P thuéc cung nhá BC.. §êng cao CH.[r]
Trang 1Đề kiểm tra chơng III môn đại số lớp 9
Đề chẵn
Bài 1(4đ)
a) Giải hệ phơng trình sau:
0 4 4
5 2
2
x
y x
b)Tìm m để hệ sau có vô số nghiệm
3 2 4 1
1 2
m y x
m
my x
Bài 2(4đ) Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Quãng đờng từ A đến B gồm một đoạn lên dốc dài 30 km, đoạn xuống dốc dài 60
km và đoạn nằm ngang dài 40 km Một ngời đi xe máy từ A đến B mất 4h18’, lúc
về mất 4h48’.Hỏi vận tốc của ngời đi xe máy ở đoạn lên dốc, đoạn xuống dốc, biết vận tốc của ngời đó ở đoạn nằm ngang là 50km/h và vận tốc ở đoạn lên dốc, xuống dốc không thay đổi trên quãng đờng đi và về
Bài 3 (2đ) Tìm số nguyên a để 4a2-2a+19 là số chính phơng
Đề kiểm tra chơng III môn đại số lớp 9
Đề lẻ
Bài 1 (4đ)
a)Giải hệ phơng trình
0 6 2 3
1 3
2
x
y x
b)Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất
Trang 2
1 3 1
2
2 4
1
a y a
x
a y x
a
Bài 2 (4đ)Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 30 km rồi ngợc dòng quãng sông đó mất 2h30’ Nếu cũng trên quãng sông ấy ca nô xuôi dòng 4km rồi ngợc dòng 8km thì hết 1h20’ Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nớc, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi
Bài 3 (2đ) Tìm số nguyên a để a2 - a + 13 là số chính phơng
Đề kiểm tra học sinh giỏi toán 9 Bài 1 Giải phơng trình sau:
7 4 2 5 1 14 2 3 3 17 13
x
Bài 2.Giải hệ phơng trình sau:
4 2
3 3 9
3
y x
y
y x
x
Bài 3 Tìm a R để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
2
3 4 4
11 6
x
Bài 4 Cho a,b là các số dơng và a+b=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b a
1
2
Trang 3Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), trực tâm H, đờng cao BE P thuộc cung nhỏ BC Vẽ các hình bình hành PAQB và PANC, giao của AQ và HN
là M Chứng minh ME// AP
Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1.(6đ) Cho biểu thức:
P=
5
5 2
1 10
3
240 34
5
x
x x
x x
x
x x
x
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm số a lớn nhất để P > a
c) Tìm x để P x 2 4 x 4 x 4 41
Bài 2.(3đ) Cho 2 điểm A(-1;-1) và B(1;2m-3) ( m là hằng số cho trớc)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua Avà B
b)Tìm m để khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất
Bài 3.(3đ) Tìm số thực a để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên
3x2-(6a+ 0
2
3 4 ) 4
a x
Bài 4.(6đ) Cho tam giác ABC có AB > AC > BC nội tiếp đờng tròn (O) Trên
cạnh AB, AC lần lợt lấy 2điểm M và N sao cho BM = CN = BC I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt đờng tròn (O) và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN lần lợt tại E và F Chứng minh rằng:
a)Tứ giác AMIC nội tiếp
b)IE = IF
Bài 5.(2đ) Cho tam giác ABC vuông tại C Đờng cao CH Các tia phân giác của
các góc ACH và BCH cắt cạnh AB lần lợt tại E và F Chứng minh rằng:
1
2
CEF
ABC
S
S
Trang 4Biểu điểm chấm môn toán lớp
Bài 1.
Điều kiện
25
0
x x
2
45
5 2
5 45
5 2
225 45
5
5 2
10 7
5 4 240 34
5
5 2
2 5
5 2
5 1
5 2
240 34
5
x
x
P
x x
x x
P
x x
x x
x
x
P
x x
x x x x x
x
x
x
P
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
P
b) Ta có:
4 2
49 2
2
49 2 2
49 2
4 2
49 4 2
45
x x
x
x x
x
x x
x x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dơng và 49
2
2
x
2 2
2 2
x
x x
x
Suy ra P 14 4 10
Đẳng thức xảy ra khi 2 49
2
x x
25 x
7
(Không thoả mãn điều kiện ) Vậy P > 10
Để P > a thì a 10 Vậy a lớn nhất là 10
(0,5đ) (0,5đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,5đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
Trang 5c)P x 2 4 x 4 x 4 41
2 0 ; 4 4 0
0 4 4 2
0 4 4 4 4
41 4 4 4
45
41 4 4 4 2 2
45
2
2
x x
Do
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x
Đẳng thức xảy ra khi
4 0
4
0 2
x x
x
(Thoả mãn điều kiện ) Vậy x=4
Bài 2.
a) Giả sử (d) có phơng trình là y = ax +b Vì A(-1;-1) (d) và
B(1;2m-3)(d)nên a và b là nghiệm của hệ phơng trình:
3 2
1
m b
a
b a
Giải hệ đợc
2
1
m b
m a
Vậy đờng thẳng (d) có phơng trình là y=(m-1)x+m-2
b)Nếu m=1 thì y= -1.Khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
Nếu m=2 thì y=1 Khoảng cách từ O đến (d) cũng là 1(2) Nếu m 1 và m 2thì (d) cắt Ox tại
0
; 1
2
m
m
P và cắt Oy tại Q ( 0;m-2)
Kẻ OH PQ.Ap dụng hệ thức lợng trong
tam giác vuông POQ ta có
2 2
2 2
2 ) 2 ( 2 2 2
1 1
1
1 2
1 2
1 1
1 1
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
m m
m
m m
m
m OH
m
m m
OH
OQ OP
OH
Đặt
m 2 t
1
2
1 1
2 OH
So sánh (1),(2),(3) ta đợc OH 2
x O
H
y
P
Q
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
(0,5đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,5đ) (0,25đ)
Trang 6Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Vậy khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất là 2khi m = 0
Bài 3.Viết phơng trình thành phơng trình bậc 2 của a ta đợc:
0 2
3 4
11 3
6
4a2 xa x2 x (1)
Phơng trình này có nghiệm khi ' 0
Tính đợc ' 3x2 11x 6
Giải bất phơng trình này đợc 3
3
2
x
Để phơng trình có ít nhất một nghiệm nguyên thì x1 ; 2 ; 3
Thay x=1 vào phơng trình (1) đợc
4
2
3
a
Thay x=2vào phơng trình (1) đợc a=1 hoặc a=2
Thay x=3vào phơng trình (1) đợc
4
9
a
Vậy a nhận các giá trị là 1;2;
4
2 3
; 4
2 3
; 4
Bài 4
a)Học sinh chứng minh đợc AIC = ABC
90
2
AMC = ABC
90
2
Suy ra AIC = AMC
Kết luận AMIC là tứ giác nội tiếp
b)Chứng minh đợc EB = EC = EI
Chứng minh đợc MFN đồng dạng với BEC
Suy ra ( 1 )
MN
MF BC
BE
Do tứ giác AMIC nội tiếp nên AIM =ACM
Do tứ giác AMFN nội tiếp nên MFO = MNC
Từ đó suy ra MIF đồng dạng với MCN
Suy ra ( 2 )
CN
IF MN
MF
Từ (1) và (2) suy ra
CN
IF BC
BE
Kết hợp với BC=CN và IE = BE suy ra IE = IF
c 1 O
B
C
A
M
N
I
E F
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (1đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ)
Trang 7Bài 5.
Đặt BC = a, CA = b, AB = c,
Ta có S S EF c
F
CE
Chứng minh đợc các tam giác ACF và BEC cân tại A và B
Suy ra AC = AF = b; BC = BE = a
EF = BE + AF -AB = a+b-c
c b a
c S
S
F
CE
ABC
Tam giác ABC vuông tại C nên c2=a2+b2
2 2
2
2
2
2
2
2 1
2
Mà a
1
2 1
2 1
2 1
c
a b c
CEF
S
S
Đẳng thức xảy ra khi a = b hay tam giác ABC vuông cân tại C
*Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
C
H
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)