Một người đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 15phút lại gặp 1 xe đi từ B về phía mình.[r]
Trang 1Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Nguyễn Thị Minh Khai
Đề Thi Toán học sinh giỏi huyện khối 9 :
Câu 1: so sánh : 2008 - 2007 với 2007 - 2006
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + y3 – 3(x+y)+ 2007
Tại x = 3 3 2 2 + 3 3 2 ; y = 3 17 2 2 - 3 17 12 2
29
21 27
23 25
25 23
27 21
29
Câu 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức :
A=
11
1
2
x x
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B= x+ 1x Với x > 0 Câu 6: Với a ,b là 2 số không âm và abthì biểu thức :
b a
b a ab b
a
b b a a
không phụ thuộc vào a và b
Câu 7: Tìm x ,y,z biết x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3
Câu 8: Trên một đoạn đường AB của thị trấn phước an cứ 20phút lại có 1 xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 20phút lại có 1 xe buýt đi theo chiều ngược lại Các
xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau Một người đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 15phút lại gặp 1 xe đi từ B về phía mình Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có 1 xe đi
từ A vượt qua người đó
Câu 9 : Cho đường tròn (0) , đường kính AB Điểm M thuộc đường tròn , lấy điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn ở C Gọi E là giao điểm của AC và BM a) Chứng minh NE AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M
Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn
c) chứng minh MN2 = 22. 22
FN AB
FN AB
ĐÁP ÁN :
Câu 1: 2008 2007=
2007 2008
1
(*)
2007 2006 = 20071 2006
(**)
Ta có :
2007 2008
1
<
2006 2007
1
Suy ra : 2008- 2007< 2007 - 2006
Trang 2Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Nguyễn Thị Minh Khai
Câu 2: Ta có : x3 – 3x = 6 ; y3 -3y = 34
Suy ra M = 6 + 34 + 2007 = 2047
Câu 3: Cộng 1 vào mỗi phân thức ở vế trái
cộng vào vế phải ta được (50-x)
29
1 27
1 25
1 23
1 21
1
= 0 Vậy x = 50
Câu 4: A=
4
3 2 1
1
2
x Vì 12243 43
x do đó ta có : A34dấu = xẩy ra x21 Vậy Max A = 34 tại x =
-2 1
Câu 5: B = 1
4
1 2 4
4 1 2 4
1
x
x x
x x
x x
Vì x > 0 nên ta có B 1dấu ‘’=’’x ẩy ra khi và chỉ khi 2x—1 = 0 x = 21 Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại x=21
Câu 6 : Khai triển và thu gọn ta được kết qủa = 1
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào a và b
Câu 7: Ta có ( x + y + z )3 = x3 + y3 + z3 + 3 ( x + y )( y + z )( z + x)
( x + y )( y + z ) ( z + x) = 8 (1) (3-x)+(3-y)(3-z)= 6 (2)
Từ (1) và (2) 3 số hạng 3-x; 3-y ; 3-z có 1 số chẵn hoặc cả 3 số cùng chẵn
Nếu có một số chẵn 3-x=8 x = -5 ; y= 4
Nếu cả 3 số cùng chẵn x=y=z=1
Vậy các số (x;y;z) là (-5;4;4); (1;1;1) và các hoán vị của nó
Câu 8 : Gọi x là thời gian cần tìm (x>0) và thời gian người đó đi từ A đến B là a :
Theo bài toán ta có pt : a a a x
15 20 2
Giải ra ta có x = 30 Vậy sau 30 phút lại có 1 xe đi từ A vượt người đó
Câu 9 : a)
0
0
90
90
ACB
AMB
E vtrực tâm của NAB NEAB
b) Tứ giác ÀNE là hình bình hành FA//NE
mà NEAb FAÂB hay FA là tiếp Tuyến của (0) c) BAN có đường BM cũng là đường trung tuýen nên là cân BN = BA
BNA=
BAN(1)
Tương tự FAN cân
1
N =
1
A (2)
Trang 3Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Nguyễn Thị Minh Khai
Từ (1) và (2)
FNB=
FAB=900 ( theo câu b) Trong tam giác vuông NFB có NM là đường cao Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NFB ta có :
2 2
2
1 1
1
BN NF
……… Hết ……….
N 1 F
M C
E
A B