Gọi R 1 và R 2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và ACM.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F..[r]
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh - -
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2010-2011
Đề thi chính thức
môn : Toán ( bảng B )
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1
Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (3 điểm):
Tớnh giới hạn:
3
x 0
lim
x
Bài 2 (3 điểm):
Chứng minh: cotx tanx = 2cot2x Áp dụng, tính giá trị của biểu thức sau :
31
Bài 3 (4 điểm):
Tìm cỏc nghiệm thực của ph-ơng trình: 3 2 x = 1 x 1
Bài 4 (7 điểm):
1 Hình chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuông ABCD cố định, đỉnh S thay đổi nhưng luụn thoả món điều kiện: ASB = ASD =900
Chứng minh S luôn thuộc một
đ-ờng tròn cố định
2 Cho tam giỏc ABC Giả sử điểm M thay đổi trờn đường thẳng BC Gọi
R1 và R2 lần lượt là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc ABM và ACM Chứng minh : R1+R2 đạt giỏ trị nhỏ nhất khi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn BC
Bài 5 (3 điểm):
Xột biểu thức F =
2 2
2 2
x y xy với x, y là các số thực dương tuỳ ý
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức F
- Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2sở giáo dục và đào tạo quảng ninh
h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2010-2011
môn toán bảng B đề chính thức
điểm Bài 1
3 điểm Ta cú:
3
3
3
x
x
1
1
Do: limx 0 1
1
2 và x 0 3 2 3
1 lim
1 3 nờn
3
x 0
lim
1
1
5 6
1,0 1,0
0,75 0,25
Bài 2
3 điểm Ta cú:
Do:tan31
64 =co t64 nờn
31
1,0 0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 3
4 điểm Điều kiện: x≥1 Đặt: u =3 2 x ; v = x 1 => v ≥ 0,
biến đổi được về hệ phương trỡnh: u3 1 v2
u v 1 (I)
giải hệ (I): cú (I) <=> u 1 v3 2
giải phương trỡnh (*) được: v = 0; v = 1; v = 3 - cựng thoả món điều kiện v ≥ 0
Từ đú tỡm được: x = 1; x = 2; x = 10
Vậy phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm là: x = 1; x = 2; x = 10
1,0 1,0
0,75 0,5 0,5 0,25
Trang 3Bài Sơ l-ợc lời giải Cho
điểm Bài 4.1
4 điểm
Hỡnh vẽ:
O
D
B
A
C S
Gọi O là tõm hỡnh vuụng ABCD
Do SA SB và SA SD SA (BSD)
SA SO và SA BD Lại do AC BD (ABCD vuông) nờn cựng với SA BD BD (SAC)
=> mặt phẳng (SAC) cố định (là mặt phẳng qua AC, vuụng gúc với BD)
Từ đú suy ra S thuộc đường trũn đ-ờng kính AO nằm trờn mặt phẳng (SAC) -
là đường trũn cố định vỡ A, O và mặt phẳng (SAC) cố định (đpcm ! )
1,0 0,75 0,75 0,75
0,75
Bài 4.2
3 điểm Áp dụng định lý hàm số sin, ta được: R1=
AB
AC
2 sin AMC
do sinAMB = sinAMC nờn R
2 sin AMB
lại do 0< sinAMB ≤1 nờn R
1+ R2 ≥ AB AC
2 = const, dấu "=" cú <=> sinAMB=1 khi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn BC
do đú R1+R2 nhỏ nhất bằng AB AC
2 , đạt khi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của
A trờn BC (đpcm !)
0,75 0,75 0,5 0,5
0,5
Bài 5
3 điểm Chia tử và mẫu của A cho y
2
và đặt t = x
y ta đ-ợc F =
2
2
1 1
t t
t t với t > 0
0,75 Xét hàm số f(t) =
2
2
1 1
t t
t t trên (0;+ ), Lập được bảng biến thiên, rồi suy ra:
1 ( ) 3
f t với mọi t > 0
ta có : f ’(t) =
2
t
t
t 0 1 +
f ’(t) – 0 + f(t)
1 1 1
3
0,75
1,0
từ đú cú: F = 22 22 1
3
x y xy với x,y > 0; dấu bằng xảy ra <=> t =1 <=> x = y
Vậy với x, y là các số thực dương, min F = 1
0,5
Trang 4Các chú ý khi chấm:
1 H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đ-ợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt quá số điểm dành cho câu, phần đó
3 Có thể chia điểm từng phần nh-ng không d-ới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm
4 Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm Không làm tròn điểm
5 Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đ-ợc trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ