Tài liệu Tom tat ly thuyet GT (2)

TÍCH PHÂN 1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’x=fx với xa;b thì Fx thì Fx là một nguyên hàm của fx trên khoảng a;b thì Fx.. Mọi nguyên hàm của fx đều có dạng Fx+C, trong đó C là

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

Phần 3 TÍCH PHÂN

1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với x(a;b) thì F(x) ) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b) thì F(x) ) Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b) thì F(x) )=f(b) thì F(x) ) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b) thì F(x) ] Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C,

trong đó C là hằng số Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b) thì F(x) ), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) thì F(x) ) và ký hiệu là ( x ) dx

Vậy (x)dx = F(x)+C  F ’(x) = f(x) với x(a;b) thì F(x) ) và C là hằng số

 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

2.Tính chất:

a) (( x ) dx )'= f(x)

b) thì F(x) )kf(x)dx= k(x).dx k0

c)[ (x)g(x)]dx =(x)dx +g(x)dx

d)(t)dtF(t)C(u)duF(u)C với u = u(x)

3.Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

1

x dx













1











dxx = lnx+ C, x  0 duu = lnu+ C, x  0

exdx = ex+C eudu = eu+C

a ln

a dx

a ln

a du

au u +C, 0<a1

sinxdx =  cosx+C sinudu =  cosu+C

 cos dx2 x = tgx+C, x

2



+k và kZ cosdu2u = tgu+C, u

2



+k và kZ

 sin dx2 x =  cotgx+C, x k và kZ sindu2u =  cotgu+C, u k và kZ

II Phương pháp đồng nhất:

a.Hai đa thức đồng nhất:

Cho hai đa thức :

f(x) = anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0 (an  0)

g(x) = b) thì F(x) nxn+b) thì F(x) n-1xn-1+ +b) thì F(x) 1x+b) thì F(x) 0 (b) thì F(x) n  0)

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật













0 0

n n

b) thì F(x) a

b) thì F(x) a

) x ( g )

x

(

f

b.Phép đồng nhất:

1) Dạng f(x) =( x a )n

) x ( g

 ( với degg(x) < n):

Phương pháp: Phải tìm n số r1, r2, r3, , rn sao cho:

f(x) =

a x

r

) a x (

r )

a x (

1 n

2 n

1











Kiến thức:

















n

1 )

a x ( d ) a x ( ) a x

(

dx

+C với 2 nN

a x

) a x ( d a x

dx















2) Dạng f(x) =(x a)(x b) thì F(x) )

) x ( g



 ( với degg(x)  1 ):

Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho:

f(x) = (x a)(x b) thì F(x) )

) x ( g



b) thì F(x) x

B a x

A





 3) Dạng f(x) =(x )(ax b) thì F(x) x c)

) x ( g

2  



 ( với degg(x) < 3 và  =b) thì F(x) 2  4ac < 0 )ac < 0 )

Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho:

f(x) =

c b) thì F(x) x ax

C Bx x

A

2











 4ac < 0 )) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất các hệ số của các b) thì F(x) iểu thức đồng dạng với nhau

III Tích phân xác định:

1) Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,b) thì F(x) K; F(x) là một

nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số F(b) thì F(x) )F(a) được gọi là tích phân từ a đến b) thì F(x) của f(x) và được ký hiệu là 

b) thì F(x)

a

dx ) x ( Ta viết :

) a ( F ) b) thì F(x) ( F ) x ( F dx ) x

( b) thì F(x)

a b) thì F(x)

a







2) Các tính chất của tích phân :

Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b) thì F(x) ,c  K

* 

a

a

dx

)

x

( =0

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

* 

a

b) thì F(x)

dx

)

x

( =

b) thì F(x)

a

dx ) x (

*

b) thì F(x)

a

dx

)

x

(

kf =k

b) thì F(x)

a

dx ) x ( (k|R)R)

b) thì F(x)

a

dx )]

x (

g

)

x

(

b) thì F(x)

a

dx ) x ( 

b) thì F(x)

a

dx ) x ( g

*

c

a

dx

)

x

( =

b) thì F(x)

a

dx ) x ( +

c

b) thì F(x)

dx ) x (

* f(x)  0 trên [a;b) thì F(x) ] 

b) thì F(x)

a

dx ) x ( 0

* f(x)  g(x) trên [a;b) thì F(x) ] 

b) thì F(x)

a

dx ) x ( 

b) thì F(x)

a

dx ) x ( g

* m f(x)  M trên [a;b) thì F(x) ]  m(b) thì F(x) a) 

b) thì F(x)

a

dx ) x (  M(b) thì F(x) a)

* t[a;b) thì F(x) ]  G(t)=

t

a

dx ) x (

f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0

IV Các phương pháp tính tích phân xác định:

1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ], giả sử cần

tính 

b) thì F(x)

a

dx

)

x

( , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b) thì F(x) ] a) Đổi b) thì F(x) iến số dạng 1:

 Đặt x = u(t)

- Tính dx=u’(t)dt

- Đổi cận x = a  u(t) = a t = 

x = b) thì F(x)  u(t) = b) thì F(x)  t = 

 Đổi b) thì F(x) iến b) thì F(x) (x)dxg(t)dt

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]

 Tính b) thì F(x) (x)dxg(t)dt

a =G(t)|R)G() G()

 b) thì F(x) ) Đổi b) thì F(x) iến số dạng 2:

 Đặt t= v(x) ( hoặc b) thì F(x) iến đổi t= v(x)  x = u(t))

- Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )

- Đổi cận: x = a  t = v(a) = 

x = b) thì F(x)  t= v(b) thì F(x) ) = 

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4ac < 0 ) - Gv soạn: Phạm Văn Luật

 Đổi b) thì F(x) iến b) thì F(x) (x)dx g(t)dt

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]

 Tính b) thì F(x) (x)dxg(t)dt

a = G(t)|R)G() G()



2) Phương pháp tính tích phân từng phần :

a) Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] thì:



b) thì F(x)

a

) x (

u .v’(x)dx= u(x) v(x) b) thì F(x) a  

b) thì F(x)

a

) x (

v .u’(x)dx

hay: b) thì F(x)  

a

b) thì F(x) a b) thì F(x) vdu uv

udv

b) thì F(x) ) Cách tính:

 Biến đổi b) thì F(x) 

a

b) thì F(x)

dx ) x ( với cách đặt hợp lý :



















) x ( v v dx ) x ( ' u du dx ) x ( ' v dv ) x ( u u

 Biến đổi về: b) thì F(x)  

a

b) thì F(x) a b) thì F(x) vdu uv

udv , sau đó tính từng phần uv ab) thì F(x)

b) thì F(x)

|R) c) Chú ý : Có thể sử dụng b) thì F(x) ảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân b) thì F(x) ằng phương pháp tích phân từng phần (a0):

   cos(axb) thì F(x) )

a

1 dx )

b) thì F(x) ax

sin(

) b) thì F(x) ax ( dx ) b) thì F(x) ax

















1

   sin(axb) thì F(x) )

a

1 dx )

b) thì F(x) ax

C

1 b) thì F(x) ax

dx

lnax+b) thì F(x) + C

cos2(dxaxb) thì F(x) )=

a

1 tg(ax+b) thì F(x) ) +C   

 ax b) thì F(x) b) thì F(x)

a

1 dx

sin2(dxaxb) thì F(x) ) = 

a

1 cotg(ax+b) thì F(x) )+C   

a x ln a

1 a x

dx

2

V Ứng dụng của tích phân :

1.Diện tích hình phẳng:

1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] Diện tích hình (H) giới hạn b) thì F(x) ởi y=f(x); y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b) thì F(x) xác định b) thì F(x) ởi:

S=

b) thì F(x)

a

dx ) x (

Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:

a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x[a;b) thì F(x) ] thì 

b) thì F(x)

a b) thì F(x)

a

dx )

x ( dx

) x (

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

b) thì F(x) ) Khi b) thì F(x) ài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b) thì F(x) thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :

 Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân b) thì F(x) iệt thì a=x1 < x2=b) thì F(x)

 Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì : a= x1 < x2 <… < xn=b) thì F(x) Để tính diện tích trong trường hợp này ta b) thì F(x) iến đổi:

S=

b) thì F(x)

a

dx ) x ( =

2 a

dx ) x (f + 

3

2

dx ) x



b) thì F(x)

1 n

dx ) x ( f

= 

2

a

dx ) x ( + 

3

2 dx ) x

 b) thì F(x)

1 n

dx ) x ( f 2) Cho f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] Diện tích hình (H) giới hạn b) thì F(x) ởi y= f1(x); y= f2(x) và hai đường thẳng x=a và x=b) thì F(x) xác định b) thì F(x) ởi:

b) thì F(x)

a

2

1( x ) f ( x ) dx

2.

Thể tích vật thể hình học :

1 Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng () và () đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b) thì F(x) Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng () vuông góc với Ox Thể tích của (T) được tính b) thì F(x) ởi:

V=

b) thì F(x)

a

dx ) x ( S

2 Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] Khi cho hình (H) giới hạn b) thì F(x) ởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b) thì F(x) quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay Thể tích hình tròn xoay được tính b) thì F(x) ởi: V= 

b) thì F(x)

a

2dx y

3 Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b) thì F(x) ] Khi cho hình (H) giới hạn b) thì F(x) ởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b) thì F(x) quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay Thể tích hình tròn xoay được tính b) thì F(x) ởi: V= 

b) thì F(x)

a

2dy x

Kiến thức về lượng giác

I

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với kZ :

 sin2 + cos2 = 1 tg =



 cos

sin

 cotg =



 sin cos

 1 + tg2 =

 2 cos

1 ,k

2 1 + cotg2 = sin2 





 k  tg.cotg = 1,

2

k





Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 6 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

II Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt:

Cung đối nhau Cung b) thì F(x) ù nhau Cung hơn kém  Cung phụ nhau sin() =  sin

cos() = cos

tg() =  tg

cotg() =  cotg

sin( ) = sin

cos( ) = cos

tg( ) =  tg

cotg( ) =  cotg

sin(+) =  sin

cos( + ) = cos

tg( + ) = tg

cotg(+) = cotg

sin(

2



) = cos cos(

2

 ) = sin tg(

2

 ) = cotg cotg(

2

 ) = tg

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 7 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

III Công thức cộng :

sin(a b) thì F(x) ) = sina.cosb) thì F(x)  cosa.sinb) thì F(x) (1)

cos(a b) thì F(x) ) = cosa.cosb) thì F(x)  sina.sinb) thì F(x) (2)

tg(a b) thì F(x) ) =1tgatgatgb) thì F(x) .tgb) thì F(x) (3)

điều kiện a và b) thì F(x) trong công thức (3) xem như có đủ

IV Công thức nhân :

1 Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa tg2a =1 tg a

tga 2

2

cos2a = cos2a sin2a= 2cos2a1= 12sin2a

2 Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina4ac < 0 ) sin3a cos3a = 4ac < 0 )cos3a 3cosa tg3a = 1 3tg a

a tg tga 3

2 3





3 Công thức hạ bậc:

sina.cosa=2

1 sin2a sin2a=

2

a 2 cos

1 

cos2a=

2

a cos

1 

tg2a=

a 2 cos 1

a 2 cos 1





sin3a=

4ac < 0 )

a sin 3 a



cos3a= 4ac < 0 )

a cos 3

a

4 Biểu diễn theo t=tg

2

a : sina = 2

t 1

t 2

 cosa = 2

2

t 1

t 1





tga = 2

t 1

t 2



V Công thức biến đổi :

1 Tích thành tổng:

cosa.cosb) thì F(x) =

2

1 [cos(ab) thì F(x) )+cos(a+b) thì F(x) )] sina.sinb) thì F(x) =

2

1 [cos(ab) thì F(x) )cos(a+b) thì F(x) )] sina.cosb) thì F(x) =

2

1 [sin(ab) thì F(x) )+sin(a+b) thì F(x) )]

2 Tổng thành tích:

cos  + cos  = 2 cos

2





 cos 2





 cos   cos  = 2 sin

2





 sin 2







Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

sin  + sin  = 2 sin

2





 cos 2





 sin   sin  = 2 cos

2





 sin 2







tg   tg  =









 cos cos

) sin(

cotg   cotg  =











sin

sin

)

sin(

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 9 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

Phần IV ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:

a) Qui tắc cộng :

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2,… , mn cách chọn đối tượng

xn, và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng b) thì F(x) ất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (ij; i,j=1,2,…,n) thì có m1+m2+…+mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho.

Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau Trường hợp

1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, …trường hợp n có mn cách thực

hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2+…+mn.

b) Qui tắc nhân :

Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n b) thì F(x) ước liên tiếp nhau, b) thì F(x) ước 1 có m1 cách, b) thì F(x) ước 2 có

m2 cách, , b) thì F(x) ước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1 m2 … mn cách khác nhau.

Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, …giai đoạn n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1 m2 … mn

2.Hoán vị:

A Hoán vị thẳng:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n1) của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó.

b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì:

n 1 2 3 )

2 n )(

1 n ( n

Qui ước: 0!=1

B Hoán vị có lặp lại:

a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí Trong đó:

n1 vật giống nhau

n2 vật giống nhau

…

nk vật giống nhau ( Hẳn nhiên là n= n1+n2+…+nk)

b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại của n vật trên là:

! n

!

n

! n

! n

k 2 1

C Hoán vị tròn :

a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí chung quanh một đường tròn.

b) Định lý: Số hoán vị tròn của n vật trên là:

Pn1= (n1)!

3.Chỉnh hợp:

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang - 10 Gv soạn: Phạm Văn Luật a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi b) thì F(x) ộ gồm k (1   k n ) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø :

)!

k n (

! n )

1 k n ) (

2 n )(

1 n ( n

Ak n















Đặc b) thì F(x) iệt: Khi k   n An n  Pn

4.Tổ hợp:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0k  n) phần tử

của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø :

)!

k n ( k

! n

Ck n





c) Tính chất:

n

k

n C

C  

n

k n

k

n C C

C 11 1  3) A kn k ! Ckn

II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

1.Công thức nhị thức Newton:

Với hai số thực a và b) thì F(x) và nN ta có công thức:

n n n k

k n k n 1

n 1 n n 0 n

n C a C a b) thì F(x) C a b) thì F(x) C b) thì F(x) )

b) thì F(x) a

(         

2.Các tính chất:

a) Vế phải có n+1 số hạng.

b) thì F(x) ) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b) thì F(x) là n.

c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :

k k n k n 1

k C a b) thì F(x)

  ( k 0,1,2,3, ,n)

d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.

n n n

2 n

1

n

0

n C C C 2

C

)

0 C ) 1 (

C C

C

n n 2

n

1

n

0