Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác.. Tiếp tuyến với đờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E.. Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ tự ở I, K.. C
Trang 1Phòng GD&ĐT Thanh Sơn
Trờng THCS Lê Quý Đôn Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng trờng năm học 2010- 2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn
x 4 + y 4 + z 4 = 2009
Câu 2(3 điểm): Cho các số thực a a1 ; 2 ; ; a2010 thỏa mãn a1 + + +a2 a2010 = 1
1 2 2010
1
2010
a + + +a a ≥
Câu 3(3 điểm): Cho phơng trình ( ) ( ) 2
Tìm điều kiện của m để phơng trình trên có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ha, hb, hc là các chiều cao tơng ứng Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh:
a) S = pr
h +h +h =r
Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn Các tiếp
tuyến với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E Gọi giao điểm của OD, OE với
BC theo thứ tự ở I, K Chứng minh:
a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp
b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy
Câu 6(4 Điểm): Giả sử x , x1 2 là nghiệm của phơng trình 2 ( )
2
1
p
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
x + x
-Hết -Họ tên thí sinh: SBD:
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2Phòng GD&ĐT Thanh Sơn
Trờng THCS Lê Quý Đôn đáp án thi chọn HSG vòng trờng năm học 2010- 2011
Môn: Toán
Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn
x 4 + y 4 + z 4 = 2009
Chứng minh bổ đề: a4 chia 5 có d là một trong các số 0; 1( Với a là số
nguyên)
Thật vậy, khi chia a cho 5 ta có các khả năng
a = 5k; a =5k ± 1 ; a = 5k ± 2 (k là số nguyên)
Nếu a = 5k => a4 M5
Nếu a = 5k ± 1 => a4 : 5 d 1
Nếu a = 5k ± 2 => a4 : 5 d 1
Vậy bổ đề đợc chứng minh
0,5
0,5 0,5 0,5
Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z)
áp dụng kết quả bổ đề ta có:
x4 : 5 d 0 hoặc 1; y4 : 5 d 0 hoặc 1; z4 : 5 d 0 hoặc 1;
Nên x4 + y4 + z4 : 5 d chỉ có thể là 0; 1; 2; 3
Nhng 2009: 5 d 4
Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên
0,5 0,5
0,5 0,5
Cách
khác
Chứng minh bổ đề: a4 chia 7 có d là một trong các số 0; 1; 2; 4
(Với a là số nguyên)
Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z) Ta có
x4 + y4 + z4 = 2009 (1)
VP = 2009 M 7 => VT = x4 + y4 + z4 M 7, áp dụng bổ đề trên
x, y, z cùng chia hết cho 7 => x = 7m; y = 7n; z = 7p, thay vào (1)
suy ra 74(m4 + n4 + p4) = 2009 => 2009 M 74 => 2009 M 2401 (vô lý)
Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên
1
1
1 1
Câu2(4 Điểm): Giả sử x , x 1 2 là nghiệm của phơng trình 2 ( )
2
1
p
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
x + x
Điều kiện để pt có nghiệm:
2
2
p
2
p p
≥
≤−
Với điều kiện p ≥ 2 phơng trình đã cho có hai nghiệm là x1, x2 Theo định
lí Viet ta có x1 + x2 = − p; 1 2 2
1
x x
p
Do đó
Lại có
( )4
4
7 2
1
1
0,5
1
=> x 4 + y 4 + z 4 2009
Trang 3r
r I
A
trình có nghiệm) Do đó ( 4 4)
1 2 min
1
x x
2
Câu 3(3 điểm): Tìm m để phơng trình (x + x - 2 x 2 ) 2− 2(m− 1)x m+ 2 − 2 = 0
có 4 nghiệm phân biệt
Phơng trình (x + x - 2 x 2 ) 2 − 2 m 1 x m( − ) + 2 − 2 = 0 * ( ) tơng đơng với
( )
2
x - 2 m -1 x + m - 2 = 0 2
Phơng trình (1) có hai nghiệm nghiệm phân biệt là 1 và -2 nên phơng trình
(*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình (2) có hai nghiệm phân
biệt khác 1 và khác -2
Do đó ta phải có hệ
2
2
2
1 2 m 1 m 2 0
4 4 m 1 +m 2 0
2
2
Vậy: Với m 1,5; m 1; m < ≠ ≠ − ± 2 6 phơng trình dã cho có 4 nghiệm
phân biệt
1
0,5
1 0,5
Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác và ha, hb, hc là các chiều cao
t-ơng ứng Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng
h +h +h =r
a
Giả sử tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c
tam giác ABC
=> S = SAIB + SBIC + SAIC = 1
2r.a +1
2r.b +1
1
2 r(a + b + c) = p.r
0,5
+ 0,5
b
S = 1
2ha.a = 1
2hb.b = 1
2hc.c = p.r
+ +
0,5 0,5
Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn Các tiếp tuyến
với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đ-ờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ
tự ở I, K Chứng minh:
a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp
b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy
Trang 4I
O A
B
C
D
E
M
a
DBK = DOE = SdBMC
2
=> Tứ giác OBDK nội tiếp ( Theo quỹ tích
cung chứa góc)
=> DBO DKOã + ã = 180 0
=> DKOã = 90 0 và ãDKE= 90 0
Chứng minh tơng tự
ã 90 0
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 b
=> Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy tại một điểm
0,5 0,5
Câu 6(3 điểm): Cho a1 + + +a2 a2010 = 1 Chứng minh rằng 2 2 2
1 2 2010
1
2010
a + + +a a ≥
Suy ra :
2 2
2
2010 2010
2 2
2
2010 2010
2 2
2010 2010 2010 2
2010 2010
0.5
0.5
Cộng từng vế các đẳng thức ở (1), kết hợp với giả thiết ta có :
1 2 2010 0
Cộng từng vế của các đẳng thức ở (2) ta có :
2 2 2
1 2 2010
a + + +a a = 2 2 2
1 2 2010
1
2010
x + + +x x + 1
2010
1 2 2010
1
2010
a + + +a a ≥ (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
1 2 2010
1
2010
Cách
khác
áp dụng BĐT Bu_nhia_côpxki ta có
(a1 + + +a2 a2010)2 ≤ ( 2 2 2
1 2 2010
a + + +a a )(12 + 12 + + 12) = ( 2 2 2
1 2 2010
a + + +a a ).2010
=> 12 ≤ ( 2 2 2
1 2 2010
a + + +a a ).2010 => Đpcm Dấu "=" xảy ra <=> 1 2 2010
1
2010
a =a = =a =
1
1 0,5 0,5