Với mỗi điểm A trờn cung lớn BC vẽ đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC, đường trũn này tiếp xỳc với AB, AC lần lượt tại K và L.. Chứng minh KL luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định... Vớ
Trang 1đề chính thức
kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên
năm học 2010-2011
Môn thi : toán học Lớp 11
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm cú 01 trang)
Bài 1 (4đ) Cỏc dóy {an} và {bn} được xỏc định như sau : a1 > 0, b1 > 0 và
;
Chứng minh : a50 + b50 > 20
3 1001 1002 < + + + 2000 < 4
Bài 3 (3đ) Cho hàm số f(x) thỏa món: f(1) = 1, f(4) = 7,
2 ( ) 2 ( )
Hóy tớnh f(1999)
Bài 4 (3đ) Trong đường trũn tõm O dựng dõy BC khụng qua O Với mỗi
điểm A trờn cung lớn BC vẽ đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC, đường trũn này tiếp xỳc với AB, AC lần lượt tại K và L Chứng minh KL luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định
Bài 5 (3đ) Trong khai triển của 1 1
2011 3
(a− b b+ − a) , cú số hạng nào mà lũy
thừa của a và b bằng nhau hay khụng ? Nếu cú hóy xỏc định số hạng đú
Bài 6 (3đ) Tớnh giới hạn của dóy số cú số hạng tổng quỏt un = 5n −cos nπ
… Hết …
Họ và tờn : Số bỏo danh
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11 Thi Học sinh giỏi năm học 2010-2011
1 Các dãy {a n } và {b n } được xác định như sau :
a 1 > 0, b 1 > 0 và với n = 1,2,3… thì 1 1
;
Chứng minh : a 50 + b 50 > 20
LG: Đặt cn = (an + bn)2 Khi đó :
n n
n n
Từ đó : c3 ≥ + =c2 8 1.8;c4 ≥ + =c2 16 2.8; c50 ≥ 48.8.(1)
Mặt khác :
2
Từ (1) và (2) có c50 ≥ 50.8 => đpcm
3 1001 1002 < + + + 2000 < 4
LG: a
2000
1001
1001 2000 1002 1999
1001.2000 1002.1999 1001.2000 4
k
S
k
=
∑
b
2000
1001
1001 1500 1002 1499 1501 2000 1502 1999
1001.1500 1250.1251 1501.2000 1750.1751
k
S
k
=
∑
1250.1251 1750.1751 5.1251 7.1751
1251 1751 2190501 3
Trang 33.Cho hàm số f(x) thỏa mãn: f(1) = 1, f(4) = 7, ( 2 ) ( ) 2 ( )
Hãy tính f(1999).
LG: Từ các cặp (1;4) và (4;1) tính được f(2) = 3 và f(3) = 5 Ngoài ra :
Ta có sự phân tích sau :
1999 2.1 (1999) 2 (1)
667 2.1 (667) 2 (1)
223 2.1 (223) 2 (1)
75 2.3 (75) 2 (3)
27 2.0 (27) 2 (0)
9 2.0 (9) 2 (0)
Với các giá trị đã tính được ta sẽ có : f(9) = 17; f(27) = 53; f(75) = 149; f(223) = 445; f(667) = 1333 và f(1999) = 3997
4.Trong đường tròn tâm O dựng dây BC không qua O Với mỗi điểm A trên cung lớn BC vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường tròn này tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại K và L Chứng minh KL luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
LG: Gọi điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC là N
Hạ BI và CJ vuông góc với KL, ta có tứ giác BCJI là hình thang và:
Mặt khác, nếu gọi M là trung điểm BC và gọi P là chân đường vuông góc hạ
Vậy đường thẳng KL tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm M là trung điểm BC, bán kính không đổi r = os
c
Trang 45.Trong khai triển của (a−16 b b+ −163 a) 2011, có số hạng nào mà lũy thừa của a
và b bằng nhau hay không ? Nếu có hãy xác định số hạng đó.
LG: Ta có số hạng tổng quát của khai triển là
2
k
nhau thì cần có 4022 3k 4k 2011
k N
hạng nào mà lũy thừa của a và b bằng nhau
6.Tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát u n = 5n os
c nπ
−
LG:
v
π
Mặt khác lim5n = +∞ (***)
Từ (*), (**), (***) ta có giới hạn cần tính bằng +∞ (Áp dụng định lý 2 SGK ĐS> lớp 11 chuẩn trang 119)
Chú ý: Học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa