Từ đó suy ra nghiệm của phương trình fx = 0.. Chứng minh rằng: Tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông... Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1... Chéo hình
Trang 1UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn thi : Toán
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề )
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
ĐỀ
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n, ta có
25n4 + 50n3 – n2 – 2n chia hết cho 24.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 22 2 3
2
x
P
Bài 2: (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + 6 a) Xác định a, b để f(x) chia hết cho x2 + 3x + 2
b) Với a, b tìm được ở câu a Chứng minh f(x) chia hết cho 6 với mọi
x Z Từ đó suy ra nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Bài 3: (3,5 điểm)
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
3
A
với a = 2004 ; b = 2005 ; c = 2006
Bài 4: (3 điểm)
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB , BC , CD , DA ta dựng về phía ngoài các hình vuông lần lượt có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 Chứng minh rằng: Tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông.
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC , AD là đường phân giác trong của góc A (D BC) Chứng minh rằng: AD2 = AB AC – DB DC
Trang 2
-HẾT -UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn thi : Toán - Năm học 2004 - 2005
Bài 1: (4 điểm)
a) 25n4 + 50n3 – n2 – 2n = n( 25n3 + 50 n2 – n – 2 )
= n( n + 2 )( 25n2 – 1 )
= n( n + 2 )24n2 + n( n + 2 )( n2 – 1 )
= 24n3( n + 2 ) + ( n – 1 ) n( n + 1 )( n + 2 ) Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24 Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1 2 3 4 = 24 (2đ)
b)
P x
2
2
Ta thấy: P(x) nhỏ nhất khi
x2 x
1
2 lớn nhất và x2 x
1
2 lớn nhất khi
x2 x 2 (x1)2 7
2 4 nhỏ nhất ; x2 – x + 2 nhỏ nhất bằng
7
4 khi x
1
2 (2đ)
Bài 2: (3 điểm)
f(x) = x3 + 4x2 + bx + 6 a) Phân tích g(x) = x2 + 3x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )
f(x) g(x) f(x) ( x + 1 )( x + 2 )
b) f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
f(x) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên f(x) 6 Khi đó: f(x) = 0 ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) = 0 Nghiệm của f(x) = 0 là : x = – 1 ; x= – 2 ; x= – 3 (1,5đ)
Bài 3: (3,5 điểm)
Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab( a + b )
a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
A
a b c
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Vậy A = 2004 + 2005 + 2006 = 6015
Trang 3Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình : 1 1 2
2
2
2
2
x= 2
Vậy nghiệm của PT là : x 2 2
Bài 5: (3,5 điểm) Chứng minh: Tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông
1
1
A
D
O1
O2
O3
O4
* Xét BO1O2 và CO3O2
Có BO1 = CO3 ( =1/2 đ chéo của 2 h.vuông bằng nhau) (1)
O1BO2 = 900 + B1
O3CO2 = 900 +C1 O1BO2 = O3CO2 (2)
B1 = C1 (cùng bù ABC)
Trang 4BO2 = CO2 ( = 1/2 đ chéo hình vuông tâm O2) (3) Từ (1), (2), (3) BO1O2 = CO3O2 (c.g.c) O1O2 = O2O3
* Chứng minh tương tự ta được :
BO1O2 = CO3O2 =DO3O4 = AO1O4
O1O2 = O2O3 =O3O4 = O4O1
- Mặt khác : O1O2O3 = BO2C = 900 (hai đ Chéo hình vuông) Vậy tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông
Bài 6: (3 điểm)
Chứng minh rằng: AD2 = AB AC – DB DC
A
* Trên tia AD lấy điểm E sao cho AEB = ACB
AEB ACD ( A1 = A2 ; C = E )
= AD2 + AD.DE (1)
* Ta có : DBE DAC ( D1 = D2 ; C = E )
(2)
Từ (1) và (2) AB.AC = AD2 + DB.DC
AD2 = AB.AC – DB.DC
E D
