– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Trung điểm của đoạn thẳng. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB. Cho hình bình hành ABCD. Cho tứ giác A[r]
Trang 1
CHƯƠNG I VECTƠ
I VECTƠ
1 Các định nghĩa
• Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là AB
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB
• Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
• Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng
• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài
Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a b , ,
để biểu diễn vectơ
+ Qui ước: Vectơ 0
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ
Mọi vectơ 0
đều bằng nhau
2 Các phép tốn trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: AB BC AC+ =
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: AB AD AC+ =
• Tính chất: a b b a + = +
; (a b + + = + +) c a (b c )
; a + =0 a
b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của a là vectơ b
sao cho a b 0 + =
Kí hiệu vectơ đối của a là −a
• Vectơ đối của 0
là 0
• a b a − = + − ( )b
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA AB − =
c) Tích của một vectơ với một số
• Cho vectơ a và số k ∈ R ka là một vectơ được xác định như sau:
+ ka cùng hướng với a nếu k ≥ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0
+ ka = k a.
• Tính chất: k a b(+)=ka kb +
; (k l a ka la+ )= + ; k la( ) =( )kl a
ka 0 = ⇔ k = 0 hoặc a 0 =
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a ( ≠0)cùng phương⇔ ∃ ∈k R b ka: =
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k (≠ 0):
AB k AC=
• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng phương
a b ,
và x tuỳ ý Khi đĩ ∃duy nhất cặp số m, n ∈ R: x ma nb = +
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA MB 0 + = ⇔ OA OB + =2OM
(O tuỳ ý)
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA GB GC 0 + + = ⇔ OA OB OC + + =3OG
(O tuỳ ý)
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Trang 2
Bài 1 Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0
) cĩ điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Bài 2 Cho ∆ABC cĩ A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh: BC ′ =C A A B′ = ′ ′
b) Tìm các vectơ bằng B C C A ′ ′ ′ ′,
Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC
Chứng minh: MP QN MQ PN = ; =
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh:
a) AC BA AD− = ; AB AD AC+ =
b) Nếu AB AD+ = CB CD−
thì ABCD là hình chữ nhật
Bài 5 Cho hai véc tơ a b ,
Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b + = − a b
Bài 6 Cho ∆ABC đều cạnh a Tính AB AC + ; AB AC−
Bài 7 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính AB AC AD+ +
Bài 8 Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC , ,
Bài 9 Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ AB AD+
, AB AC +
,
AB AD−
Bài 10
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC
AO cắt (O) tài A’ (≠A), BO căt (O) tại B’ (≠B)
a) Chứng minh: AH=B C HC' ; =AB'
b) So sánh 2 vectơ: HM ,MA'
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác
– Tính chất của các hình
- Tính chất vectơ - Khơng
Bài 1 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
a) AB DC AC DB+ = +
b) AD BE CF AE BF CD + + = + +
Bài 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh:
a) Nếu AB CD=
thì AC BD=
b) AC BD AD BC + = + =2IJ
c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 + + + =
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm
Bài 3 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:
2( + + + ) 3=
Bài 4 Cho ∆ABC Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS
Trang 3
Chứng minh: RJ IQ PS 0 + + =
Bài 5 Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM
a) Chứng minh: 2IA IB IC + + =0
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC + + =4OI
Bài 6 Cho ∆ABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường trịn
ngoại tiếp Chứng minh:
a) AH=2OM
b) HA HB HC + + =2HO
c) OA OB OC OH + + =
Bài 7 Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G′
a) Chứng minh AA BB CC ′+ ′+ ′ =3GG ′
b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm
Bài 8 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:
Bài 9 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc
AC sao cho CN =2NA
K là trung điểm của MN Chứng minh:
Bài 10 Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng:
2
2
2
Bài 11 Cho ∆ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:
Bài 12 Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G
và CH 1(AB AC)
3
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB
Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b=, =
Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG ,
theo a b ,
Bài 14 Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BD
theo các vectơ AB và AF
Bài 15 Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM
theo các vectơ OA OB OC , ,
Bài 16 Cho ∆ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB=3MC NA, =3CN PA PB, + =0
a) Tính PM PN ,
theo AB AC,
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 17 Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
a) Chứng minh: AA BB CC 1+ 1+ 1=0
Trang 4
b) Đặt BB 1=u CC ,1=v
Tính BC CA AB , ,
theo u và v
Bài 18 Cho ∆ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo
dài sao cho 5FB = 2FC
a) Tính AI AF theo AB và AC,
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC Tính AG theo AI và AF
Bài 19 Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: HA −5HB HC+ =0
b) Đặt AG a AH b=, =
Tính AB AC ,
theo a và b
Bài 20 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC, đường chéo BD theo
thức tự ở E, F, M1 Biết: DE m DA DF= ; =n DC.
(m, n > 0) Hãy biểu diễn: DM1
qua DB
và
m, n
VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a = , trong đĩ O và a đã được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k
– Hình bình hành
– Trung điểm của đoạn thẳng
– Trọng tâm tam giác, …
Bài 1 Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC − + =0
Bài 2 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng AB
Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI
a) Chứng minh: BN BA MB − =
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI ND + = ; NM BN NC− =
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh rằng: AB AC AD+ + =2 AC
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM AB AC AD= + +
Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Chứng minh: MN 1 (AB DC)
2
b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0 + + + =
Bài 5 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm
của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: SA SB SC SD + + + =4SO
Bài 6 Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IB +3IC=0
b) 2JA JC JB CA + − = c) KA KB KC + + =2BC
d) 3LA LB − +2LC =0
Bài 7 Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IA −3IB=3BC
b) JA JB + +2JC =0 c) KA KB KC BC + − =
d) LA −2LC AB= −2AC
Trang 5
Bài 8 Cho ∆ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB IC BC + − =
b) FA FB FC AB AC + + = + c) 3KA KB KC + + =0
d) 3 LA−2LB LC+ =0
Bài 9 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức
sau:
a) IA IB IC + + =4ID
b) 2FA +2FB=3FC FD −
c) 4KA +3KB+2KC KD+ =0
Bài 10 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB = +
, ME MA BC = +
, MF MB CA = +
Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MF + + + +
Bài 11 Cho tứ giác ABCD
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0 + + + =
(G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD)
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: OG 1(OA OB OC OD)
4
Bài 12 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′
Bài 13 Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao cho các
vectơ v đều bằng k MI.
với mọi điểm M:
a) v MA MB = + +2MC
b) v MA MB = − −2MC
c) v MA MB MC MD = + + +
d) v =2 MA+2MB MC+ +3MD
Bài 14 Cho đường trịn (O;R) và hai điểm cố định A, B Với mỗi điểm M xác định M’ sao cho:
'
Hãy xác định vị trí M’ biết M chạy trên (O;R)
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Hai điểm trùng nhau
• Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức
AB k AC=
, với k ≠ 0
• Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM ON =
, với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0 =
Bài 1 Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA +2OB−3OC=0
Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
HD: BH AH AB BK AK AB = − ; = −
Bài 3 Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB =2IC
2
= −
, KA = − KB
Trang 6
a) Tính IJ IK theo AB và AC ,
(HD: IJ AB 4AC
3
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB)
Bài 4 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
cho MB =3 MC
, NA =3CN
, PA PB 0 + =
a) Tính PM PN ,
theo AB AC,
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD =
1
2AF, AB =
1
2AE Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành
Bài 6 Cho ∆ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA +3IC=0
, JA +2JB+3JC =0
minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng
Bài 7 Cho ∆ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3 MA+4MB=0
, NB−3NC=0
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC
Bài 8 Cho ∆ABC Lấy các điểm M N, P: MB −2MC NA= +2NC PA PB= + =0
a) Tính PM PN theo AB và AC ,
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 9 Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng
minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm
Bài 10 Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C, C′
là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 11 Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2 A B′ +3A C′ =0
, 2B C ′ +3B A′ =0
,
2 ′ +3 ′ =0 Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ cùng trọng tâm
Bài 12 Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho:
′= ′ = ′ Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ cĩ chung trọng tâm
Bài 13 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của M
qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N
b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 14 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA +4MB=0
,
2
=
Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC
Bài 15 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
a) Chứng minh AB AC AD AE + = +
b) Tính AS AB AD AC AE theo AI= + + +
Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Trang 7
Bài 16 Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC = −2AB
,
CN xAC BC = −
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM
IN
Bài 17 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ≠
a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0 + + =
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC = + +
Chứng minh ba điểm G,
M, P thẳng hàng
Bài 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN =2MA +3MB MC−
a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA +3IB IC− =0
b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
Bài 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN =2MA MB MC − +
a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB IC − + =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định
c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định
Bài 20 Cho tam giác ABC Các điểm P, Q thoả mãn: 2
=
a) Biểu diễn: AP AQ,
theo AB AC, b) Chứng minh rằng: PQ đi qua trọng tâm của tam giác ABC
Vấn đề 5 Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa
về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm
cố định và bán kính là khoảng khơng đổi
– Tập hợp M qua A cĩ vtcp cho trước,
Bài 1 Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MB + = MA MB−
b) 2MA MB + = MA+2MB
Bài 2 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
2
b) MA BC+ = MA MB− c) 2MA MB + = 4MB MC −
d) 4MA MB MC + + = 2MA MB MC − −
Bài 3 Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA −2IB IC+ =0
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:
MN =2MA−2MB MC+
luơn đi qua một điểm cố định
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA −2HB HC+ = HA HB−
Trang 8
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2KA KB KC + + =3KB KC +
Bài 4 Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I sao cho: IA +3IB−2IC=0
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB −2DC=0
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA +3MB−2MC = 2MA MB MC − −
Bài 5 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
3 |MA MB MC + + +MD| 4 |= MB MD MC + + |
VẤN ĐỀ 6: Áp dụng vectơ giải tốn
Bài 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường trịn
ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH và B C AB và HC ′ ; ′
Bài 2 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh: AC BD AD BC + = + =2IJ
b) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 + + + =
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN cĩ chung trung điểm
Bài 3 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB = +
, ME MA BC = +
, MF MB CA = +
Chứng minh các điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC + +
và MD ME MF + +
Bài 4 Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a) Chứng minh: 2IA IB IC + + =0
b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA OB OC + + =4OI
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC
Chứng minh:
a) 2 AI =2 AO AB+
b) 3DG DA DB DC = + +
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD
a) Chứng minh: AI 1 D 2(A AB)
2
b) Chứng minh: OA OI OJ 0 + + =
c) Tìm điểm M thoả mãn: MA MB MC 0− + =
Bài 7 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD=2 AB
,
5
=
a) Tính AG DE DG theo AB và AC, ,
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng
Bài 8 Cho ∆ABC Gọi D là điểm xác định bởi AD 2AC
5
=
và M là trung điểm đoạn BD
a) Tính AM
theo AB và AC
Trang 9
b) AM cắt BC tại I Tính
IC
IB
và AI
AM
Bài 9 Cho ∆ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
a) MA MB =
b) MA MB MC 0 + + = c) MA MB + = MA MB−
d) MA MB+ = MA MB+ e) MA MB + = MA MC+
Bài 10 Cho hình thang cân ABCD cĩ đáy AD, BC, gĩc 0
30
BAD
∠ = Biết: AB a= =;AD b=
Hãy biểu diễn các vectơ: BC CD AC BD , , ,
theo vectơ ;a b
Bài 11 Cho vectơ ;a b
3
u = +a x b v = −x a− b
Tìm x để hai vectơ ,
u v
cùng hướng
BÀI TẬP Bµi 1/ Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC và 3
4
NA= AC Gọi G
là trọng tâm của tam giác AMN Cmr: 7GA+2GB +3GC=0
Bµi 2/ Cho tam giác vuơng ABC, cạnh huyền BC =a 5, AB=a
a) M là điểm bất kỳ, đặt v=3MA−2MB −MC
.Cmr v
là véc tơ khơng đổi.Vẽ AD =v
suy ra
v
b) Gọi I là điểm trên đoạn BC và 1
3
IB= BC, và K là trung điểm của AI, cmr:
3KA+2KB +KC =0
Bµi 3/ Cho hbh ABCD với O là tâm
a/ Xđ điểm M thỏa AB+AC+AD=3AM
b/ Cm: AO=3OM
c/ Tính AB +AD
theo OM
Bµi 4/ Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC; I và J lần lượt là
trung điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh:
a) AB+DC=2MN
b) AB CD+ =2IJ
Bµi 5/ Cho tam giác ABC.Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC Cminh:
Bµi 6/ Cho tg ABC Gọi M là trung điểm của AB, N là 1 điểm trên AC sao cho CN=2NA
; K là trg điểm của MN
a) Phân tích véc tơ AK
theo các véc tơ AB AC,
Bµi 7/ Cho tam giác ABC Đặt AB=u AC; =v
a/ Gọi P là điểm đối xứng của B qua C Tính AP theo u v ,
b/ Gọi Q và R là hai điểm định bởi 1
2
3
Tính RP RQ ;
theo ;u v
Suy ra P,
Q, R thẳng hàng
Trang 10
Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác
a) Biểu diễn AG theo AB,AC b) Biểu diễn AG theo CA,CB
c) Đặt a = BA , b = BC. Biểu diễn AG theo a , b
Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là điểm xác định bởi IA = 2IB, J là
điểm trên BC sao cho JB = x JC
a) Biểu diễn CI, CJ theo CA,CB.b) Biểu diễn IJ theo CA,CB.c) Tìm x để IJ // CG
Bài 10:Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IA + 2 IB = O , J là điểm trên BC sao cho JB = x JC
a)Biểu diễn CI, CJ theo CA,CB b) Biểu diễn AI , AJ theo AB,AC
c) Biểu diễn IJ , IG theo AB,AC d) Tìm x để I, J, G thẳng hàng
Bài 11 : Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm tam giác Tính độ dài của các véctơ sau:
a) AB+AC b) AB-AC c) AB - CA d) AB - BC e) GB +GC
Bài 12:Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4 Tính độ dài của các véctơ sau:
a) AB+AC b) AB-AC c) AB - CA d) AB - BC e) GB +GC
Bài 13 : Cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a, H là trung điểm của BC Tính độ dài của các
véctơ sau:
a) GB +GC b) 2AB+AC c) 2AB-AC d) CA-HC
Bài 14 : Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm, M là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng với
B qua G CMR:
a) AH =
3
2
AC
-3
1
AB b) CH
=-3
1
AB
-3
1
AC c) MH =
6
1 AC
-6
5
AB
Bài 15:Cho tam giác ABC
a) Gọi P là điểm đối xứng của B qua C Tính AP theo AB , AC
b) Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi : AQ =
2
1
AC và AR =
3
1
AB
Tính RP , RQ theo AB , AC
c) CMR: P, Q, R thẳng hàng
Bài 16:Cho tam giác ABC và hai điểm I, F cho bởi: IA +3 IC = O ; FA +2 FB +3 FC = O CMR:
I,F,B thẳng hàng
Bài 17:Cho tam giác ABC
a) Xác định vị chí điểm M sao cho: MA +2 MB = O b) Xác định vị chí điểm N sao cho: NA +
2 NB = CB