Luận văn đối ngẫu trong quy hoạch phân thức đa mục tiêu

MỞ ĐẦULý thuyết đối ngẫu đối với các bài toán tối ưu, với một hay nhiều hàm mụctiêu, là một trong những chủ đề quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa.. Để phát triển các kiến thức giải tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ NGỌC BIÊN

ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu

Hà Nội- 2015

Mục lục

1.1 Tập lồi và tập đa diện lồi 5

1.2 Hàm lồi và hàm phân thức afin 8

1.3 Hàm liên hợp 10

1.4 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 11

2 ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 13 2.1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính 13

2.2 Bài toán đối ngẫu 14

2.3 Định lý đối ngẫu 15

2.4 Ví dụ minh họa 19

3 QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU 21 3.1 Bài toán gốc và bài toán tham số hóa 21

3.1.1 Bài toán gốc 21

3.1.2 Tham số hóa theo Dinkelbach 22

3.2 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange của bài toán vô hướng 24

3.3 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange đa mục tiêu 27

3.4 Ví dụ 35

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đối ngẫu đối với các bài toán tối ưu, với một hay nhiều hàm mụctiêu, là một trong những chủ đề quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa Lý thuyếtđối ngẫu trong các bài toán tối ưu với hàm mục tiêu là hàm phân thức (tỉ số củahai hàm số) được phát triển mạnh mẽ trong vài chục năm gần đây bởi Wolfe(1991), Weir - Mond (1989), Nakayama (1984), Jahn (1983) và Wanka - Bot(2002)

Trường hợp tối ưu phân thức đã được Charnes và Cooper ([6], 1962) nghiêncứu cho các hàm mục tiêu phân tuyến tính Dinkelbach ([7], 1967) đã chỉ ra mốiliên hệ giữa bài toán phân thức và bài toán tham số hóa Schaible ([9], 1976) đãđưa ra một phép biến đổi cho phép xử lý các bài toán phân thức

Đáng chú ý là Wanka và Bot [10] đã đưa ra đối ngẫu liên hợp mới dựa trêncách tiếp cận nhiễu Sau đó các tác giả [4], [5] đã nghiên cứu quan hệ giữa cáckhái niệm đối ngẫu này trong qui hoạch phân thức

Bot R I., Charesy R và Wanka G ([3], 2006) đã xét quan hệ đối ngẫu chomột lớp bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu cụ thể là bài toán với nhiều hàmmục tiêu, mỗi mục tiêu là tỉ số của hàm lồi và hàm lõm Trên thực tế, kiểu bàitoán này tạo ra một lớp riêng có đặc điểm là các bài toán đó nói chung khônglồi

Kaul và Lyall ([8], 1989) đã xây dựng các bài toán đối ngẫu và các kết quảđối ngẫu cho các bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu, nhưng với giả thiêt cáchàm khả vi Ohlendorf và Tammer (1994) đã đưa ra đối ngẫu kiểu Fenchel chobài toán tối ưu véctơ với các hàm mục tiêu phân thức

Để phát triển các kiến thức giải tích đã học, chúng tôi chọn đề tài luận văn:

"Đối ngẫu trong các bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêu"

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày về một số kết quả đã

có về đối ngẫu trong các bài toán qui hoạch phân thức, cụ thể là đối ngẫu trongquy hoạch phân tuyến tính một mục tiêu và đối ngẫu trong bài toán quy hoạch

phân thức đa mục tiêu không lồi.

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [3] và [7].Nội dung của luận văn gồm ba chương

• Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại kiến thức về tập lồi, tập lồi

đa diện và các tính chất của các tập này; nhắc lại khái niệm hàm lồi, hàm afin

và các tính chất đáng chú ý của hàm afin, hàm liên hơp và giới thiệu bài toántối ưu đa mục tiêu cùng một số khái niệm có liên quan

• Chương 2 "Đối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính"trình bàybài toán quy hoạch phân tuyến tính gốc và đối ngẫu, các kết quả của lý thuyếtđối ngẫu trong quy hoạch phân tuyến tính, tương tự như trong quy hoạch tuyếntính Cuối chương nêu một số ví dụ minh họa

• Chương 3 "Quy hoạch phân thức đa mục tiêu" trình bày cách tiếpcận tham số của Dinkelbach ([7]) để đặt tương ứng bài toán ban đầu (gọi là bàitoán gốc) với bài toán tối ưu lồi, đa mục tiêu trung gian Sau đó vô hướng hóabài toán đa mục tiêu trung gian này và xây dựng bài toán đối ngẫu đa mục tiêutương ứng Trình bày các kết quả về tính đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đốingẫu đảo của cặp bài toán đối ngẫu Từ đó cho phép nhận được các đặc trưngđối ngẫu đối với các nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu phân thức đa mục tiêuban đầu

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này còn cónhững thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến

để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giảchân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuậnlợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán - Cơ - Tin họccủa nhà trường

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi,hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin), hàm liên hợp và giớithiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu cùng các khái niệm có liên quan Nội dungcủa chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Tập lồi và tập đa diện lồi

A.Tập lồi là một khái niệm quan trọng được dùng rộng rãi trong tối ưu hoá

Định nghĩa 1.1 Tập con C trong Rn được gọi là tập lồi nếu C chứa trọn đoạnthẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó Nói cách khác, tậpC là lồi nếuλa+(1−λ)b ∈

C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1

Ví dụ 1.1 Các tập sau đây đều là các tập lồi:

a) Tập afin, tức là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nób) Siêu phẳng, tức là tập có dạng

H = {x ∈ Rn : aTx = α, a ∈Rn\ {0}, α ∈R}.

c) Các nửa không gian đóng

H 1 = {x ∈Rn : aTx ≤ α}, H 2 = {x ∈Rn : aTx ≥ α}.

d) Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈Rn : ||x − a|| ≤ r}(a ∈Rn, r > 0cho trước)

Từ định nghĩa của tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi (nhưng hợp không đúng!).b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi

c) Nếu C ⊂ Rm, D ⊂ Rn thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là một tập lồitrong Rm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi).

Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1a1 + λ2a2 + + λkak với

ai∈Rn , λi≥ 0, λ1+λ2+ +λk = 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểma1, a2, , ak.b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1a1+ λ2a2 + + λkak với ai ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi làmột tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các điểm a1, a2, , ak.Định nghĩa 1.3 Cho E là một tập bất kỳ trong Rn

a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là aff E

a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i , i = 1, 2, , k,

ai1x1+ ai2x2+ + ainxn ≤ bi, i = k + 1, , m,Một tập lồi đa diện có thể bị chặn (giới nội) hoặc không bị chặn (không giớinội) Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi Các đa giác

lồi theo nghĩa thông thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông,hình tròn, ) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong R2.

Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện K ⊆ Rn được gọi là một nón lồi đa diện nếu

K có thêm tính chất x ∈ K ⇒ λx ∈ K với mọi x ∈ K và mọi λ ≥ 0.(Ví dụ nón

Rn+.)

Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phương trình tuyếntính (1.1) Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng nào(tức là @ a, b ∈ D sao cho λa + (1 − λ)b ∈ D với mọi λ ∈R) Hai yếu tố chính tạonên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vô hạn của D Theo giải tích lồi,

có thể hiểu các khái niệm này như sau

Định nghĩa 1.7 Điểm x0∈ D được gọi là một đỉnh của D nếu

rank{ai : ai, x0= bi} = n (với ai = (ai1, , ain)T, i = 1, , m).

Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D là một đỉnh của D nếu @ x1, x2 ∈ D, x1 6= x0hoặc x2 6= x0, và @λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1+ (1 − λ)x2, nói một cách khác: x0không thể là điểm nằm ở trong một đoạn thẳng nào đó nối hai điểm thuộc D.Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng[x1, x2], x1 6= x 2 , được gọi là một cạnh hữu hạn của

Có thể chứng minh được rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ khirec D 6= {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hướng lùi xa

Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng

S = {x ∈Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}với A ∈Rm×n, b ∈Rm,tức S là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyếntính Tập này không chứa đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên S có đỉnh Từ cácđịnh nghĩa nêu trên cho thấy:

a) Điểmx0 ∈ Slà một đỉnh củaSkhi và chỉ khi hệ véctơ{a k : ak, x0 = bk}∪{e k :

Định nghĩa 1.12 a) f : C →R xác định trên tập lồi C ⊆ Rn được gọi là mộthàm lồi trên C nếu với mọi x1, x2∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có

f [λx1+ (1 − λ)x2] ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

b) g : C →R gọi là hàm lõm trên C nếu f = −g là hàm lồi trên C

Sau đây là một số ví dụ quen thuộc về hàm lồi với ∅6= C ⊆ Rn là tập lồi:+ Hàm chuẩn Euclid ||x|| =phx, xi, x ∈Rn.

+ Hàm tựa của C: sC(x) = sup

y∈C

yTx (cận trên của xTy trên tập lồi C)

+ Hàm khoảng cách từ điểm x ∈Rn tới C: dC(x) = inf

Ký hiệu S là tập lồi sao cho q(x) = qTx + β 6= 0 với mọi x ∈ S Nếu q(x) có dấukhác nhau trên S, tức là có x, y ∈ S sao cho qTx + β > 0 và qTy + β < 0 thì dohàm q(x) liên tục nên tồn tại z ∈ [x, y],tức z ∈ S, sao cho q(z) = 0.Vì thế, khônggiảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S Trường hợp q(x) < 0với mọix ∈ S thì nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x) của hàm f(x) với (- 1) sẽ cóq(x) > 0 với mọi x ∈ S

Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân thức afin.Định lý 1.1 ([1], tr 78) f (x) = p(x)q(x) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳngnằm trọn trong tập lồi S = {x : qTx + β > 0}

Chứng minh Lấy hai điểm tùy ýa, b ∈ S và tính giá trị hàm f tại điểm x bất kỳtrên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa + (1 − λ)b với 0 ≤ λ ≤ 1 Ta thấy

f (x) = p[λa + (1 − λ)b]

q[λa + (1 − λ)b =

λp(a) + (1 − λ)p(b) λq(a) + (1 − λ)q(b).Đạo hàm của f theo λ :

p(a) p(b) q(a) q(b)

= p(a)q(b) − p(b)q(a)

q 2 (x) .Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b) − p(b)q(a)] Vì thế, khi

λ thay đổi trong đoạn [0, 1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc đồng nhấtbằng hằng số trên [a, b]

Ta nhắc lại rằng hàm khả vi f : Rn → R được gọi là giả lồi nếu với mọi

x, y ∈ S ta có Of (x)T(y − x) ≥ 0 kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa là nếu f (y) < f (x)thì Of (x)T(y − x) < 0 Hàm f được gọi là giả lõm nếu −f là giả lồi

Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân thức afin

Định lý 1.2 ([2], tr 703) Giả sử f (x) = pqTTx+αx+β và S là tập lồi sao cho (qTx + β) 6= 0 trên S Khi đó, hàm f(x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S

Chứng minh Ta để ý rằng hoặc qTx + β > 0 với mọi x ∈ S hoặc qTx + β < 0 vớimọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có a ∈ S, b ∈ S sao cho qTa + β > 0 và qTb + β < 0,

do đó có qTz + β = 0 với z là một tổ hợp lồi của a và b, trái với giả thiết định lý.Trước hết ta chứng minh f giả lồi

Thật vậy, giả sử x, y ∈ S thỏa mãn Of (x)T(y − x) ≥ 0 Ta cần chỉ rõ f (y) ≥ f (x)

Ta có

Of (x) = (q

T x + β)p − (pTx + α)q (q T x + β) 2

Do Of (x)T(y − x) ≥ 0 và do (qTx + β)2 > 0 nên

0 ≤ [(qTx + β)p − (pTx + α)q]T(y − x)

= (pTy + α)(qTx + β) − (qTy + β)(pTx + α)

Vì thế, (pTy + α)(qTx + β) ≥ (qTy + β)(pTx + α) Nhưng do(qTx + β) và (qTy + β)cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho

f∗∗(x) ≡ (f∗)∗(x) = sup

p∈R n

{pTx − f∗(p)}, x ∈Rn

Mệnh đề 1.1 f∗ :Rn →R∪ {±∞} là hàm lồi, đóng

Chứng minh Với mỗix cố định, g(p, x) = pTx − f (x) là một hàm tuyến tính afintrên Rn (theo biến p) Do f* là hàm cận trên của họ hàm tuyến tính afin (lấytrên x ∈ Rn) nên f* là một hàm lồi Mặt khác, tập trên đồ thị epi f* là giao(phần chung) theo mọi x ∈Rn của các tập trên đồ thị của các hàm tuyến tínhafin g(p, x), nghĩa là giao của các tập lồi (cụ thể là các nửa không gian đóng).

Vì vậy, epi f* là một tập lồi đóng, do đó f* là một hàm lồi, đóng

Ví dụ 1.2 a) Hàm liên hợp của hàm f (x) = δC(x) (hàm định chỉ của C) làhàm:

đó, ta có

a) f (x) + f∗(p) ≥ pTx ∀x ∈Rn, ∀p ∈Rn (bất đẳng thức Young - Fenchel)

b) f∗∗(x) ≤ f (x) ∀x và f∗∗ = f ⇔ f lồi, đóng (Định lý Fenchel - Moreau)

c) f∗∗(x) = sup{h(x) : h tuyến tính afin, h ≤ f }, nghĩa là f**(x) là hàm lồi lớnnhất, không đâu vượt quá f(x): f∗∗ = convf (hàm bao lồi đóng của hàm f)

1.4 Bài toán tối ưu đa mục tiêu

Mục này giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu, đó là bài toán có dạng:

x∈X {f1(x) , f2(x) , , fp(x)} ,trong đófk :Rn →R, k = 1, , p,là các hàm số cho trước vàX ⊆Rn là một tập lồiđóng cho trước Thông thường X ≡ {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm}

là tập lồi đa diện hoặc X ≡ {x ∈Rn : gi(x) ≤ 0, i = 1, , m, gi :Rn →R- hàm lồi} là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức lồi

Các hàm fk được gọi là hàm mục tiêu (có tất cả p mục tiêu), tập X được gọi làtập ràng buộc hay miền chấp nhận được của bài toán Ta giả thiết tập X 6=∅ Tùy theo dạng của các hàm mục tiêufk(x), người ta thường phân ra một số lớpbài toán tối ưu đa mục tiêu sau đây:

• Tối ưu tuyến tính đa mục tiêu: khi fk, k = 1, , p là hàm tuyến tính, tức là

fk(x) = (ck)Tx với ck ∈Rn Ký hiệu C là ma trận cấpp × n với véctơ hàng thứ k

là (ck)T Khi đó, bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu được viết thành

• Tối ưu lồi đa mục tiêu: khi fk, k = 1, , p là hàm lồi, tập X lồi đóng

• Tối ưu phân thức đa mục tiêu: khi fk(x) = uk (x)

v k (x) , k = 1, , p, trong đó uk, vk làcác hàm số cho trước Bài toán có dạng:

Trường hợp riêng khi uk, vk là các hàm tuyến tính afin, bài toán được gọi là quyhoạch phân tuyến tính đa mục tiêu

• Tối ưu đa mục tiêu phi tuyến, không lồi: khi fk, k = 1, , p, là các hàm phituyến nói chung

Trong các bài toán tối ưu đa mục tiêu, người ta thường dùng các định nghĩa sauđây về nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP)

Định nghĩa 1.14 Ta nói x0 ∈ X là một nghiệm hữu hiệu (efficient solution)của (VP) nếu không có x ∈ X với fk(x) ≤ fk(x0) với mọi k = 1, , p và

fj(x) < fj(x0) với ít nhất một j ∈ {1, , p}

Định nghĩa 1.15 Ta nói x0 ∈ X là một nghiệm hữu hiệu yếu (weak efficientsolution) của (VP) nếu không có x ∈ X sao cho fk(x) < fk(x0) với mọi k =1, ,p Ta còn nóix0 ∈ X là một nghiệm hữu hiệu lý tưởng (ideal efficient solution)nếu fk(x0) ≤ fk(x) với mọi x ∈ X

Rõ ràng một nghiệm hữu hiệu cũng là nghiệm hữu hiệu yếu, nhưng điều ngượclại không chắc đúng

Các loại nghiệm hữu hiệu khác cũng sẽ được đề cấp tới ở Chương 3 (Định nghĩa3.2 - 3.4)

Tóm lại, chương này đã trình bày vắn tắt một số kiến thức cần thiết về tập lồi,tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm phân thức afin, hàm liên hợp và giới thiệu bài toántối ưu đa mục tiêu cùng các dạng cụ thể của bài toán

Chương 2

ĐỐI NGẪU TRONG QUY

HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH

Chương này đề cập tới bài toán đối ngẫu của bài toán quy hoạch phân tuyếntính đã cho (gọi là bài toán gốc) Bài toán đối ngẫu cũng là một quy hoạch phântuyến tính Các định lý đối ngẫu nêu mối liên hệ giữa hai bài toán sẽ được phátbiểu và chứng minh Lý thuyết đối ngẫu được dùng để xây dựng các điều kiệntối ưu Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và[10]

Chương này tập trung xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính có dạng:

(LFP) min{f (x) = p(x)q(x) = pqTTx+αx+β : Ax ≤ b, x ≥ 0, qTx + β > 0},

trong đó p, q ∈ Rn, α, β ∈ R, A ∈Rm×n, b ∈ Rm Trong nhiều ứng dụng thườngtập ràng buộc S = {x ∈Rn : Ax ≤ 0, x ≥ 0} kéo theo qTx + β > 0

Tương tự, có thể xét bài toán tìm cực đại: max{f (x) : x ∈ S}

Quy hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của quy hoạch phân tuyến tínhkhi q = 0 và β = 1 Trong [1] phân tích một số trường hợp riêng khác cho phépđưa bài toán quy hoạch phân tuyến tính về bài toán tuyến tính thích hợp.Sau đây là một số khái niệm và định nghĩa cần thiết, tương tự như trong lýthuyết quy hoạch tuyến tính

Trong bài toán (LFP), f (x) gọi là hàm mục tiêu Tập S gọi là tập ràng buộchay miền chấp nhận được Véctơ x ∈ S gọi là một phương án hay nghiệm chấpnhận được, một phương án mà đồng thời là đỉnh của tập ràng buộcS gọi là mộtphương án cực biên hay nghiệm cơ sở Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm

mục tiêu f (x) gọi là một phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu.

Ta nói bài toán (LFP) là bất khả thi hay không chấp nhận được nếu tậpS =∅,bài toán gọi là giải được nếu tập S 6= ∅ và hàm f (x) có infimum hữu hạn (đốivới bài toán min) trên S Nếu hàm mục tiêu f (x) không bị chặn dưới trên S thìbài toán được gọi là không bị chặn dưới ( inf

x∈S f (x) = −∞).Với bài toán quy hoạch phân tuyến tính, có thể xẩy ra các trường hợp sau:

a Tập ràng buộc S =∅ (bài toán bất khả thi).

b Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của S)

c Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của S)

d Có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực (đạt tại một diện vô hạn của S)

e Nghiệm tối ưu tiệm cận (f∗= inf

x∈S f (x) > −∞ và @x∗ ∈ S : f (x∗) = f∗)

f Không có nghiệm tối ưu ( inf

x∈S f (x) = −∞- bài toán không bị chặn dưới)

2.2 Bài toán đối ngẫu

Xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính gốc, ký hiệu (P 1):

Định nghĩa 2.1 Đối ngẫu của (P1) là bài toán xác định như sau, ký hiệu (D1):(D1) g(u, v) = cdTTu+αu+β → min với các điều kiện

c.dTu − d.cTu − ATv ≤ αd − βc, (2.2)α.dTu − β.cTu + bTv ≤ 0. (2.3)

u ≥ 0, v ≥ 0, u ∈Rn, v ∈Rm.

2.3 Định lý đối ngẫu

Định lý 2.1 (Đối ngẫu yếu) Nếu x là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của(P1) và (u, v) là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (D1) thì f (x) ≤ g(u, v).Chứng minh Nhân bên trái hai vế của (2.2) với xT ≥ 0, ta có

cTx.dTu − dTx.cTu − xTATv ≤ αdTx − βcTx (2.4)Nhân bên trái hai vế của (2.1) với vT ≥ 0 và sử dụng (2.3) ta nhận được

Hệ quả 2.1 Nếu x là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (P 1) và (u, v)

là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (D 1) sao cho f (x) = g(u, v) thì x lànghiệm tối ưu của (P1) và (u, v) là nghiệm tối ưu của (D1)

Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.1

Định lý 2.2 (Đối ngẫu thuận) Nếu x ˆ là một nghiệm tối ưu của (P1) thì tồntại nghiệm tối ưu (u ˆ ,ˆ v) của (D1) sao cho f (ˆ x) = g(ˆ u, ˆ v).

Chứng minh Đặt

λ = c

T x + α ˆ

d T x + β ˆ .Xét quy hoạch tuyến tính

(D2) bTv + (α − λβ) → min

với điều kiện

ATv ≥ c − λd,

v ≥ 0, v ∈Rm.Giả sửv ˆ 1 là một nghiệm của (D 2) Theo lý thuyết đối ngẫu của quy hoạch tuyếntính

bTv ˆ1+ (α − λβ) = 0. (2.6)Đặt u = ˆ ˆ x và v = ˆ ˆ v1(dTx + β) ˆ

c.dTu − d.c ˆ Tu − A ˆ Tˆ v ≤ c.dTx − d.c ˆ Tx − (c − λd)(d ˆ Tx + β) ˆ

= c.dTx − d.c ˆ Tx − c(d ˆ Tx + β) + d(c ˆ Tx + α) = αd − βc ˆNhân (2.6) với (dTx + β ˆ ), ta được

nên theo Hệ quả 2.1, (u, ˆ ˆ v) là một nghiệm tối ưu của (D1)

Định lý 2.3 (Đối ngẫu đảo) Nếu (u, ˆ ˆ v) là một nghiệm tối ưu của (D 1) thì tồntại nghiệm tối ưu x ˆ của (P 1) sao cho f (ˆ x) = g(ˆ u, ˆ v).

−α.dTy + β.c ˆ Ty + (α − λβ) = 0 ˆ (2.9)

Ta chỉ raµ 6= 0 ˆ Thật vậy, nếuµ = 0 ˆ thì từ (2.8) suy raAˆ y ≤ 0, ˆ y ≥ 0 Do giả thiết

S 6= ∅ nên tồn tại x ∈ S sao cho Ax ≤ b, x ≥ 0 Khi đó, A(x + tˆ y) ≤ b, x + tˆ y ≥ 0với mọi t > 0 Chứng tỏ x + tˆ y ∈ S với mọi t > 0, ta gặp mâu thuẫn nếu y 6= 0 ˆbởi vì S được giả thiết là bị chặn

Nếu cả hai µ = 0 ˆ và y = 0 ˆ thì từ (2.9) suy ra α − λβ = 0. Từ (2.7) ta thấy c ≥ λd.Giả sử x là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (P1) Khi đó cTx ≥ λdTx và

cTy.d ˆ Tu − d ˆ Ty.c ˆ Tu − αd ˆ Ty + βc ˆ Ty + αˆ ˆ µ.dTu − β ˆ ˆ µ.cTu = 0 ˆ

Theo Hệ quả 2.1, là nghiệm tối ưu của bài toán (P1).

Chú ý 2.1 Định lý đối ngẫu đảo có thể được suy trực tiếp từ định lý đốingẫu thuận Thật vậy, giả sử (u, ˆ ˆ v) là một nghiệm tối ưu của (D1) Do S là tậpcompac nên (P1) phải có nghiệm tối ưu hữu hạn, chẳng hạn Theo định lý đốingẫu thuận, tồn tại nghiệm tối ưu (u ˆ 1 , ˆ v 1) của (D 1) sao cho f (ˆ x) = g(ˆ u 1 , ˆ v 1) Dođó

f (ˆ x) = g(ˆ u1, ˆ v1) = g(ˆ u, ˆ v).

Chú ý 2.2 Ta không dùng đến giả thiết tập S bị chặn trong chứng minh định

lý đối ngẫu yếu và đối ngẫu thuận Ngay cả trong định lý đối ngẫu đảo, ta cóthể thay giả thiết này bằng giả thiết yếu hơn như sau:

Ay ≤ 0, y ≥ 0 kéo theo y = 0.

Nhận xét 2.1 Bài toán (P1) tương đương với bài toán (Q1) sau đây

(Q 1) f (x) = cTx+αxn+1

d T x+βx n+1 → minvới các điều kiện

Az − λb ≤ 0,

x, z, λ ≥ 0, x, z ∈Rn, λ ∈R.Một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của (P1) cho một nghiệm chấp nhận đượccủa (R1) nếu ta chọn z = x và λ = 1 Hơn nữa, hai giá trị mục tiêu là bằngnhau Nhưng điều ngược lại không đúng Như vậy, đối ngẫu của (D1) khôngtương đương với (P1)

Nhận xét 2.3 Lý thuyết đối ngẫu trên đây dẫn tới điều kiện cần và đủ đểmột nghiệm chấp nhận được x của bài toán gốc là nghiệm tối ưu Từ chứng minhđịnh lý đối ngẫu thuận và định lý đối ngẫu yếu, dễ dàng thấy rằng một nghiệmchấp nhận được x của (P1) là nghiệm tối ưu của (P1) khi và chỉ khi tồn tại véctơ

v ≥ 0, v ∈Rmsao cho

c.dTx − d.cTx − ATv ≤ αd − βc, α.dTx − β.cTx − bTv ≤ 0.

Trong hai điều kiện trên, điều kiện đầu là điều kiện cần tối ưu Tucker (điều kiện KKT) đối với bài toán (P1)

• Bài toán gốc:

f (x) = 3x1+ 3x2+ 2x3+ 1

2x1+ x2+ x3+ 1 → maxvới các điều kiện

−3u 2 − u 3 − 2v 1 − v 2 ≤ −1 3u1+ u3− 5v1− 2v2≤ −2,

u1− u2− v1− 3v2 ≤ −1,

−u1− 2u2− u3+ 2v1+ 3v2 ≤ 0,

u1≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0, v1 ≥ 0, v2≥ 0.

Lời giải của bài toán này là u 1 = 0, u 2 = 133, u 3 = 1113, v 1 = 137 , v 2 = 131 và giá trị tối

ưu của hàm mục tiêu là g min = 4427 Một nghiệm tối ưu khác là: