[r]
Trang 1đề thi HSG : môn toán lớp 9
Câu 1: (2đ)
Rút gọn biểu thức : A = 6 2 2 3 2 12 18 128
Câu 2: (2đ)
Giải phơng trình : x2 +3x +1 = (x+3) x 2 1
Câu 3: (2 đ) Giải hệ phơng trình
2 2
3 3
1 3
Câu 4: (2đ)
Cho PT bậc hai ẩn x :
X2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0
c/m : PT có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1
Gọi x1 , x2 là nghiệm của PT c/m
x x x x1 2 1 2 9
8
Câu 6 : (2đ) : Cho parabol y = 1 2
4x và đờn thẳng (d) : y =
1 2
2x
a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ
b/ Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy Tìm M trên
AB của (P) sao cho SMAB lớn nhất
Câu 7: (2đ)
a/ c/m : Với số dơng a
thì
2
2
Câu 8 ( 4 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đờng tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠
O ) Tia OM cắt (O) tại C Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’)
a/ Chứng minh rằng tam giác AMD cân
b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E Xác định vị trí tơng đối của đơng thẳng EA đối với (O) và (O’)
c/ Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng
d/ Tại vị trí của M sao cho ME // AB hãy tính OM theo a
Câu 9 ( 1 điểm ): Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên , bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác bằng 1 Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Đáp án.
Câu 1:( 2 điểm):
Rút gọn : A= 6 2 2 3 2 12 18 128
= 6 2 2 3 2 12 4 2 = 6 2 2 3 4 2 3
= 6 2 2 2 3 = 6 2 4 2 3 = 6 2 3 1 = 3 1
Trang 2Câu 2: (2điểm)
Phơng trình về dạng
( x2 1 3 x2 1 x 0 (0,5đ)
=>
2
2
1 3
1
x
(0,5đ) =>
2
1 9
1
x
(0,25đ)
=> x 2 2 (0,75đ)
Câu 3: ( 2điểm)
Giải hệ phơng trình
2 2
3 3
1(1)
3 (2)
x y xy
Do x2 y2 xy 1
(2) <=> x3 y3 x 3y x 2 y3 xy (0,5đ)
<=> 2 2
2y x x y 0
2
2
2 0
0
y
x x y
(0,5đ)
y
x y y
(0,5đ) (x,y) = 1,0 ; 1,0 (0,5đ)
Câu 4: (2điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2 2
2006 2007
x x
2
2007 2013 2013
1
2007 2007
x
A
(0,5đ)
Amin 22013
2007
x Max
2 2007
x
Min
x = 0 (0,75đ)
Vậy A nhỏ nhất = 2013 2006
1
2007 2007
(0,75đ) Khi x = 0
Câu 5 : (2đ)
Phơng trình : x2 2m 1x 2m2 3m 1 0
* Có nghiệm : ' m 12 2m2 3m 1 0
m2 m 0 m m 1 0
0
1 0
0
1 0
m
m
m m
m
b/ Khi 0 m 1 Theo định ly viét ta có
Trang 3A o ’ k o b
c
m
n
h
1 2
2
1 2
2 1
2 3 1
2
m
m m
Vì 0 m 1 1
4 m
-1
4
3 4
=>
2
1
4
m
9 16
Do đó Q =
2
2
16 m 2 8
Câu 6: (2điểm)
a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ đúng , chính xác
b/ HS Xác định đợc phơng trình đờng thẳng (d’) có phơng trình : y = 1
2x m
(d’) tiếp xúc với (P)
PT : 1 2 1
4x 2x m Có nghiệm kép
x2 2x 4m 0 Có nghiệm kép
' 0
4
m
Hoành độ tiếp điểm x =1 y=1
4
Do đó ta có tiếp điểm M( -1 ; 1/4) dễ dàng c/m với vị trí này SMAB là nhỏ nhất
Câu 7 : (2 điểm )
a/ Ta có :
2
2 2
0
a a a a a a a a
Do đó
2
2 2
b/ áp dụng c/m câu a ta có :
1 1 1 1
2 2 3 2006 2007
S = 1
2007
2007
Câu 8 : (4điểm)
Vẽ hình viết giả thiết : cân đối sạch đẹp (0,5đ)
a/ Ta có tam giác OAC cân tại O
Có ODAC nên MOD DOA => MD =AD
Hay tam giác DAM cân tại D (0,5đ)
b/ Ta c/m đợc AOE COE c g c( )
=> EAO ECO 90 0 (0,5đ)
Trang 4Hay EAAB Chứng tỏ EA là tiếp tuyến
của (o) và (o’) (0,5đ)
c/ Giả sử AM cắt (o) tại N’ vì :
2
AOC ANC nên COH CN A ' (0,5đ)
=> CHO N' là nội tiếp
Do đó N’ =N hay A, M, N thẳng hàng (0,5đ)
d/ Dựng MKOA vì EM //AB nên MEOcân tại M và AEMKlà hình chữ nhật (0,5đ) Đặt ME = MO = x
Ta có MO2 AO2 AM2 AO2 AO AK.
=AO2 AO ME. (0,25đ)
x2 a2 ax
1 5 1
2
x (0,25đ)
Câu 9: (2điểm)
Gọi x, y, z lần lợt là các đờng cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác
Nhận xét : Đờng cao của tam giác luôn lớn hơn đờng kính của đờng tròn nội tiếp tam giác đó : tức là 2< x ; 2 < y ; 2< z (0,25 đ)
Vì x ,y, z z nên x 3 ; y 3 ; z 3 (0,25đ)
=> 1 1 1
x yz
1 1 1
1
3 3 3 (1) (0,5đ)
Mặt khác : 1 1 1
xyz
1 1 2
a b c a b c
ax by cz S ABC r
Từ (1) và (2) => x = y= z
Hay tam giác ABC đều (0,5đ)