Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường gặp (PT chỉ có một hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất với sinx, cosx như đã trình bày ở trên) thì các[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp thường gặp để giải một phương trình (PT) lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác
“Hợp lí” để đưa về PT quen thuộc đã biết cách giải như: PT cơ bản, PT bậc hai hoặc bậc cao đối với một hàm
số lượng giác, PT đối xứng hoặc bậc nhất đối với sinx, cosx cốt lõi của vấn đề là cần nắm vững, sử dụng thành thạo các công thức lượng giác
Ta nói biến đổi “Hợp lí” vì các phép biến đổi lượng giác thường rất đa dạng và cho nhiều kết quả khác nhau Thí dụ: Nếu cần biến đổi sin 4x cos 4x, thì tùy thuộc theo đề bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các kết quả sau:
4
4 cos 3 2
2 cos 1 2 sin 2
1 1 cos sin
2 2
4
x x
2
1 cos
2
1 1 cos
sin2x
2
1 cos sin 4 x 4 x x cần lấy KQ
2
2 cos 1 cos
x
x để đưa về PT bậc hai với cos2x
2
1 cos sin 4 x 4x x cần lấy KQ
4
4 cos 3 cos
x
x để đưa về PT bậc nhất với sin4x, cos4x Việc phân loại bài tập dưới đây chỉ mang tính tương đối vì các bài toán PT lượng giác là khá phong phú
về thể loại và phương pháp giải
§1. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PT CƠ BẢN: sin f(x) sing(x), cos f(x) cosg(x)
a Lưu ý
*
4
4 cos 3 2
2 cos 1 2 sin 2
1 1 cos sin
2 2
4
x x
8
4 cos 3 5 4
2 cos 3 1 2 sin 4
3 1 cos
sin
2 2
6
x x
* Nếu trong PT có chứa các biểu thức dạng 3 sinx cosx, sinx 3 cosx thì dùng phép biến đổi sau:
6 cos 2 3 sin 2 cos
3
3 cos 2 6 sin 2 cos sin
x
b Bài tập
1/
8
3 3 cos sin 3 sin
.
x
4
1 cos
3/
4
1 4 cos sin
3 sin cos
.
3
2 1 sin cos
tg tgx x
x x
tgx
x x
x
2 sin
1 3 1005 2 cot tan
2011
7/ 4sin( ) cos 3 1
6
x x 8/ sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x
9/ sinx cosx sin 2x 3 cos 3x 2 (cos 4x sin 3 x) 10/ 8 sin 2 2x cos 2x 3 sin 2x cos 2x
) sin 1 )(
sin
2
1
(
cos ) sin 2
1
(
x x
x x
1 sin cos
2
cos sin 2 cos
x x
x x x
cos sin
3
3 4 sin cos 3 sin 2 cos 3
x x
x x
x x
15/ tg4x + 1 =
x
x x
4
2
cos
3 sin 2 sin
2
4 sin 2 sin 4
3
4
cos
x x
8
9 ) 4
( sin
) 4
( sin
x
Trang 2§2 BIẾN ĐỔI VỀ PT CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a Lưu ý:
+ Ngoài các công thức cơ bản như công thức nhân đôi, hạ bậc, biến tổng thành tích, tích thành tổng ta cũng cần lưu ý tới một số đẳng thức sau:
4
4 cos 3 2
2 cos 1 2 sin 2
1 1 cos
sin
2 2
4
x x
8
4 cos 3 5 4
2 cos 3 1 2 sin 4
3 1 cos
x x
+ Gặp PT đẳng cấp bậc 2 (bậc 3) với sinx, cosx thì sau khi thực hiện phép chia cho cos2x (hoặc cos3x) ta được
PT bậc 2 (bậc 3) của tanx
Lưu ý: PT đẳng cấp bậc hai có dạng a.sin 2 x + bsinx.cosx +c.cos 2 x + d = 0, còn PT đẳng cấp bậc 3 là PT có
chứa các số hạng sin 3 x, cos 3 x, sinx, cosx, sin 2 x.cosx, cosx.sin 2 x.
b Bài tập
sin 2xcos 2xsin 2 cos 2x x
5/ 2sin3x + cos2x = sinx 6/ 3(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x)
7/ sin4x + cos4x -
4
1 sin2(2x) + 2 = 0 8/ 2cos2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
x
x x
= cos2x + 3 10/ cotgx – tgx + 4sin2x =
x
2 sin
2
11/ sin4x + cos4x + cos(
4
x ).sin(3x -
4
) - 2
3 = 0 12/
x x
g x
x x
2 sin 8
1 2
cot 2
1 2
sin 5
cos
2
3 10
sin 2
1 2 10
3
4
3 cos
x
sin 2 2
cos sin cos
sin
x
x x x
x
x x
x x
2 4
1 sin
cos
sin cos
2 2
6 6
17/ cotgx = tgx +
x
x
2 sin
4 cos 2
18/
8
5 3
cos 3
x
19/ sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5/4.cos2x 20/ sin8x + cos8x =
16
17 cos22x
21/
2
9 sin 2
11 sin 2
1 3 sin 6 cos
2
x x
4
x x
23/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x 24/ 3 (sin 2x sinx) cos 2x cosx 2
1 1
cos 2
4 2 sin 2 cos 3
x
x
x x
4 cos 4
tan 4
tan
2 cos 2
27/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 28/ 3cos4x – 2cos23x = 1, sin23x = 4cos4x +3 29/ cos3x – 4cos2x + 3cosx- 4 = 0 30/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0
31/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2 32/ 3- tgx (tgx + 2sinx) + 6cosx = 0
33/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0 34/
x
x x
cos
1 2 cos tan
3 2
x
x x x
cos 2
1 tan
1
4 sin ) 2 cos sin
1 (
37/ 3sin2x + 4sin2x + 4cos2x = 3 38/ 4sinx + 6cosx =
x
cos 1
39/ 3sinx + cosx =
x
cos
1
1 2 sin
) 2 (sin
sin 3 ) sin 2 (cos cos
x
x x x
x x
Trang 341/ 2sin5x + 2sin3x.cos2x + cos2x – sinx = 0 42/ 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0 43/ cos3x + sinx - 3sin2x.cosx = 0 44/ cos3x - 4sin3x - 3cosx.sin2x + sinx =0
45/ cos3x - sin3x = sinx – cosx 46/ 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0
49/ sinx + cosx - 4sin3x = 0 50/ sin2x(tgx+1) = 3sinx(cosx - sinx)+3
51/ tanx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) 52/ cos 2x cos 2x 1 tanx
53/ 2 sin3(x+
4
3
) = cos3x 55/ 6sinx - 2cos3x =
x
x x
2 cos 2
cos 4 sin 5
56/ 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
Trong phần này ta xột cỏc PT thường gặp dạng sau:
- PT bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c.
- PT đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx = c.
- PT gần đối xứng bậc nhất với sinx, cosx: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c.
- PT đẳng cấp bậc hai, bậc 3 với sinx, cosx (đó xột ở trờn, phần PT chỉ chứa một hàm số lượng giỏc).
Lưu ý: Dưới đõy ta lưu ý cả cỏc bài toỏn PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx.
Bài tập 1 (PT đối xứng, gần đối xứng)
1/ 4 2 (sinx+cosx) +3sin2x-11=0 2/ sinx.cosx+2(sinx+cosx) = 2
-4
) = 1 5/ (1-sinx.cosx)( sinx+cosx) =
2
2
3 sin2x
7/ sin3x + cos3x =
2
11/ sinx cosx sinx cosx 1 12/ sinx cosx 4 sin 2x 1
13/ sinx+cosx +
x
x cos
1 sin
1
3
10
14/ cotgx - tgx = sinx + cosx 15/ sinx + cosx =
3
3 2
x
x cos sin
1 16/ (1-sin2x)( sinx + cosx) = 2 cos2x - 1
Bài tập 2 (PT bậc nhất hoặc biến đổi về bậc nhất với sinx, cosx)
7
6
; 3
2
7/ 2cos2x +
3
2
sin x
9/ 3sin5x + 3cos15x = 1 + 4sin35x 10/ 4cos2(x+
2
) + sin2x =1
11/ 2 2 (sinx cosx) cosx 3 cos 2x 12/ 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x+3 3 cos 4x=3
x x
x x
x
sin 3 3 3
2 1
cos cos
2
3 cos 2 cos cos
1
x
15/ Tìm m để cỏc phơng trình sau có nghiệm :
a) m.sin3x+(m+1)cos3x=5
b) m.sin2x+(
2
1
m
)sin2x+3cos2x=4
16/ Tìm giá trị Max, Min của hàm số sau:
a) y =
2 cos sin
cos 1
x x
x
, b) y =
5 cos 3 sin 2
7 cos 2 sin 3
x x
x x
Lưu ý: Ngoài cỏch đặt ẩn phụ đối với PT đối xứng, gần đối xứng, PT đẳng cấp như đó xột ở trờn, ta cần lưu ý thờm cỏch đặt ẩn phụ với cỏc PT cú chứa cỏc đại lượng sin2x, cos2x, tan2x, cot2x
Trang 4Với PT loại này ta có thể sử dụng công thức: “Nếu đặt t tan a
2 thì tính được:
2
2t sina
1 t ,
2 2
1 t cos a
1 t ,
2
2t
tana
1 t để chuyển PT cần giải thành phương trình đại số ẩn t”.
Bài tập 3
4/ tgx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 5/ tgx + 2cotg2x = sin2x 6/ sin2x + cos2x + tgx = 2
§4 BIẾN ĐỔI VỀ PT TÍCH
a Lưu ý:
Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường gặp (PT chỉ có một hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất với sinx, cosx như đã trình bày ở trên) thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh những năm gần đây
Để biến đổi về PT tích, chúng ta cần tạo ra các nhân tử chung, dưới đây là một số lưu ý:
Các biểu thức: 1 + sin2x; cos2x; 1 + tanx; 1 + cotx; cos 3 x + sin 3 x; cos 4 x - sin 4 x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;
4 sin
2 x có nhân tử chung là: sinx + cosx.
Các biểu thức: 1 - sin2x; cos2x; 1 - tanx; 1 - cotx; cos 3 x - sin 3 x; cos 4 x - sin 4 x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;
4 sin
2 x có nhân tử chung là: sinx - cosx.
Các biểu thức: sin 3 x ; sin 2 x; tan 2 x có nhân tử chung là 1- cosx hoặc 1 + cosx
Các biểu thức: cos 3 x ; cos 2 x; cot 2 x có nhân tử chung là 1- sinx hoặc 1 + sinx.
Các biểu thức: sin4x; sin3x; sin2x; tanx có nhân tử chung là sinx
Ngoài ra khi nhóm các số hạng của sin hoặc cosin của các góc với nhau, ta cũng cần để ý những góc sao cho tổng hoặc hiệu các góc đó bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung.
b B i t p à ậ
1/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 2/ cosx+cos2x+cos3x+cos4x = 0
5/ cos4x - sinx = sin7x- cos2x 6/ cos10x - cos8x - cos6x + 1 = 0
7/ sin2x = cos22x + cos23x 8/ sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
9/ cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x =
2
3
10/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 11/ cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0 12/ sin3x - sinx +sin2x = 0
13/ (2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = 3 - 4cos2x 14/ 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
15/ sinx + sin3x + 4cos3x = 0 16/ 1 +sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0
17/ sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x 18/ cosx + cos3x + 2cos5x = 0
19/ 2cos6x + sin4x + cos2x = 0 20/ 2cos3x + cos2x+sinx = 0
21/ a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 22/ a) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinx.cosx =0 b) cos2x + 3sin2x + 5sinx – 3cosx = 3 b) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
23/ (cosx-sinx)cosx.sinx = cosx.cos2x 24/ sin4x = tgx
25/ cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx 26/ cos2x + sin3x + cosx = 0
27/ cos3x + cos2x +2sinx-2 = 0 28/ sinx + sin2x + cos3x = 0
29/ 2sin3x-sinx = 2cos3x- cosx+cos2x 30/ 4cos3x +3 2sin2x = 8cosx
2
sin 2
4
x
cos
1 +
x
sin 1
33/
5
5 sin 3
3
sin 5
5 sin
x x
35/ 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx 36/ tg4x + tg2x = 4.sin2x
37/ cos5x+sin7x+1/2(cos3x+sin5x)sin2x=sinx+cosx 38/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x
39/ 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x 40/ (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
§5 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1/ cos 2x 3 sin 2x 3 sinx cosx 4 0 2/ 4sin23x.sin2x = 5 + sin3x
3/ sinx + cosx = 2(2 – sin3x) 4/ sin5x + cos5x + cos2x + sin2x = 1 + 2
Trang 55/ a) cos2x + cos4x + cos6x = 3, b) cosx + cos 2
3x
= 2
6/ x sin 3x sinx sin 3x
4
1
2
7 4
3 cos 4 cos 2
1 2 cos cos
x x
x
9/ 5cos(2x +
3
) = 4sin(
6
5
- x) – 9 10/ (cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1/ sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 2/ sin2x + sin22x + sin23x = 2
3/
2
1 2
3 sin 2 sin sin 2
3 cos 2 cos
.
x x
x
5/ 1 + sinx + cosx =
4 2 cos
4
sin 3
9/ 3 cot 2x 2 2 sin 2x ( 2 3 2 ) cosx
sin
x
3 cos
4 sin 2 sin 4
3
13/
x
x x
x
cos
1 3
cos 2 sin
1 3
sin
2
1 3
2 cos
3
x
cos
cos sin 4 3
cos
x
x x
2 4 ( cos 8 cos
) sin 1 (
2
x x
x
= 0
17/ cos cos5 8sin sin 3
cos3 cos
4sin x 3
2
2 tan tan
2
cos 2
sin
2
x
cos sin
1 sin 1
cot cos 1
x x
x x
x
23/ cos23x.cos2x - cos2x = 0 24/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x -1) + 2sin3x = 0
6 2 sin
x
27/ (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 28/ 3sin(x –
3
) + sin (x +
6
) = 2sin2012x
29/ 3cos3x + 4sinx +
1 sin 4 cos 3
6
4 2
2 4
x
x x
x
2 sin
1 sin
2
1 sin
2
2 cos sin 4 2 sin 2 cos sin
x x
x
4 2
cos 4
2
5
x
x x
x
cot tan
sin
2 cos cos
2 sin
35/ sin 3 x 3 cos 3 x sinx cos 2 x 3 sin 2 x cosx
37/
1 6
sin 3 2
2
2 4
sin 4
2
x
39/
2
1 6 2 sin 3 sin
x 40/ 2 cos 2 x 2 3 sinx cosx 1 3 (sinx 3 cosx) 41/ 4(sin4x + cos4x ) + cos4x + sin2x = 0 42/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
43/ sin2x – cos2x + 3sinx - cosx – 1 = 0 44/ 3 – 4sin22x = 2cos2x(1 + 2sinx)
Trang 645/ x
x
x
tan 1
tan 1 4 4 cos
4 cos 2 2 3 cos 3
x
1 3
tan 6 tan
3 cos cos 3
sin
.
x x
x x
x x
4
tan 4 tan 2 cos cos
4
cos
x x
4
9 sin 2 5 2 sin 3 2
x
2 cos tan
4 2
x
x
54/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 55/ 2(cosx.cos2x.cos3x - sinx.sin2x.sin3x) =1 56/ tan2x - tan2x.sin3x = 1- cos3x
3
tan 6
59/
x x
x x
cos
sin
cos
sin
+ 2tan2x + cos2x = 0 60/ sin2x +
x
x
2 sin 2
) 2 cos 1
= 2cos2x
61/ 2sin2(x -
4
) = 2sin2x - tanx 62/ sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 sinx cos. x
63/ 3 sin 2x( 2 cosx 1 ) 2 cos 3x cos 2x 3 cosx 64/ x
x
x
cos 2 tan 2 3
2 cos 5
65/ 2 sin(2 ) sinx 3cos 2 0
4
12
c x x
cos cos
2 1 sin sin cos
x
3 cos 6 cos
2 sin 2 cos
3
x x
x x
x x
71/ 2sin (2 ) 2sin2 – tan
4
73/ sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x 74/ 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c
75/ 8sin5x – cos4x.sinx + 4cos2x – 3sinx = 0 76/ 9 6 3sin 2 8 2
2
sin 4 2 sin 2 1 4 sin
x
78/ sin3x 3cos x cos x3 2 3 sin 2xsinx 3cosx
80/
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
81/ cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 82/ tan x 3cot x 4 sin x 3cosx
8 sin xcos x 3 3sin 4x3 3 cos 2x 9sin 2 11x
4 2 cos 4
2
sin
2 cos
1
x x
tgx
2
1 sin
1
2
cos sin
) 1 (cos cos 2
x x
x
x x
89/
x x
x x
4 sin
2 tan
2 2 cot 3
tan
91/ sin5x + sin9x + 2sin 2 x 1 = 0 92/ 3 (2cos 2 x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
Trang 793/ 1 sin 2.cos
4 2 sin
x
cos 1
x x
95/ 2 sin 2 2 3cos sin
4
2
97/ 2cos 2x 3 sin 2x 1 3(sinx 3 cos )x 98/ 2cos2 6 cos 2 sin 2
4
x x x
99/ sin (2 cos )x x (1 cos ) 1 cos x 2 x 100/ 7
(sin 1)(1 tan ) 2 cos 2 2 cos
4
x x x x
101/ 6 cosx 2 sinx 1 3 sin 2xcos 2x 102/ 1
5
6 cos 10
9 cos