SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TRƯỜNG Trường THPT Phước Long NĂM HỌC 2010 – 2011 Đề chính thức Môn thi : Toán Lớp : 11 Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ RA Câu 1: (4 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     Câu 2: (4 điểm) Cho phương trình: ( ) 3 2 2 3 2 2 1 0x mx m x m m − + − + − = (1) Xác định tham số m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt Câu 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C lập thành cấp số nhân có công bội q = 2 Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c = + ( Trong đó a, b, c là các cạnh đối diện với các góc A, B, C ) Câu 4: (4 điểm) Giải phương trình: 2 1 sin3 (cos2 cos 4 ) cos2 sin 3 1 (1) 2 x x x x x− + − = Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, P là trung điểm của SB, SD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) b) Tìm giao điểm N của SC và mp(APM) c) Tìm tỉ số SN NC ------- Hết ------- 1 S GD&T BC LIấU K THI CHN HSG LP 11 VềNG TRNG Trng THPT Phc Long NM HC 2010 2011 chớnh thc Mụn thi : Toỏn Lp : 11 HNG DN CHM ( Gm 4 trang t trang 2 n trang 5 ) Cõu 1: ( 4 im ) p dng bt ng thc Cụsi cho 4 s khụng õm, ta cú 1 + a = a + b + c + a 2 4 4 a bc (1) (1,0) 1 + b = a + b + c + b 2 4 4 acb (2) (0,5) 1 + c = a + b + c + c 2 4 4 abc (3) (0,5) Nhõn cỏc v tng ng (1), (2), (3) ta c ( ) ( ) ( ) 1 1 1 64a b c abc+ + + (0,5) 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + ữ ữ ữ ( Vỡ a, b, c > 0 ) (1,0) Du ng thc xy ra khi ch khi: a = b = c = 1 3 (0,5) Cõu 2: ( 4 im ) 2 2 2 2 (1) ( )( 1) 0 1 0 (2) Pt x m x mx m x m x mx m + = = + = (1,0) pt (1) cú 3 nghim dng phõn bit thỡ 0 (2) 2 m Pt coự nghieọm dửụng phaõn bieọt khaực m > (0,5) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4( 1) 0 0 4 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 m m m m m m P m m S m m f m m > > > > > > > > > > > > (1,5) 2 0 2 2 2 1 3 3 3 1 1 m m m m m   >   −  ⇔ < < ⇔ < <     < −   >    (0,5) Vậy các giá trị m cần tìm là: m 2 1 ; 3   ∈  ÷   (0,5) Câu 3: (4 điểm) Theo giả thiết ta có: B = 2A , C = 2B = 4A Do A + B + C = π ⇒ A + 2A + 4A = 7A = π ⇒ A = 7 π (1,0) B = 2 7 π , C = 4 7 π 1 1 1 1 1 1 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 7 7 b c R B R C R R π π + = + = + (1,0) = 4 2 3 sin sin 2sin .cos 1 1 7 7 7 7 . . 2 4 2 4 2 2 sin .sin sin .sin 7 7 7 7 R R π π π π π π π π + = (1,0) = 3 2sin cos 1 1 7 7 4 2 .2.sin cos sin 2 sin 7 7 7 7 a R R π π π π π π = = (đpcm) (1,0) Câu 4: ( 4 điểm) Ta có : (1) ⇔ 2sin3x(cos2x – cos4x) – 2(1 – cos2x) – sin 2 3x = 0 ⇔ 4sin 2 3x.sinx – 4sin 2 x – sin 2 3x = 0 ⇔ 4sin 2 x – 4sin 2 3x.sinx + sin 4 3x – sin 4 3x + sin 2 3x = 0 ⇔ (2sinx – sin 2 3x) 2 + sin 2 3x.(1 – sin 2 3x) = 0 (2) (1,0) Vì ( ) 2 2 2 2 2sin sin 3 0 ; sin 3 0 1 sin 3 0 :x x x vaø x neân− ≥ ≥ − ≥ (2) ⇔ 2 2 sin 0 ( ) 2sin sin 3 0 sin3 0 sin3 0 1 sin ( ) sin 3 1 2 cos3 0 x I x x x x x II x x   =   − = =     ⇔  =    =    =       =   (1,0) 3 * Giải hệ pt (I) Ta có sinx = 0 ( )x k k Z π ⇔ = ∈ sin3 sin3 0x k π ⇒ = = ⇒ Hệ pt (I) có nghiệm x = k π ( k ∈ Z) (0,5) * Giải hệ pt (II) Ta có : sinx = 1 2 2 6 ( ) 5 2 6 x k k Z x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   Với 2 6 x k π π = + ta có: Cos3x = cos 6 0 2 k π π   + =  ÷   Với 5 2 6 x k π π = + ta có: Cos3x = 5 cos 6 0 2 k π π   + =  ÷   Suy ra hệ pt ( II ) có nghiệm : 2 6 x k π π = + và 5 2 6 x k π π = + ( k ∈ Z) (1,0đ) Vậy pt ( 1) có nghiệm là : x = k π ; 2 6 x k π π = + ; 5 2 6 x k π π = + ( k ∈ Z ) (0,5đ) Câu 5: (4 điểm) 4 P B S K A C D M N I d a) Mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung thứ nhất là S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD (1,0đ) Hình vẽ 1 điểm b) Ta có AM ⊂ mp(SAB) mà AM không song song với d nên cắt d tại I PI ⊂ mp(SCD) nên PI cắt SC tại N Suy ra N là giao điểm của SC và mp(APM) (1,0đ) c) Ta có ( ) (1)BAM SIM gcg SI AB CD∆ = ∆ ⇒ = = Tương tự ( ) (2)SIP DKP gcg SI KD∆ = ∆ ⇒ = Từ (1) và (2) suy ra KC = 2DC = 2SI Vì SI // KC nên theo định lí Talet ta có: 1 2 SN SI NC KC = = (1,0đ) ------- Hết ------- 5 . GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TRƯỜNG Trường THPT Phước Long NĂM HỌC 2010 – 2011 Đề chính thức Môn thi : Toán Lớp : 11 Thời gian làm bài. ------- Hết ------- 1 S GD&T BC LIấU K THI CHN HSG LP 11 VềNG TRNG Trng THPT Phc Long NM HC 2010 2011 chớnh thc Mụn thi : Toỏn Lp : 11 HNG DN CHM