PHUONG TRINHdoc

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...[r]

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (Nâng Cao)

I Phương pháp biến đổi tương đương

1 Kiến thức cần nhớ:

2 1 2 1

n

n

2 Các dạng cơ bản:

  2 

0

g x





 (Không cần đặt điều kiện f x  )  0

* Dạng 2: f x  g x  xét 2 trường hợp:

TH1:  

 

0 0

g x

f x







  2 

( ) 0

g x











  2 

( ) 0 0

f x









Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 1 2 3 1 0









Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  2    2

4 x1  2x10 1 3 2 x

b) Tương tự với 2 dạng: * f x  g x  * f x  g x 

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 6x 1 x 2 0

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2  2mx 1 m 2có nghiêm

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2

2x mx 3  có hai nghiệm phân biệt.x 1

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2mx22x1

3 Các kỹ năng:

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4 (ĐH Khối A – 2005)

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 1  x x 2 2 x2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2  mx x2 4 0 có nghiệm

b Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:

- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2

7 7

x  x 

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a

2

x

x x

 

ĐS: a 1x<8, b ; 1  2 3; 

2

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực

phân biệt: x2 2x 8 m x  2 (1)

Một số dạng chuyển thành tích:

- Dạng: a c x-  b d- 

ax b cx d

m



Ta biến đổi thành: m ax b(   cx d )ax b   cx d 

Ví dụ: Giải phương trình: 4 1 3 2 3

5

x

- Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0

Ví dụ: Giải phương trình: 3 x 1 3x2 1 3x2 3x2 ĐS: x=0, x=1

Ví dụ: Giải phương trình: 4 x 1 x  1 4x3 x2 ĐS: x=0, x=1.

- Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3x2 3x3 2x  x2 3 2x22x ĐS: x=0.

- Dạng: a 3b 3  (ab)(a 2 +ab+b 2 )=0  a=b

Ví dụ: Giải phương trình: 2 3 9 3 x x2 2 2x3 33 x x 22 ĐS: x=1.

c Chuyển về dạng: A 1 + A 2 + + A n = 0 với A i 0 1,  i n khi đó pt tương đương với: A1 0, A20, A n 0

Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 3x 3 4x x3 2 2 x1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y 2  y2 4x2 y

d Sử dụng lập phương:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức a b 3a3b3 3ab a b   khi

đó phương trình tương đương với hệ

3

3







Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 13x 232x 3 ĐS: 1; 2; 3

2

x x x

e Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:

- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:  

 

2

x

(ĐH Khối A2004)

- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a x 3 x2 4x2  9 b 51 2 2 1

1

x x x



Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a x 2 x 1 x x  1 x2  x  b 0 4x2 5x 1 2 x2  x 1 9 x 3

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 x 1 2 x  2 x2

Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3  x  x 2

Bài 4: Giải phương trình 2 2

Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2    1 x 1

Bài 6: Giải các phương trình sau:

3 32x23 x 2 39x 4 3 x13 x 1 x32

4

x

4

x

x  x  

Bài 7: Giải các bất phương trình sau:

a 1 1 4x2 3

x

 b x23x2 x26x5  2x2 9x7

c x2 x 2 x22x 3 x2 4x 5

Bài 8: Giải các phương trình:

a 3x 1 3x2 3 x 3 x2 x b 3 4 4

3

x

x

 c 4 x 3 1 4x 3

x

d 2 x3 9 x2  x 4 e 2 2

2x x  x 1 4 3x 1 2x 2x 6