Bài giảng Đề và đáp án HSG Tỉnh 2009

Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.. b Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON AM DN đạt GTNN.

Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9

Năm học 2008 -2009

Môn thi :Toán – Bảng A Thời gian :150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (4,5 điểm ).

a) Cho A= k 4 +2k 3 -16k 2 -2k +15 với k Z Tìm điều kiện của k để A chia hết cho16

b) Cho 2 số tự nhiên a và b Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm đ ợc số nguyên c sao cho a 2 + b 2 + c 2 là số chính phơng

Câu 2 ( 5,5 điểm ).

a) Giải phơng trình :x 2 – x - 2 1 16x = 2

b) Cho x ,y thoả mãn :

2 2 2





 Tính Q = x 2 + y 2

Câu 3 (3,0 điểm ).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 1 1 1

P

Trong đó các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện : 3

2

a b c   Câu 4 (5,5 điểm)

Cho đờng tròn (O;R), hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D) Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng : AM ED  2OM EA. .

b) Xác định vị trí điểm E để tổng OM ON

AM DN đạt GTNN.

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC, lấy điểm C 1 thuộc cạnh AB, A 1 thuộc cạnh BC, B 1 thuộc cạnh CA Biết rằng

độ dài các đoạn thẳng AA 1 , BB 1 , CC 1 không lớn hơn 1

Chứng minh rằng : 1

3

ABC

S  (S ABC là diện tích tam giác ABC).

hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS

Năm học 2008 - 2009

(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Môn: toán - bảng A

-CâuNội dungĐiểm14,5a/

2,5Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k  Z Vì k  Z  ta xét các trờng hợp:

TH1: k chẵn  A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ

 A không chia hết cho 2

 A không chia hết cho 16 (loại) (1)

1,0 TH2: k lẻ, ta có:

A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)

= (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)

Do k lẻ  k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn

Từ (1) và (2)  với  k  Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 161,0

0,5b/Do tích a.b chẵn nên ta xét các trờng hợp sau:

2,0TH1: Trong 2 số a, b có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn, b lẻ

 a2  4; b2 chia cho 4 d 1  a2 + b2 chia cho 4 d 1

 a2 + b2 = 4m + 1 (m  N)

Chọn c = 2m  a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1)1,0TH2: Cả 2 số

a, b cùng chẵn

 a2 + b2  4  a2 + b2 = 4n (n  N)

Chọn c = n - 1  a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 (thoả mãn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ta luôn tìm c  Z thoả mãn bài toán.1,025,5

3,0/Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 - x - 2 1 16x 2  §KX§: 1

x 16



2

 )



2 2

(x y)(x y 3) 0

















Víi x = y thay vµo (*)  x2 - x = 4x

 x2 - 5x = 0  x(x - 5) = 0





VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ: x = 5

0,25

2,25

0,5

b/

2,5Cho x, y tho¶ m·n:     



2 2 2

Tõ (1)  x3 = -2y2 + 4y -3  x3 = -2(y2 - 2y + 1) - 1

 x3 = -2(y - 1)2 - 1  -1 với  y  x3  -1  x  -1 (*)



2

2y

1

Từ (*) và (**)  x = -1 thay vào (2) ta đợc:

y2 - 2y + 1 = 0  (y - 1)2 = 0  y = 1

 (x; y) = (-1; 1) (thoả mãn)

 Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = 2

1,0

1,0

y

z

 P = (3 + x)(3 + y)(3 + z)

= 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz

= 27 + 144 + 108 + 64 = 343

2  Pmin = 343 Khi a = b = c =

1 2 1,5

0,75 0,5

N M

D

C

O

B A

E

1 1

45,5a/

3,0Xét COM và CED có:







0

 COM CED (g-g)

Do AB, CD là 2 đờng kính vuông

1 1



0

1 1

(do (1))

 AM.ED = 2 OM.AE (ĐPCM)

1,0

1,0

2,5T¬ng tù c©u a ta cã:

DÊu = xÈy ra khi vµ chØ khi:

 E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AD

 E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AD

1,0

0,5

1,051,5Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö

TH1: 600 Aˆ900

ABC

1

2

1

0

BB

AB

ABC

3

0,5

0,5

0,5

K H

A

1

B

1

C

1