tính chất x ∈ K ⇒ λx ∈ K với mọi x ∈ K và mọi λ ≥ 0.(Ví dụ nón

Rn+.)

Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng nào (tức là @ a, b ∈ D sao cho λa + (1 − λ)b ∈ D với mọi λ ∈R) Hai yếu tố chính tạo nên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vô hạn của D Theo giải tích lồi,

có thể hiểu các khái niệm này như sau

Định nghĩa 1.7 Điểm x0∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu

rank{ai : ai, x0= bi} = n (với ai = (ai1, , ain)T, i = 1, , m).

Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D là một đỉnh của D nếu @ x1, x2 ∈ D, x1 6= x0 hoặc x2 6= x0, và @λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1+ (1 − λ)x2, nói một cách khác: x0 không thể là điểm nằm ở trong một đoạn thẳng nào đó nối hai điểm thuộc D Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng[x1, x2], x1 6= x 2 , được gọi là một cạnh hữu hạn của

D nếu x1, x2 là các đỉnh của D và

rank{ai : ai, x1= ai, x2= b i } = n − 1.

Định nghĩa 1.9 Tia Γ = {x0+ λd : λ ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0 ∈ D, d ∈Rn , được gọi là một cạnh vô hạn của D nếu

rank{ai: ai, x= b i , ∀x ∈ Γ} = n − 1.

Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện ta cũng cần biết một số khái niệm sau đây Định nghĩa 1.10 Véctơ d ∈ Rn, d 6= 0, được gọi là một hướng lùi xa của D nếu∃x 0 ∈ D sao cho {x 0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D Tập hợp các hướng lùi xa của D cộng với gốc 0 tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, ký hiệu rec D Định nghĩa 1.11 Hướng lùi xa d của D được gọi là một hướng cực biên nếu không tồn tại hai hướng lùi xa khác d1, d2 sao cho d = λ 1 d1+ λ 2 d2 với λ 1 , λ 2 > 0

Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ khi rec D 6= {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hướng lùi xa

Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng

S = {x ∈Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}với A ∈Rm×n, b ∈Rm, tức S là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập này không chứa đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên S có đỉnh Từ các định nghĩa nêu trên cho thấy:

a) Điểmx0 ∈ Slà một đỉnh củaSkhi và chỉ khi hệ véctơ{a k : ak, x0 = bk}∪{e k :

x0 = 0} có hạng bằng n

b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) của S là các nghiệm cơ sở của hệ Ay ≤

0, eTy = 1, y ≥ 0, trong đó eT = (1, , 1).

c) Giả sử tia Γ = {x0+ λd : λ ≥ 0}, trong đó x0 là một đỉnh và d là một hướng cực biên của S Khi đó Γ là một cạnh vô hạn của S khi và chỉ khi

rank({ak : ak, x = bk, ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1

Định nghĩa 1.12 a) f : C →R xác định trên tập lồi C ⊆ Rn được gọi là một hàm lồi trên C nếu với mọi x1, x2∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có

f [λx1+ (1 − λ)x2] ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

b) g : C →R gọi là hàm lõm trên C nếu f = −g là hàm lồi trên C

Sau đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi với ∅6= C ⊆ Rn là tập lồi: + Hàm chuẩn Euclid ||x|| =phx, xi, x ∈Rn.

+ Hàm chỉ định của tập lồi C :

δC(x) =







0 khi x ∈ C +∞ khi x / ∈ C

+ Hàm tựa của C: sC(x) = sup

y∈C

yTx (cận trên của xTy trên tập lồi C)

+ Hàm khoảng cách từ điểm x ∈Rn tới C: dC(x) = inf

y∈C k x − y k

• Hàm phân thức afin thường gặp trong các bài toán tối ưu Hàm này có dạng

f (x) = p(x)

q(x) =

pTx + α

q T x + β, trong đó p, q ∈Rn, α, β ∈R và dom f = {x ∈Rn : qTx + β > 0}

Ký hiệu S là tập lồi sao cho q(x) = qTx + β 6= 0 với mọi x ∈ S Nếu q(x) có dấu khác nhau trên S, tức là có x, y ∈ S sao cho qTx + β > 0 và qTy + β < 0 thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại z ∈ [x, y],tức z ∈ S, sao cho q(z) = 0.Vì thế, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S Trường hợp q(x) < 0 với mọix ∈ S thì nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x) của hàm f(x) với (- 1) sẽ có q(x) > 0 với mọi x ∈ S

Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân thức afin Định lý 1.1 ([1], tr 78) f (x) = p(x)q(x) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trọn trong tập lồi S = {x : qTx + β > 0}

Chứng minh Lấy hai điểm tùy ýa, b ∈ S và tính giá trị hàm f tại điểm x bất kỳ trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa + (1 − λ)b với 0 ≤ λ ≤ 1 Ta thấy

f (x) = p[λa + (1 − λ)b]

q[λa + (1 − λ)b =

λp(a) + (1 − λ)p(b) λq(a) + (1 − λ)q(b). Đạo hàm của f theo λ :

df (x)

dλ =

1

q 2 (x) ×

p(a) p(b) q(a) q(b)

= p(a)q(b) − p(b)q(a)

q 2 (x) . Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)] Vì thế, khi

λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc đồng nhất bằng hằng số trên [a, b]

Ta nhắc lại rằng hàm khả vi f : Rn → R được gọi là giả lồi nếu với mọi

x, y ∈ S ta có Of (x)T(y − x) ≥ 0 kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa là nếu f (y) < f (x) thì Of (x)T(y − x) < 0 Hàm f được gọi là giả lõm nếu −f là giả lồi

Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân thức afin

Định lý 1.2 ([2], tr 703) Giả sử f (x) = pqTTx+αx+β và S là tập lồi sao cho (qTx + β) 6= 0 trên S Khi đó, hàm f(x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S

Chứng minh Ta để ý rằng hoặc qTx + β > 0 với mọi x ∈ S hoặc qTx + β < 0 với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có a ∈ S, b ∈ S sao cho qTa + β > 0 và qTb + β < 0,

do đó có qTz + β = 0 với z là một tổ hợp lồi của a và b, trái với giả thiết định lý Trước hết ta chứng minh f giả lồi

Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa mãn Of (x)T(y − x) ≥ 0 Ta cần chỉ rõ f (y) ≥ f (x)

Ta có

Of (x) = (q

T x + β)p − (pTx + α)q (q T x + β) 2

Do Of (x)T(y − x) ≥ 0 và do (qTx + β)2 > 0 nên

0 ≤ [(qTx + β)p − (pTx + α)q]T(y − x)

= (pTy + α)(qTx + β) − (qTy + β)(pTx + α)

Vì thế, (pTy + α)(qTx + β) ≥ (qTy + β)(pTx + α) Nhưng do(qTx + β) và (qTy + β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho

(qTx + β)(qTy + β) > 0

ta nhận được

pTy + α

q T y + β ≥ p

T x + α

q T x + β, tức là f (y) ≥ f (x).

Vì thế, f giả lồi Tương tự, có thể chứng minh được rằng Of (x)T(y − x) ≤ 0 kéo theo f (y) ≤ f (x) Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.13 Cho một hàm tùy ý f :Rn →R∪ {±∞} Hàm liên hợp của f được định nghĩa là hàm

f∗(p) = sup

x∈R n

{pTx − f (x)}, p ∈Rn. (1.2) Thực ra, supremum trong(1.2) chỉ cần lấy trên x ∈ domf, bởi vì f (x) = +∞ ∀x / ∈ dom f Hệ thức (1.2) còn được gọi là phép biến đổi Young - Fenchel Từ định nghĩa trên suy ra

f∗∗(x) ≡ (f∗)∗(x) = sup

p∈R n

{pTx − f∗(p)}, x ∈Rn

Mệnh đề 1.1 f∗ :Rn →R∪ {±∞} là hàm lồi, đóng

Tài liệu tham khảo

[1] Bajalinov E B (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software Kluwer Academic Publishers

[2] Bazara M.S et al (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey & Sons, Inc., Publication

[3] Bot R I., Charesy R và Wanka G (2006), Duality for multiobjective fractional programming problems, Nonlinear Analysis Forum 11(2), pp

185 – 201

[4] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in mul-tiobjective optimization (I) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 281-300

[5] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in mul-tiobjective optimization (II) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 301-324

[6] Charnes A,Cooper W W.(1962), Programming with linear fractional functionals Naval Research Logistics Quarterly, Volume 9, Pages 181-186

[7] Dinkelbach W (1967), On nonlinear fractional programming Management Science, Volume 13, Number 7, Pages 492-497

Định lý sau nêu tính chất quan trọng khác hàm phân thức afin

Định lý 1.2 ([2], tr 703) Giả sử f (x) = pqTTx+αx+β... ∈Rn. (1.2) Thực ra, supremum trong< small>(1.2) cần lấy x ∈ domf, f (x) = +∞ ∀x / ∈ dom f Hệ thức (1.2) gọi phép biến đổi Young... p(a)q(b) − p(b)q(a)

q (x) . Dấu đạo hàm phụ thuộc dấu biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)] Vì thế,

λ thay đổi đoạn [0, 1] hàm