Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABD.
Trang 1
Đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp 9 năm học: 2006-2007
Câu 1 (1điểm)
Rút gọn biểu thức: (11−−y yy + y)(11−−yy )2
Câu 2 (3điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y2- 5 = 2
x
17 −
Câu 3: (5điểm)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3+ cx2 + dx + e biết P(1) =1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =16; P(5) =25 a/ Tìm P(6) ?
b/ Tìm các hệ số a,b.c,d,e của đa thức P(x) ?
Câu 4:(5điểm)
a/ Chứng minh : P(x,y) = (3x+3y)(x+12y + x1+y )≥ 4
Trong đó x〉0 , y〉0 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất Q = 2 2
2
) (a b b
a
+
2
) (a b a
b
+ +
Câu 5(6điểm)
Cho tam giác vuông ABC (∠ A= 900) Đờng cao AH, có cạnh AB = 2cm, đoạn HC =3cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABD
a/ Tính diện tích tam giác ABC
b/ Chứng minh: CD2 = AC2 +BC2 /
Bài giải
Trang 2Câu 1/ Điều kiện xác định của bài toán: x≥0, y≠ 1
P = 1−y1y−+yy−y[(1 1y)(1y y)
+
−
−
]2 = 1−y1+−y y(1−y) ( 1 ) 2
1
y
+
= (1−1y−)(1+y y).( 1 ) 2
1
y
2
) 1 )(
1 (
) 1
)(
1 (
y y
y y
+
−
+
−
=1
Câu2 y2- 5 = 17 − x 2 ; Do 5 〉 17 − x 2 nên 5≤ y2 〈 10 vì y nguyên
⇒y2 = 9 ⇒4 = 17 − x 2 ⇒ x =±1 ⇒ y= ±3
Vậynghiệm của phơng trình là: (1; 3); (1;-3);(-1, 3);(-1,-3)
Câu 3 Xét hiệu: g(x) = p(x) – x2 ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0 ⇒ 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x) vì hệ số
của x2 bằng 1 nên g(x) có dạng:
g(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) ⇒p(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x2 a/ p(6) = 5.4.3.2.1 +36 =156
b/ p(x) = (x2-3x+2)(x2-7x+12)(x-5)+x2
= (x4-7x3+12x2-3x3+21x2-36x+2x2-14x+24)(x-5) +x2
= (x4-10x3+35x2-50x+24)(x-5) +x2
= x5-10x4+35x3-50x2+24x-5x4+50x3 -175x2+250x-120+x2
= x5-15x4+85x3-224x2+274x-120
⇒a=-15; b =85; c = -224; d =274; e = -120 Câu4
a) Chứng minh : p(x,y)=(3x+3y)(x+12y) + 2x1+y) ≥ 4.trong đó x 〉0 y〉0
Ta có : [(x+2y) + (2x+ y)]( x+12y + 2x1+y) ≥ 2 (x+ 2y)( 2x+y).2 (x+2y)(1 x+y) = 4
⇒p≥ 4 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y (Đpcm )
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2 2
2
) b a ( b
a
+
2
) b a ( a
b
+ +
trong đó a và b là các số thực khác không
Gải
: Ta có (a+b)2 ≤ 2(a 2+b2) nên:
Q≥ 2 2( 2 2)
2
b a b
a
+
) b a ( 2 a
b
2 2 2
2 + + = 2 2 2
b a 2
a
2
b a 3
b
+
Q + 2 ≥ 2 2 2 2 2
b a 2
b a 2 a
+
+
2 2
2 2 2
b a 3
b a 3 b
+
+ +
= 3(a2+b2) (2 a 2 b 2
1
+ +3 a 2 b 2
1
3 [(2a 2 +3b 2 )+(3a 2 +2b 2 )](2 a 2 b 2
1
+ +3 a 2 b 2
1
Trang 3≥53 2 ( 2a2 + 3b2 )( 3a2 + 2b2 ) 2 (2a2 + b2)(13a2 + b2) =125 ⇒ Q ≥ 125 - 2 =
5
2
Vậy Q ≥ 52 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Câu 5: a) Đặt BH= a〉0 , AH = h〉0 Trong ∆ABC ,Ta có h2 = 3.a
Trong ∆ABH Ta có h2 = 4- a2
⇒ a2+3a -4 = 0
⇔ (a-1) (a+4) = 0
⇔ a =1 hoặc a = - 4 ( loại )
⇒ h2 = 3 ⇒ h = 3
Hay BH = 1(cm) ; AH = 3 (cm)
⇒ BC =3 + 1 = 4 (cm)
⇒ ∠ACB = 300 (1)
SABC =
2
1
AH BC =
2
3
b)Vẽ tam giác đều BCE ngoài tam giác ABC
∆DBC = ∆ABE (c-g- c) ⇒ DC = AE ∠ACE = ∠ACB + ∠BCE = 300+ 600 = 900
⇒ AE2 = AC2 +CE2 ⇒ DC2 = AC2 + BC2 (đpcm ) /
E
B
D H