[r]
Trang 1Phòng GD-ĐT quảng trạch Để thi học sinh giỏi toán 9
trờng THCS Quảng Thạch Năm học : 2009 - 2010
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1 ( 2,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
b
ab
Xét biểu thức P =
b x a x a
x a x a
3
1
Chứng minh P xác định Rút gọn P.
Bài 2 (2,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3
3
3
Bài 3 (4,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE Vẽ đờng tròn (O1) đờng kính AE và đờng tròn (O2) đờng kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
1 Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN Chứng minh rằng đờng thẳng EF vuông góc với đờng thẳng AB.
2 Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB Đờng thẳng MN cắt đ-ờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 4: (2 điểm)
Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng :
2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a
cáC TàI LIệU THAM KHảO
- Tài liệu bồi dỡng HSG – Nhà xuất bản Giáo dục
- Toán nâng cao Đại số 9 – Nhà xuất bản Giáo dục
- 23 chuyên đề giải- 1001 bài toán sơ cấp – Nhà xuất bản Giáo dục
Quảng Thạch, ngày 10 / 11 / 2009
Duyệt của LĐ Duyệt của tổ CM Ngời ra đề
Nguyễn Minh Lộc Trần Thị Thu Trà Hoàng Thị Vinh
Phòng GD-ĐT quảng trạch đáp án và biểu điểm chấm Để thi
trờng THCS Quảng Thạch học sinh giỏi toán 9
Năm học : 2009 – 2010
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1 (2,0 điểm)
1 (2.0 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
1
) 1 (
2
2
b
b
a (2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 a x a x 0 (3)
Từ (1); (2); (3) P xác định
Rút gọn:
0,25 0,25 0,25
Trang 2Ta có: a + x =
1
) 1 ( 1
2
2
2 2
b
b a b
ab
1 )
1
b
a b
x a
a - x =
1
) 1 ( 1
2
2
2 2
b
b a b
ab
1
b
a b
x a
P =
b b
b
b b
b b
a b
b
a b
b
a b
b
a b
3
1 1 1
1 1
3
1 1 1
1 )
1 (
1
1 1
) 1 (
2 2
2 2
Nếu 0 < b < 1 P =
b b
4 3
1 2
2
Nếu b 1 P =
b
b b
b
3
1 3 3
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2 (2,0 điểm)
Biến đổi tơng đơng hệ ta có
) 2 ( 3 ) 1
)(
2
(
) 2 ( 2 ) 1
)(
2
(
2 ) 1 )(
2
(
2 2 2
x z
z
z y
y
y x
x
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
(x - 2)(y - 2) (z - 2)( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 6
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
0,50
0,50 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 4 (4,0 điểm)
1 (2 điểm) : Hình vễ
O1M MN
O2N MN O1M/ / O2N
Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B
Các tam giác O1ME; O2NB lần lợt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1=
NBO2 (1)
Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900
(2)
MAE + NBO2 = 900 AFB = 900
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
F
O
2
O E
I
N
D
S
Trang 3 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật
NME = FEM
(3)
Do MNMO1 MNE + EMO1 = 900
(4)
Do tam giác O1ME cân tại O1 MEO1 = EMO1
(5)
Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm)
2 (2,0 điểm)
Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm
MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B
Gọi I là trung điểm CD CDOI OI// O1M //O2N
2
1 2
1
SO
SO N O
M O
SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm
Mặt khác:
1
SO M O
OI
OI = 5 cm Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2
Ta có: CO = 9 cm CI2 + 25 = 81 CI = 56
CD = 4 14 cm
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 6: 2 điểm)
Do a <1 a2<1 và b <1
Nên 1 a2 1 b 0 1 a b a2 2 b 0
Hay 1 a2ba2b (1)
Mặt khác 0 <a,b <1 a 2 a3 ; b b3
1 a2 a3 b3
Vậy a3 b3 1a2b
Tơng tự ta có
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1
2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Quảng Thạch, ngày 10 / 11 / 2009
Duyệt của LĐ Duyệt của tổ CM Ngời ra đề
Nguyễn Minh Lộc Trần Thị Thu Trà Hoàng Thị Vinh