DE DAP AN THI HOC SINH GIOI TAN 9

[r]

Phòng giáo dục & Đào tạo

Môn Toán lớp 9

Năm học 2006 – 2007

Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1 ( 4,0 điểm)

Cho biểu thức A = x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2

với x 0 ; x  4 và x 9

a/ Rút gọn A

b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 2 (5,0 điểm)

Cho hệ phơng trình :

2 2







a, Giải hệ phơng trình khi m = 0

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 3 (3,0 điểm )

Cho phơng trình : 3x2  4x2(m 1) 0

Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài 4 ( 8,0 điểm )

Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của

BF, BE

a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB

c, Khi CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đ-ờng nào

=== Hết ===

Đáp án chấm học sinh giỏi

môn Toán 9 Năm học 2006 - 2007

==================

Bài 1 ( 4,0 điểm)

Cho biểu thức A = x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2

Đề chính thức

với x 0 ; x  4 và x 9

a/ Rút gọn A

=

x 3 x 9 x 9 x x 9 x 4

:

x 4



 

 

3 x 2





  =

3

x2 b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

A nguyên  3

x2nhận giá trị nguyên nên x không là số vô tỷ Giả sử x= p

q (với p, q tự nhiên ; q0; (p,q) = 1) suy ra

2 2

p x q

 Vì x nguyên suy ra

2 2

p q  p q  (p,q) = q  q=1 Vậy x=p N Suy ra x + 2 là số tự nhiên Vậy A nguyên  x + 2 là ớc của 3

Do x + 2 là số tự nhiên nên x + 2 = 3  x= 1

Bài 2 ( 5,0 điểm)

Cho hệ phơng trình :

2 2







a, Giải hệ phơng trình khi m = 0

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

H

ớng dẫn giải.

a, Với m = 0 hệ đã cho trở thành



Trừ từng vế 2 phơng trình (1) và (2) ta đợc: y2 – x2 = 0  (y - x)(y + x) = 0

0 0

* Với y = x thay vào (1) ta đợc : x2 – 2x = 0 0

2

x x





  



x = 0  y = 0

x = 2  y = 2

* Với y = - x thay vào (1) ta đợc y2 = 0  y = 0

y = 0  x= 0 Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm ( 0; 0) ; ( 2; 2)

2

K H

d

I

N M

O

D

C

B A

b, Giả sử hệ phơng trình có một nghiệm ( x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0

Khi đó x2 – 2x -2m = 0 (*)

Hệ có nghiệm duy nhất  (*) có nghiệm kép  1

' 1 2 0

2

Với 1

2

m  hệ đã cho trở thành

2 2





 giải hệ trên ta có 1

1

x y











Vậy với 1

2

m  thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (1;1)

Bài 3 (3,0 điểm )

Cho phơng trình : 3x2  4x 2(m 1) 0  ( 1)

Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

H

ớng dẫn giải.

Đặt t = x- 2  x = t + 2 thay vào (1) ta có 3(t + 2 )2- 4(t + 2) + 2(m -1) = 0

 3t2 + 8t + 2(m + 1) = 0 ( 2)

Phơng trình đã cho có 2 nghiệm nhỏ hơn 2  (2) có 2 nghiệm cùng âm



10 6 0

1

8

3





 



m

m

m m

a

b

a

Bài 4 ( 8,0 điểm )

Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC và AD cắt tiếp tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B lần lợt tại F và E.Gọi M và N lần lợt là trung điểm của BF, BE

a, Chứng minh tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB

c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển

động trên đờng nào

H

ớng dẫn giải.

a,Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

3

+ Ta có Sđ AEB 1(SđAB  SđBD)

2 ( Theo Đ/l góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn ) = 1SđAD

2 (1)

mà SđACD 1SđAD

2 ( 2) ( Theo Đ/L góc nội tiếp )

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp ( Theo dấu hiệu nhận biết tgnt)

b, Chứng minh trực tâm H của tam giác AMN là trung điểm của OB

Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt AB tại H suy ra H là trực tâm của tam giác AMN

+ Cm cho vBMH vBAN BM BH  BHBM.BN

+ C/m cho BM.BN = BE.BF

4 ( vì M, N lần lợt là trung điểm của BF, BE) =

2

AB 4 ( Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông AEF)

+ Từ đó suy ra BH = AB

4 =

OB 2 Suy ra H là trung điểm của OB

c, Khi đờng kính CD thay đổi thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đờng nào.

Gọi K là trung điểm của EF, qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt đờng trung trực của EF tại I, suy ra I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF

- Chứng minh cho AOIK là hình bình hành

cm AKF cân tại K  KAFKFA

Cm cho ACD AEF ( vì tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp )

ACDCAKAFEAEF 90  AQK 900 AKCD,

mà OICD suy ra AK//OI

cm đợc OA// IK ( Vì cùng vuông góc với EF )

Suy ra AOIK là hình bình hành  IK = OA = R không đổi

- Vì IK = R không đổi, EF cố định nên I thuộc đờng thẳng d song song với EF I cách EF một khoảng bằng R và I nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đờng thẳng FE

=== Hết ===

4