Cac phan phoi xac suat thuong gap

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt..[r]

Bài 3

Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra:

“thành công” hoặc “thất bại”.

Thành công với xác suất p.

Thất bại với xác suất 1-p.

Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli,

ký hiệu B(1,p).

Phân phối nhị thức

Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập

(5)(0.1)(0.9) 32805

k n

Phân phối nhị thức

0 2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

n = 5 P = 0.5

.2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

.2 4 6

nP

0.6708

0.1) (5)(0.1)(1

P) nP(1- σ

nP

1.118

0.5) (5)(0.5)(1

P) nP(1- σ

Phân phối Poisson

Số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước

Số các biến cố trung bình trên một đơn

vị là .

Ví dụ

Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị,

số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1 khu vực, …

Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2,

… gọi là có phân phối Poisson với tham

Phân phối Poisson

Phân phối Poisson

Ví dụ

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi

bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4 Tính xác suất trong 1 giờ có

a Đúng 3 ống sợi bị đứt

b Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt

Bảng tra phân phối Poisson

X

 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0 1

2

3 4 5 6 7

0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000

0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000

0.6065 0.3033

0.0758

0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000

0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.0000

0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001 0.0000

0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000

0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000

Phân phối xác suất Poisson

 = 50

Phân phối Poisson

Hình dạng của phân phối Poisson phụ thuộc vào tham số  :

 =0.50  =3.00

n p np

e

C p q

k

Mô hình Poisson

Ví dụ

Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ

em ở một khu vực Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001 Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc

Phân phối đều

 Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.

 X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b]).

f(x)

Tổng diện tích miền giới hạn bởi phân phối đều là 1.0

Phân phối đều

 Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn [a,b]

a = giá trị nhỏ nhất của x

b = giá trị lớn nhất của x

Phân phối đều

Kỳ vọng

Phương sai

a b2

Phân phối đều

Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6

Phân phối mũ

 Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật

độ xác suất

Với

  số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.

 t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.

 Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách

hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.

Phân phối chuẩn

 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là

có phân phối chuẩn với tham số  và  2 nếu hàm mật độ xác suất

Phân phối chuẩn

 Dạng như một cái chuông

 Có tính đối xứng

 Trung bình = Trung vị = Mode

 Vị trí của phân phối được xác định

Phân phối chuẩn

Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ , ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau

Phân phối chuẩn

x

f(x)

μ σ

Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái hoặc phải

Thay đổi σ làm tăng hoặc giảm độ phân tán.

Hàm phân phối của phân phối chuẩn

 Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ 2 , X~N(μ, σ 2 ), hàm phân phối của X là

) x P(X

) F(x0   0

x

0 x 0

) x P(X  0

f(x)

Xác suất của phân phối chuẩn

x

Xác suất X  (a,b) đo bởi diện tích giới hạn bởi đường cong chuẩn.

F(a) F(b)

b) X

P(a    

b

μ

a

Xác suất của phân phối chuẩn

b) X

P(a    

a) P(X

F(a)  

b) P(X

F(b)  

Phân phối chuẩn hóa

 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(,  2 ) Chuẩn hóa X

bằng cách đặt

 Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1 Ta nói Z có phân phối

chuẩn hóa Ký hiệu

1)N(0

1

Phân phối chuẩn hóa

 Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 and

độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X =

200 là

200 100

2.0 50

Phân phối chuẩn hĩa

Hàm mật độ

Hàm phân phối

2 2

1( )

( ) (

2hàm Laplace

b F

σ

μ

b Z

σ

μ

a P b)

X P(a

μ

b  μ

µ

0

Tính xác suất

f(X)

X μ

0.5 0.5

1.0)

XP(    

P( μ  X    ) 0.5 P(    X ) 0.5 μ  

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Để tìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa

X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Z

( )

F(a) P(Z a)= a  

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Ví dụ

Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0 Tìm P(X < 8.6)

X

8.6

8.0

Ví dụ

Z 0.12

0

X 8.6

Ví dụ

Z

z (z) 10 5398 11 .5438.12 5478 13 5517

Ví dụ

Tìm P(X > 8.6)…

Z 0

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Cho X ~ B(n,p) Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1

Tính P(X < c)?

Tính P(a < X < b)?

Dùng phân phối chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân

phối chuẩn

Ví dụ

Trong một cuộc bầu cử ở một thành phố, biết rằng 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất gặp được từ 76 đến 80 người ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu?

(0) ( 0.58) 0.5000 0.2810 0.2190