Một số phân phối xác suất thường gặp

Ph¥n phèi nhà thùcX²t n ph²p thû Bernoulli vîi x¡c su§t th nh cæng PA=p... Minh håa ph¥n phèi nhà thùc... Ph¥n phèi PoissonPh¥n phèi Poisson câ nhi·u ùng döng èi vîi nhi·u qu¡ tr¼nh câ l

Ch֓ng V

V.3 Mët sè ph¥n phèi x¡c su§t th÷íng g°p

Nëi dung tr¼nh b y

Quy luªt khæng - mët A(p)

Khi ti¸n h nh mët ph²p thû, ta quan t¥m ¸n vi»c x£y ra hay khæng cõamët bi¸n cè A n o â Gi£ sû x¡c su§t º bi¸n cè A x£y ra trong mët l¦nthû l  P(A)=p Gåi X l  bi¸n ng¨u nhi¶n ch¿ sè l¦n xu§t hi»n bi¸n cè Atrong mët l¦n thû, ta d¹ d ng th§y X l  bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c vîi tªp gi¡trà l  t0, 1u, v 

PpX  0q  Pp¯Aq  1
PpAq  1
p, PpX  1q  PpAq  p

ành ngh¾a

Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l  tu¥n theo quy luªt khæng-mët vîi tham sè

p (0<p<1), kþ hi»u X  Appq, n¸u X ch¿ nhªn hai gi¡ trà 0 v  1 vîi x¡csu§t t÷ìng ùng l  1-p v  p

Nh÷ vªy b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X  Appq l :

P 1-p p

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 4 / 41

Quy luªt khæng - mët A(p)

Tø b£ng ph¥n phèi x¡c su§t ta câ

EpX q  0.p1
pq 1.p  p,

EpX2q  02.p1
pq 12.p  p,

V pX q  EpX2q
rEpX qs2  p
p2  pp1
pq

°t q  1
p ta câ EpX q  p, V pX q  p.q, σx  ?p.q

D¢y ph²p thû Bernoulli

ành ngh¾a

Mët d¢y n ph²p thû ëc lªp (k¸t qu£ cõa ph²p thû n y khæng £nh h÷ðngg¼ ¸n k¸t qu£ cõa ph²p thû kia) ÷ñc gåi l  n ph²p thû Bernoulli (ho°cmët l÷ñc ç Bernoulli) n¸u thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

1 Méi ph²p thû câ hai k¸t qu£ A v  ¯A,

2 P(A)=p; P(A) nh÷ nhau èi vîi måi ph²p thû

V½ dö: Tung mët çng ti·n 10 l¦n, ta câ 10 ph²p thû Bernoulli Tungmët con xóc x­c 150 l¦n ta quan t¥m ¸n bi¸n cè A l  "Tung ÷ñc m°t 4ch§m", ta câ 150 ph²p thû Bernoulli

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 6 / 41

Ph¥n phèi nhà thùc

X²t n ph²p thû Bernoulli vîi x¡c su§t th nh cæng P(A)=p Gåi X l  sè l¦nxu§t hi»n bi¸n cè A (sè l¦n th nh cæng) trong n ph²p thû tr¶n Ph¥n phèix¡c su§t cõa X ÷ñc gåi l  ph¥n phèi nhà thùc, kþ hi»u X  Bpn, pq

ành ngh¾a

Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l  tu¥n theo ph¥n phèi nhà thùc, kþ hi»u

X  Bpn, pq, n¸u X ch¿ nhªn ÷ñc mët trong c¡c gi¡ trà 0, 1, , n vîi x¡csu§t ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc:

PpX  kq  Ck

n.pk.p1
pqn
k, k  0, 1, , n

EpX q  EpX1 X2    Xnq  EpX1q EpX2q    EpXnq

Minh håa ph¥n phèi nhà thùc

Anh ta b¡n ÷ñc cho ½t nh§t mët ng÷íi.

Anh ta b¡n ÷ñc cho khæng qu¡ hai ng÷íi

Tr£ líi: Gåi X l  sè l¦n ng÷íi mæi giîi chùng kho¡n b¡n ÷ñc chùngkho¡n trong ng y hæm â Ta câ X  Bpn  6, p  0.4q

X¡c su§t º anh ta khæng b¡n ÷ñc chùng kho¡n l :

PpX  0q  C0

6  0.40 0.66 0.046656

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 10 / 41

V½ dö ph¥n phèi nhà thùc

X¡c su§t º anh ta b¡n ÷ñc cho ½t nh§t mët ng÷íi l :

PpX ¥ 1q  1
PpX   1q  1
PpX  0q  1
0.046656  0.953344.X¡c su§t º anh ta b¡n ÷ñc cho khæng qu¡ hai ng÷íi l :

PpX ¤ 2q  PpX  0q PpX  1q PpX  2q

 C60 0.40 0.66 C61 0.41 0.65 C62 0.42 0.64

 0.54432

rbinom(N,n,p): L§y m¨u ng¨u nhi¶n N ph¦n tû.

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 12 / 41

Nëi dung tr¼nh b y

Ph¥n phèi Poisson

Ng÷íi ¦u ti¶n mæ t£ ph¥n phèi Poisson l  Simeon Denis Poisson

(1781-1840) v o n«m 1837 Ng÷íi ta xem x²t bi¸n ng¨u nhi¶n X ch¿ sèl¦n xu§t hi»n cõa mët bi¸n cè trong kho£ng thíi gian [0,t] º h¼nh th nhn¶n ÷ñc ph¥n phèi Poisson ta c¦n câ c¡c gi£ ành sau:

1 Trà trung b¼nh cõa sè l¦n x£y ra trong mët ìn và thíi gian câ thº ÷îcl÷ñng ÷ñc tø dú li»u qu¡ khù

2 N¸u ta chia kho£ng thíi gian [0,t] th nh c¡c kho£ng væ còng b² 4tth¼ ta câ c¡c t½nh ch§t sau:

X¡c su§t º câ óng mët l¦n x£y ra cõa bi¸n cè trong kho£ng thíi gian

X¡c su§t º hai hay nhi·u l¦n x£y ra cõa bi¸n cè trong kho£ng thíi gian 4t l  qu¡ b² º xem nh÷ khæng ¡ng kº hay b¬ng 0 èi vîi x¡c su§t câ óng mët l¦n x£y ra.

Sè l¦n x£y ra cõa bi¸n cè trong kho£ng thíi gian 4t cho tr÷îc l  ëc lªp vîi thíi iºm chån cho 4t.

Sè l¦n x£y ra cõa bi¸n cè trong b§t ký kho£ng 4t n o công ëc lªp vîi sè l¦n x£y ra cõa c¡c bi¸n cè trong b§t ký kho£ng 4t n o kh¡c Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 14 / 41

ành ngh¾a

Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l  tu¥n theo ph¥n phèi Poisson vîi tham sè

λ¡ 0, kþ hi»u X  Ppλq, n¸u X câ ph¥n phèi x¡c su§t cho bði:

PpX  kq  e
λλk!k, k  0, 1, 2, , n,

Ph¥n phèi Poisson

Ph¥n phèi Poisson câ nhi·u ùng döng èi vîi nhi·u qu¡ tr¼nh câ li¶n quan

¸n sè quan s¡t èi vîi mët ìn và thíi gian ho°c khæng gian Ch¯ng h¤n

sè cuëc i»n tho¤i nhªn ÷ñc ð mët tr¤m i»n tho¤i trong mët phót, sèkh¡ch ¸n mët ng¥n h ng giao dàch trong méi kho£ng thíi gian 30 phót Nâi chung l  dáng v o cõa mët h» phöc vö (c¡c cûa h ng, hi»u c­t tâc,hi»u sûa xe, tr¤m i»n tho¤i, ) th÷íng l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n tu¥n theoluªt Poisson

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 16 / 41

Minh håa cho ph¥n phèi Poisson

V½ dö v· ph¥n phèi Poisson

B i to¡n

Sè ng÷íi ¸n ñi xe buþt t¤i mët tr¤m ân xe trong méi 15 phót l  mëtbi¸n ng¨u nhi¶n tu¥n theo ph¥n phèi Poisson vîi trung b¼nh l  4 T½nh x¡csu§t º trong kho£ng thíi gian 15 phót câ ½t nh§t 3 ng÷íi ¸n ñi xe.Tr£ líi: Gåi X l  sè ng÷íi ¸n ñi xe t¤i tr¤m trong méi 15 phót Ta câ

X  Ppλ  4q X¡c su§t º trong kho£ng thíi gian 15 phót câ ½t nh§t 3ng÷íi ¸n ñi xe l :

PpX ¥ 3q  1
PpX   3q  1
PpX  0q
PpX  1q
PpX  2q

 1
e
440

0!
e
4

411!
e
4

422!

 0.7618967

rpois(N,λ): L§y m¨u ng¨u nhi¶n N ph¦n tû.

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 20 / 41

Nëi dung tr¼nh b y

Ký vång, ph÷ìng sai cõa bi¸n ng¨u nhi¶n ph¥n phèi ·u

V½ dö v· ph¥n phèi ·u

V½ dö: Mët ÷íng èng d¨n d¦u d i 4 km Kho£ng c¡ch tø mët ¦u èngd¨n d¦u tîi mët lé rá r¿ câ thº di¹n t£ bði mët bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc câph¥n phèi ·u

a T¼m h m mªt ë v  h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n n y

V½ dö v· ph¥n phèi ·u

V½ dö: Mët ÷íng èng d¨n d¦u d i 4 km Kho£ng c¡ch tø mët ¦u èngd¨n d¦u tîi mët lé rá r¿ câ thº di¹n t£ bði mët bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc câph¥n phèi ·u

a T¼m h m mªt ë v  h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n n y

b T¼m x¡c su§t º câ mët lé rá r¿ n¬m trong kho£ng tø 0.5

V½ dö v· ph¥n phèi ·u

V½ dö: Mët ÷íng èng d¨n d¦u d i 4 km Kho£ng c¡ch tø mët ¦u èngd¨n d¦u tîi mët lé rá r¿ câ thº di¹n t£ bði mët bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc câph¥n phèi ·u

a T¼m h m mªt ë v  h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n n y

b T¼m x¡c su§t º câ mët lé rá r¿ n¬m trong kho£ng tø 0.5

V½ dö v· ph¥n phèi ·u

V½ dö: Mët ÷íng èng d¨n d¦u d i 4 km Kho£ng c¡ch tø mët ¦u èngd¨n d¦u tîi mët lé rá r¿ câ thº di¹n t£ bði mët bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc câph¥n phèi ·u

a T¼m h m mªt ë v  h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n n y

b T¼m x¡c su§t º câ mët lé rá r¿ n¬m trong kho£ng tø 0.5

&

'

%

0 n¸u x ¤ 0,x

4 n¸u 0   x   4,

1 n¸u x ¥ 4

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 26 / 41

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 26 / 41

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 26 / 41

1

4dx 

1

4x1.5 0.5  14

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 26 / 41

1

4dx 

1

4x1.5 0.5  14

1

4dx 

1

4x1.5 0.5  14

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 26 / 41

qunif(q,a,b): Cho ta gi¡ trà x thäa m¢n PpX ¤ xq  q.

runif(N,a,b): L§y m¨u ng¨u nhi¶n N ph¦n tû

Nëi dung tr¼nh b y

px
µq22σ2 , x P p
8, 8q

°c bi»t khi µ  0, σ2 1 ta câ ph¥n phèi chu©n hâa, ph¥n phèi chu©nhâa th÷íng ÷ñc kþ hi»u bði Z

Ph¥n phèi chu©n hâa âng vai trá r§t quan trång trong lþ thuy¸t thèng k¶v¼ vªy ng÷íi ta câ c¡c b£ng t½nh x§p x¿ c¡c gi¡ trà cõa h m ph¥n phèi cõaph¥n phèi n y

Ph¥n phèi chu©n-ph¥n phèi chu©n hâa

Nh÷ vªy n¸u X  Npµ, σ2q º t½nh x¡c su§t Ppa   X   bq ta câ thºchuyºn qua Z nh÷ sau:

Minh håa c¡c ph¥n phèi chu©n

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 32 / 41

Ph¥n phèi chu©n

f(x)

x P(a<X<b)

V½ dö ph¥n phèi chu©n

B i to¡n

Chi·u cao cõa mët ng÷íi tr÷ðng th nh ð mët àa ph÷ìng l  mët bi¸n ng¨unhi¶n tu¥n theo ph¥n phèi chu©n vîi trung b¼nh 165 cm, ë l»ch chu©n 20

cm G°p ng¨u nhi¶n mët ng÷íi tr÷ðng th nh ð àa ph÷ìng n y

T½nh x¡c su§t º ng÷íi â câ chi·u cao khæng qu¡ 170 cm

T½nh x¡c su§t º ng÷íi â câ chi·u cao ½t nh§t l  158 cm

T½nh x¡c su§t º ng÷íi â câ chi·u cao n¬m trong kho£ng tø 160 cm

¸n 170 cm

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 34 / 41

qnormpq, µ, σq: Cho ta gi¡ trà x thäa m¢n PpX ¤ xq  q.

rnormpN, µ, σq: L§y m¨u ng¨u nhi¶n N ph¦n tû

Nëi dung tr¼nh b y

λ.

Ppa   X   bq  e
λa
e
λb, a, b ¥ 0.

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 38 / 41

Minh håa h m mªt ë ph¥n phèi mô

x

f(x)

P(a<X<b)

V½ dö ph¥n phèi mô

B i to¡n

Thíi gian º thõ th÷ phöc vö mët sinh vi¶n tu¥n theo ph¥n phèi mô vîitrung b¼nh 5 phót T¼m x¡c su§t º thíi gian phöc vö mët sinh vi¶n l¥uhìn 12 phót

B i to¡n

T¤i mët trung t¥m c§p cùu sè b»nh nh¥n ¸n trong 1h tu¥n theo ph¥nphèi Poisson vîi trung b¼nh l  2 ng÷íi Vøa câ mët b»nh nh¥n ¸n trungt¥m c§p cùu, t½nh x¡c su§t º trong váng 30 phót sau khæng câ b»nhnh¥n n o ¸n

Ngæ Thà Thanh Nga (HTL) X¡c Su§t Thèng K¶ Ùng Döng Ng y 12 th¡ng 9 n«m 2011 40 / 41

C¡c h m trong R

Thüc h nh R

Cho bi¸n ng¨u nhi¶n X  Epλq (λ  1{µ), trong thüc h nh ta câ thºdòng c¡c h m sau:

dexppx, rate  λq: Cho ta gi¡ trà cõa h m mªt ë t¤i x

pexppx, rate  λq: Cho ta PpX ¤ xq

dexppx, rate  λq: Cho ta gi¡ trà x thäa m¢n PpX ¤ xq  q

rexppx, rate  λq: L§y m¨u ng¨u nhi¶n N ph¦n tû