Từ trung điểm K của cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt tia AB tại D, cắt tia AC tại E.. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng ED.. Chứng minh rằng nếu đường chéo A
Trang 1UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi : Toán
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề )
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
ĐỀ
Bài 1: (2 điểm)
Cho đa thức f(x) = ax3+2ax2−ax 4− a) Xác định a để f(x) chia hết cho x – 1
b) Với a tìm được chứng minh f(x) chia hết cho 8, với mọi x nguyên lẻ
Bài 2: (1 điểm)
Chứng minh rằng : 1x+1y ≥ x+4y với ∀x, y >0
Bài 3: (3 điểm)
2
2
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A Từ trung điểm K của cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt tia AB tại D, cắt tia AC tại E Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng ED
a) Chứng minh rằng AI ⊥ BC
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Tại sao?
Bài 5: (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB và CD lần lượt lấy 2 điểm E và F Sao cho AE CF BE DF=
Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia diện tích tứ giác ABCD thành hai phần bằng nhau
Trang 2
-HẾT -ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn thi : Toán
Bài 1: (2 điểm)
a/ Vì f(x) chia hết cho x – 1 nên f(1) = 0 Do đó: a.1 2a.1 a.1 4 03+ − − =
Suy ra: a = 2 Vậy: f(x) = 2x3+4x2−2x 4−
b/ Ta có: f(x) = 2x3+4x2−2x 4− = 2 x( 3+2x2− −x 2)= 2 x x 2 2( + − +) (x 2)
= 2 x 2 x( + ) ( 2− =1) 2 x 2 x 1 x 1( + ) ( + ) ( − )
Vì x lẻ nên x -1 và x + 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8 Vậy: f(x) chia hết cho 8
Bài 2: (1 điểm) Xét hiệu : x y x y =x xy+y−x+y
+
−
= ( )
y x y
x xy
y xy x y
x xy
xy y
+
−
= +
+
−
= +
−
Dấu = xảy ra x = y
Bài 3: (3 điểm)
( ) ( )
) Tìm giá trị lớn nhất của 7 9
2 4 2
2 ) Tìm giá trị nhỏ nhất của 16 66
= − + −
= + − − ≤ + − + − =
⇒ = ⇔ − = − ⇔ =
= − +
= −( 8)2 2 2 Min B 2 x 8 0 x 8
+ ≥
⇒ = ⇔ − = ⇒ =
( )
2
Ta có: vế trái 7 9 2 điều kiện: 7 x 9
2 vế phải 8 2 2
Theo đề bài nên 2 Do đó 8
Vậy 8 thỏa mãn phương trình đ
x
+ − = − +
= − + − ≤ ≤ ≤
= − + ≥
Bài 4 : (2đ)
a/ Do ABC vuông ở A, K là trung điểm của BC nên
suy ra : KB = KC = KA
KAC cân ở K nên KAC KCAˆ = ˆ (1)
Mặt khác ADE vuông ở A, I là trung điểm của DE nên:
ID = IE = IA; IAE cân nên IAE IEAˆ = ˆ (2)
Vì AK ⊥ DE nên IEA KAEˆ + ˆ =900 (3)
Từ (1), (2), và (3) ⇒KCA IAEˆ + ˆ =900
Do đó AHCˆ =900 hay AH ⊥ BC
E H
I K D
B
C A
Trang 3b/ Do AI ≥ AK hay
2 2
≥ nên DE ≥ BC Vậy DE không thể nhỏ hơn BC (ABC vuông cân thì DE = BC )
Bài 5: (2 điểm)
Gọi D1, B1, E1, và F1 lần lượt là hình chiếu của D, B, E, F trên AC Xét : EE1I và FFII Ta có:
EE1I = FFII (c huyền, góc nhọn)
EE1 = FF1 (1)
1
1 1
1
// (2)
// (3)
EE BB
Mặt khác:
Do đó từ (2) và (3)
mà (theo (1))
1 2
ABC ADC ABCD
AE CF
AB CD
⇒