DETHI DH LAN I KA CO DA

[r]

đề thi giữa kỳ môn toán

Khối a (Thời gian làm bài 180 phút) Câu I (3điểm)

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị y= 2

1

x x



2/ Tìm điểm M (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các tiệm cận nhỏ nhất.

3/ Tìm điểm M (C) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

CâuII(3điểm)

1/ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực :

2 4

x   x   m x  2/ Cho ABC có 00 <A≤B≤C<900

Chứng minh rằng: 2cos 3 4 cos 2 1

2 cos

C



3/ Cho x.y>0 và x+y=5

4 tìm giá trị nhỏ nhất của S = x4 41y CâuIII(3điểm)

1/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi B’và D’ là trung điểm SB và SD nặt phẳng (AB’D’) vuông góc với SC và cắt SC tại C’

a/ Tinh thể tích hình chóp.

b/ Tính diện tích tứ giác AB’C’D’

2/Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a ,AC=BD=b, AD=BC= c tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Câu IV(1điểm)

Cho a,b,c là 3 số dơng và a2+b2+c2=1 chứng minh rằng:

3 3 2

b  c  c  a  a  b 

Hớng dẫn chấm CâuI

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị y= 2

1

x x



 (C)

2/ Tìm điểm M (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các tiệm cận nhỏ nhất

3/ Tìm điểm M (C) sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

I-1 +tập xác định

+sự biến thiên

y’ = 3/(x+1)2 >0 với mọi x≠-1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1)và (-1;+∞)

Hàm số không có trị

Giới hạn tiện cận 2

1

x

x x

 







1

2 lim

1

x

x x



 



 



1

2 lim

1

x

x x











Đồ thị có tiện cận đứng x=-1

Đồ thị có tiện cận ngang y=1 Bảng biến thiên

+Đồ thị

Tìm giao với các trục

0,25

0,25

0,25 0,25

I-2 M(x0;y0)(C) => y0=1-3/(x0+1)

d(M;x+1=0) = x 0 1

d(M;y-1=0) =

0

3 1

x 

d(M;x+1=0)+ d(M;x+1=0) = x 0 1+

0

3 1

Dấu bằng có <=> x 0 1= 3

 x0 = -1+ 3 y0 = 1+ 3

 x0 = -1- 3 x0 = 1- 3

0,25 0,25 0,25 0,25

I-3 M(x0;y0)(C) => y0=1+3/(x0+1)

Tiếp tuyến tại M có pt : y=

1

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiện cận đứng =>

0

6

1

A x





 Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiện cận ngang =>

0

(2 1:1)

B x 

Gọi I là giao điểm của tiện cận => I(-1;1)

Ta có IA=

0

6 1

x  IB=2 x 0 1

=> IA.IB =12 Chu vi IAB= IA+IB+AB = IA+IB+ IA2IB2 ≥ IA IB.  2 IA IB =

0,25

0,25 0,25

2 3 2 6

Dấu bằng có <=>IA=IB <=>

x0 = -1+ 3 y0 = 1+ 3 => M1(-1+ 3 : 1+ 3)

x0 = -1- 3 x0 = 1- 3 =>M2 (-1- 3 : 1- 3)

0,25

Câu

II 1/ Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực :4 2

x   x   m x 

2/ Cho ABC có 00 <A≤B≤C<900

Chứng minh rằng:2 cos3 4 cos 2 1

2 cos

C



3/ Cho x.y>0 và x+y=5

4 tìm giá trị nhỏ nhất của S = x 4y

1 4



1

m

 

Đạt 4 1

1

x t x





 với x≥ 1 => 0≤t <1

Pt có nghiệm <=> pt : t2+1=mt (1) có nghiệm thoả mãn 0≤t <1

Ta tháy t=0 không là nghiệm (1)<=> m = t+1/t

Xét hàm số f(t) = t+1/t trên [0;1) f’(t) =1-1/t2 >0 với 0≤t <1 Hàm số đồng biến trên [0;1)

0≤f(t) <1 Vậy với 0≤m <1 thì pt có nghiệm

0,25

0,25 0,25 0,25

II-2 ta co 600≤C<900 => 0<cosC≤1/2

P=

2cos 3 4 cos 2 1 8cos 8 6 5



cos

C

Đặt cosC =t ta có P=8t2-8t -6 +5/t xét hàm số f(t) =8t2-8t -6 +5/t với 0<t≤1/2 f’(t) =8t-8 -5/t2 <0 với 0<t≤1/2 hàm số nghịch biến trên (0;1]

f(t)> f(1/2) =2

0,25 0,25 0,25 0,25

II-3 ta có y=5/4-x => 0<x<5/4

5 4

Xét hàm số f(x) = 4 1

5 4

x  x trên khoảng (0;5/4)

f’(x) = 42 1 2

(5 4 )

 f’(x)=0 <=> x=1 f(x) ≥ 5

vậy giá trị nhỏ nhất của P băng 5 khi x=1 y=1/4

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu

III

CâuIII(3điểm)

1/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi B’và D’ là

trung ®iÓm SB vµ SD nÆt ph¼ng (AB’D’) vu«ng gãc víi SC vµ c¾t SC t¹i C’

a/ Tinh thÓ tÝch h×nh chãp

b/ TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’

2/Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD=a ,AC=BD=b, AD=BC= c tÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn III-1

H

S

O'

O

B

C

D'

B'

C'

chøng minh SC’=SC/3

ta co SO.SO’=SC.SC’=> SO2/2 =SC2/3=> 3SO2=2SC2

mµ SC2-SO2=a2/2 SO=a , SO= 6

2

a

V=a3/6

0,25 0,25 0,25 0,25

III-2

B’C’ = 2

2

a

SC.AC’ =AC.SO=>AC’= 2 3

3

a

SAB’C’D’= 2

2

3

6

a

0,25 0,50 0,25

l

N

D

C

Dùng h×nh chãp DMNP sao cho A,B,C lµ trung ®iÓm MN NP vµ PM

MN =2 BC =2 DA => MND vu«ng t¹i D => DMDN T¬ng tù DPDN vµ DMDP

VDMNP = 1

VDMNP = 4VABCD

Ta cã DM2 +DN 2 =4c2

DM2 +DP 2 =4b2

DP2 +DN 2 =4a2

=> DM= 2a22b2 2c2

0,25

0,25

0,25 0,25

DM= 2a22c2 2b2

DM= 2b22b2 2a2

=> VDMNP = 1

12

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2(a b  c )(a c  b b)( c  a )

C©u

III

Cho a,b,c lµ 3 sè d¬ng vµ a2+b2+c2=1 chøng minh r»ng:

3 3 2

b  c  c  a  a  b 

XÐt hµm sè f(x) = 1 2

x  x trªn (0;1)

f’(x) =

2

2 2

1 3 [ (1 )]

x



 f’(x)=0 <=> x= 3

3 f(x)≥ 3 3

2

2

2

3 3 2 1

a

a b c

b  c  c  a  a  b    

0,25 0,25 0,25 0,25