a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.. ii) Luôn có một bảng tốt.. Đường tròn ngoại t[r]
Trang 1W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
ĐỀ T I M N TOÁN HỌC 10
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20/4/2019
Câu 1 ( 4 điểm )
Câu 2 ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC có ABAC, các điểm D E F, , lần lượt nằm trên các cạnh BC CA AB, , sao cho
|| , ||
DE AB DF AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại các điểm A G, Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm H H E Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K K G, đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L L G Gọi P Q, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK GDL, Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định
Câu 3 ( 4 điểm )
Tìm t t cả các số nguyên dương m n , và số nguyên tố p thỏa mãn
3 2
4m m 40m2 11p n5
Câu 4 ( 4 điểm )
Cho 3 số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
0
Câu 5 (4 điểm )
Cho bảng ô vuông kích thước 100 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A B C D, , , sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25 Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng
(không nh t thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song
2
3
2 5 1 2 2 4 2
x y
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2song với cạnh ho c nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị bốn g c của n được điền đủ bốn ký
tự A B C D, , , là “bảng tốt”
a) Hỏi trong các cách điền trên, c bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1 và 2 2 đều có chứa đủ các ký tự A B C D, , , ?
b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đ c thể chọn ra được 76 c p tốt
ii) Luôn có một bảng tốt
- HẾT -
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu ính a Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3
KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC D &ĐBBB NĂM 2019
MÔN: TOÁN 10 ĐÁP ÁN, T ANG ĐIỂM
Câu 1
Giải hệ phương trình
2
3
2
Nguồn Chu n am Sơn- Thanh a
4đ
Điều kiện: 2 x 4 y 2 0
Từ phương trình (1), ta c :
2 x 4 y 2 y2 1 2 y y2 1 y2
2
0,5
Thay vào phương trình (2) và chú ý rằng 2
y y Lúc này ta được
2
2
(3)
1,0
Đ t 1
2
x
u
Từ (3) cho ta 2 2
u y u2 1 y2 1 0
u y
u y
1,0
Trang 4Do 2 2
u y
Nên từ (4) cho ta u y, hay 1
2
x
0,5
Thay vào phương trình (1) ta được
2 2 5
2
y y y y 2
2
2
y x
Kết luận: Hệ c đúng một nghiệm x y ; là 5 3
;
2 4
1,0
Câu2 Cho tam giác ABC có AB AC, các điểm D E F, , lần lượt nằm trên các cạnh BC CA AB, ,
sao cho DE AB DF|| , ||AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác AEF tại các điểm A G, Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF
tại điểm H H E Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC tại điểm K K G, đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác AEF tại điểm L L G Gọi P Q, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK GDL, Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định
Nguồn Chu n V nh Ph c
4,0
Trang 5W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5
a) Gọi O, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF Gọi E' là điểm đối xứng với
E qua đường thẳng AO Khi đ EE' ||BC vì cùng vuông góc với AO suy ra tứ giác BDEE’
là hình bình hành suy ra DEBE', kết hợp với DEAF ta được BF AE
( C thể không cần dựng điểm E’, d th y tam giác BFD câc tại F và c tứ giác EDF là hình bình hành, nên ta c BF DF E)
0,5
Suy ra OAE OBFOEOF Kết hợp với OA là phân giác của góc
EAF O AEF Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định
,
A O
1,0
b) D th y tam giác FBD cân tại F suy ra FBFD, 1 1
GBF GOA GFA FGB cân tại
F suy ra FBFG Từ đ suy ra F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGB Chứng minh tương tự ta được E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGC
Từ đ EF là trung trực của GD, kết hợp với AG vuông góc với GD suy ra EF//AG
FHDEAF EDF FHDcân tại F suy ra FHFD H GBD
1,0
P là giao điểm của đường thẳng qua O song song với GH và EF, Q là giao điểm của đường thẳng qua O’ song song với GC và EF
E là tâm đường tròn (GDC) và O là tâm đường tròn ngoại tiếp (AGC) suy ra OEGC, kết hợp với GC vuông góc với GL suy ra GL song song OE Do đ OEO Q' QEQO 1 Tương tự ta được POPF 2
1,0
E'
M Q O'
P
L
G
E
F
A
O
B
C D
Trang 6M t khác OEOF, kết hợp với (1) và (2) ta được QOE POFOPOQOO'là trung trực của PQ, kết hợp với OO’ là trung trực của GA nên tứ giác AQPG là hình thang cân hay nó nội tiếp suy ra (GPQ) luôn đi qua điểm A cố định
0,5
Câu 3 Tìm các số nguyên dương m n , và số nguyên tố p thỏa mãn
3 2
4 m m 40 m 2 11 pn 5
Nguồn Chu n ồng Phong- Nam Đ nh
4,0
PT 2
TH1: n 1, thử trực tiếp với m 1,2,3,4,5 đều không thỏa mãn Với m 5 4 m 1 22, m2 10 22 Do đ 2
4 m 1 p m , 10 p : vô lý do n 1
0,5
TH2: n 1, thử trực tiếp với m 1,2,3,4,5 đều không thỏa mãn Với m 5 4 m 1 22, m2 10 22 Do đ 2
4 m 1 p m , 10 p
Suy ra 42 1 11
10 2.11
x a
y b
D th y m * ta có m2 10 4 m 1
1,0
+) Nếu b a thì
2 2
m
Mà
4 1 1 mod 4 ,1771 7.11.23
m
Thử lại đều không thỏa mãn
1,0
Trang 7W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7
+) Nếu b a thì y 1, x 0
2
10 2.11.
a
b
Do
2 2
| 4 1
7
23
p m
p m
p
p
0,5
+ Nếu p 23 thì do 22.23b 23a 22 23a b : vô lý do a b * + Nếu p 7 thì do 22.7b 7a 22 7a b a b 1
Khi đ ta có
1 2
12
10 22.7
b b
m
m m
Thay vào phương trình ban đầu tìm được n 3.
Vậy m n p , , 12,3,7
0,5
Câu 4
Cho 3 số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
0
Nguồn Chu n o ng V n Th - a B nh
4,0
2 ( 2 ) 1 1 2( 1)
6
Áp dụng b t đẳng thức M-GM cho 3 số ta c :
3
1,0
Trang 8M t khác áp dụng b t đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
(a 1)(b 1) (ab 1)
Thiết lập các b t đẳng thức tương tự ta suy ra:
(a 1)( 1) ( 1)
( ( 1)) ( ( 1)) ( ( 1)) ( ( 1))
2 1 1 1
cyc
a ab
1,0
Áp dụng b t đẳng thức M –GM ta lai có
3
Từ (1) và (2) ta c điều phải chứng minh
D u ’ ảy ra khi và ch khi a b c
1,0
Câu 5 Cho bảng ô vuông kích thước 100 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A B C D, , ,
sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25 Ta gọi hai
ô thuộc cùng hàng (không nh t thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn
hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh của bảng và bốn đ nh của n được điền đủ bốn
ký tự A B C D, , , là “bảng tốt”
a) Hỏi trong các cách điền trên, c bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1 và
2 2 đều có chứa đủ các ký tự A B C D, , , ? b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đ c thể chọn ra được 76 c p tốt
ii) Luôn có một bảng tốt
Nguồn Chu n o Cai
4,0
Trang 9W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9
a) Không m t tính tổng quát, giả sử rằng 4 ô đầu tiên của cột 1 được điền A B C D, , , Khi đ ,
ô thứ hai của cột 2 phải điền D vì nó thuộc hai hình vuông 2 2 đã chứa sẵn A B C, , Do đ ,
ta điền tiếp được cột 2 theo thứ tự là C D A B, , , Cứ như thế, ta điền tiếp cho cột 3, 4
A C A C
B D B D
C A C A
D B D B
1,0
Tuy nhiên, ta th y các hàng khi đ không thỏa mãn vì ch chứa hai loại ký tự Vậy nên không
c cách điền nào thỏa mãn điều kiện đã nêu 1,0
b) i Tồn tại hai cột
Giả sử phản chứng rằng mỗi c p cột tùy ý đều có ít nh t 25 c p ô cùng ký tự
Cố định cột 1, xét 99 cột còn lại Gọi T là số bộ ( , )a b trong đ cột a2 có ô thứ b từ trên
xuống là cùng ký tự Theo giả sử trên thì T99 25.
M t khác, theo giả thiết thì T100 24 (tính theo hàng)
Suy ra 100 24 99 25 , điều vô lý này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, tức là luôn chọn được hai cột thỏa mãn đề bài
1,0
ii Tồn tại bảng tốt
Giả sử phản chứng rằng không có 2 hàng, 2 cột nào cắt nhau tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn Xét 2 cột đã chọn được trên, giả sử đã c c p ( , ), ( , )A B A C thì sẽ không có ( ,C D) và ( ,B D) Ta có hai khả năng:
- Nếu có ( ,A D) thì không có ( , )B C , khi đ mỗi c p trong 76 c p đều có ký tự A; trong khi
số lần ký tự A xu t hiện trên đ tối đa là 50 , vô lý
- Nếu có ( , )B C thì không có ( ,A D); khi đ , trên 76 c p sẽ có 76 2 152 số lần u t hiện của kí tự A, B, C, trong khi đ số lần u t hiện ký tự A, B, C tối đa trong c p trên là 150 , cũng vô lý
Từ đây ta c đpcm
1,0
Trang 10Website HOC247 cung c p một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy b i những giáo viên nhiều n m kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ n ng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chu ên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Tr n Na Dũng, TS Pha Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Th y Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường và đạt điểm tốt các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS
Tr n Na Dũng, TS Pha Sỹ Na , TS Lưu B Thắng, Th y Lê Phúc Lữ, Th y Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m n phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nh t
-
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí