Gián án ĐỀ THI HS GIỎI TP DALAT (10-11)

Chứng minh rằng :MDN=CDB .. Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E.. Chứng minh rằng BD = BE... Chứng minh rằng :MDN=CDB ... 2 là số nguyê

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 1 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2010-2011

Ngày thi : 06 tháng 1 năm 2011

Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề )

Câu 1 : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =

2 2

 

 

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Câu 3 : (1,5đ) ChoΔABCABC có A 120  0 Chứng minh rằng: BC = AB +AC + AB.AC2 2 2

Câu 4 : (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3AD Trên cạnh AB lầy các điểm M, N

sao cho AM=MN=NB Chứng minh rằng :MDN=CDB 

Câu 5 : (1,5đ) Cho x+ y = a ; x2 + y2 =b ; x3 + y3 = c Chứng minh rằng : a3 – 3ab + 2c = 0

Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh rằng : x2011y2011a2011b2011

Câu 7 : (2đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

BC (B O ,C O' ).Tính độ dài BC

Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số 5 7

7 10

n n



 tối giản (n N  )

Câu 9 : (1,5đ) Tính giá trị biểu thức P = 10 3 11  10 3 11 .

Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011 Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1,

2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương

Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABCABC có 3 góc nhọn H là trực tâm Vẽ đường tròn đường kính AB cắt

CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E Chứng minh rằng BD = BE

Câu 12 : (1,5đ)Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó

- HẾT

-HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2009-2010

Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn : TỐN

Câu 1 : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = 322 8 11

 

 

Biến đổi A=   

2 2

A =   

1 3 11

2 3 11

A = 

1 2

x x



Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Hai số chẵn liên tiếp cĩ dạng 2n và 2n+2 (nZ ),

tích của chúng là 2n.(2n+2)=4n(n+1) 0,5đ

n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên cĩ 1 số chia hết cho 2 n(n+1) chia hết cho 2 0,5đ

 4n(n+1) chia hết cho 8 0,5đ

Câu 3 : (1,5đ) ChoΔABCABC cĩ A 120  0 Chứng minh rằng: BC = AB +AC +AB.AC2 2 2 .

Vẽ CH vuơng gĩc với đường thẳng BA

CAH=60 AH= AC;CH= AC 1

ΔABCBHC vuơng  BC2  BH2CH 22  

Từ (1), (2)  BC2  AB+AH 2CH 2

2 2

BC AB+ AC + AC

0,5đ

Câu 4 : (2 đ) Cho hình chữ nhật

ABCD cĩ AB =3AD Trên cạnh AB lầy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB Chứng minh rằng :MDN=CDB  .

Chứng minh MB MD BD 2

 MBD đồng dạng MDN (c-c-c) MBD MDN  0,5đ

Cĩ MBD BDC slt    MDN=CDB 0,5đ

Câu 5 :(1,5đ) Cho x+ y = a ; x2 + y 2 =b ; x 3 + y 3 = c Chứng minh rằng : a 3 – 3ab + 2c = 0

BC =AB +AB.AC+ AC + AC = AB +AB.AC+AC

C D

B M

120

H

C

A B

 3      

a  3ab2c x+y - 3 x+y x +y +2 x +y

        0,75đ

0,75đ

Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x2 + y 2 = a 2 + b 2 Chứng minh rằng : 2011 2011 2011 2011

x y a b

x2 + y2 = a2 + b2  x2 – a2 = b2 - y2  (x – a)(x + a) = (b – y)(y + b).(1) 0,5đ mặt khác x + y = a + b  x – a = b – y (2)

Từ (1),(2)=> (x – a)(x + a) =(x – a)(y + b)  (x – a) (x + a) - (x – a)(y + b) = 0 0,5đ

 (x – a)[x + a –(y + b)] = 0

Từ đó suy ra hoặc x – a = 0 thì b – y = 0 nên x = a và y = b, 0,5đ hoặc x + a – (y + b) = 0 thì x + a = y + b mà x – a = b – y, nên 2x = 2b,

do đó x = b, suy ra y = a Vậy x2011y2011a2011b2011 0,5đ

Câu 7 : (1,5đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài BC (B O ,C O' ).Tính độ dài BC

Vẽ O’D//BC =>BCO’D là hình chữ nhật BC = O’D 0,5đ

 O'D= OO' -OD2 2  BC= OO' - OD2 2 0,5đ

 BC= 8 + 4,5 - 8 - 4,5 2  2  BC= 12,52 3,5 =12 cm2   0,5đ

Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số 5 7

7 10

n n



 tối giản (n N  )

Gọi d là ước chung lớn nhất của 5n + 7 và 7n + 10 ; dN

 (5n 7) d (35n 49) d

(7n 10) d (35n 50) d



0,5đ 0,5đ

 phân số 5 7

7 10

n n



 tối giản (n N  ) 0,5đ

Câu 9 : (1,5đ)) Tính giá trị biểu thức P = 10 3 11  10 3 11 .

P 2= 2 10 3 11   10 3 11  = 20 6 11  20 6 11 0,5đ =  11 3 2   11 3 2 0,5đ = 11 3  11 3 =  11 3   11 3 = –6

Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011.

C B

D

x y x  2 2xy y2 3x2 3y2 2x2 2xy 2y2

x y 3x2 3y2 3x2 3y2 2xy 2xy x y.0 0

Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.

* 2N-1 = 2.1.3.5.7…2011 – 1

Có 2N  3  2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)

* 2N = 2.1.3.5.7…2011

Vì N lẻ  N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4

(2 là số nguyên tố)  2N không là số chính phương 0,5đ

* 2N+1 = 2.1.3.5.7…2011 + 1

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1

 2N+1 không là số chính phương 0,75đ

Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABCABC có 3 góc nhọn H là trực tâm Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E Chứng minh rằng BD = BE.

Vẽ các đường cao AI , CK

Cm ΔABCADBvuông tại D 2

BD =BK.BA (1)

 0,5đ

Cm ΔABCBECvuông tại E 2

BE =BI.BC (2)

Cm ΔABCBIA đồng dạng ΔABCBKC

BI BA

= BI.BC=BK.BA (3)

BK BC

Từ (1),(2), (3)  BD =BE2 2  BD=BE 0,5đ

Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng

tổng lập phương các chữ số của số đó.

ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab

 9a + 3ab =( a + b )2 –(a+b)  3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) 0,5đ

a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó

a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a

a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b 0,5đ

 a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7

Vậy ab = 48 hoặc ab = 37 0,5đ

- HẾT

-Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.

E

D H

I

K

A