Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đối diện của lục giác đó bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.. Từ 3 hình thang cân nội tiếp ABDE, BCEF v[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH ĐẮKLẮK MÔN :TOÁN 12 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 6/01/2010
Bài 1:( 5 điểm)
1) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 xy y 2 x y2 2
x x x x
Bài 2:(4 điểm)
1) Giải hệ phương trình
n
2) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành 2 hàng song song ( mỗi hàng 5 học sinh) sao cho 2 học sinh đối diện bao gồm 1 nam, 1 nữ.
Bài 3:(3 điểm)
Xét một lục giác lồi ABCDEF nội tiếp trong một đường tròn có các cạnh đối diện song song.
Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đối diện của lục giác đó bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau
Bài 4:(4 điểm)
1) Cho dãy x k với k 2! 3! 4!1 2 3 1 !
k x
k
Tìm limn 1n 2n 2009n
n
2) Cho đa thứcP x( ) x5 x2 1 có 5 nghiệm r r r r r1 , , , , 2 3 4 5 Đặt q x( ) x2 2
Tính q r q r q r q r q r 1 2 3 4 5
Bài 5:(4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi x >1 đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số
P x x x x x , 3 2
P x x x x , 4
P x x và các tam giác đó ứng với mọi
x > 1 cho trước đều có góc lớn nhất như nhau.
2) Giả sử phương trình x 3 + x 2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt Hãy xét dấu của biểu thức
a 2 – 3b.
===========Hết==========
Họ và tên thí sinh……….………Số báo danh………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
NĂM HỌC 2009-2010 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 12 TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Bài 1: (5điểm)
1.Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 xy y 2 x y2 2
Nhận thấy xy, xy+1 là 2 số nguyên liên tiếp, có tích là số chính phương nên ta có
+ xy xy1 00
2 Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương
x4 2x3 2x2 x 3
Đặt x4 2x3 2x2 x 3 y2 ;y
Đặt a x 2 x, ta đi chứng minh a2 y2 (a 2) 2
y a x x x
Xét (a 2) 2 y2 x2 x 2 2 x4 2x3 2x2 x 3
( 2)
( 1)
2
1
2 0
2
x
x
Bài 2:(4 điểm)
Trang 31 Giải hệ phương trình
n
Giải: Cộng vế với vế tất cả PT của hệ ta có:
Trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ k-1 (k<n) và trừ phương trình thứ n cho PT
( 1, 2, , 1)
n k
n x
n
2 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành 2 hàng song song ( mỗi hàng 5 học sinh) sao cho 2 học sinh đối diện bao gồm 1 nam, 1 nữ
Giải : Có 4 trường hợp
lại
Có 4! cách sắp xếp 4 em nữ đối diện ở hàng thứ hai và 1! cách sắp xếp 1 em nam đối diện
2 5 5.4!
P A
5 5.4 20
vào vị trí còn lại
Có 3! cách sắp xếp 3 em nữ đối diện ở hàng thứ hai và 2! cách sắp xếp 2 em nam đối diện
3 5 3!2! 5
5 5.4.3 60
vào vị trí còn lại
Trang 4Có 2! cách sắp xếp 2 em nữ đối diện ở hàng thứ hai và 3! cách sắp xếp 3 em nam đối diện
4 5 2!3! 5
Bài 3: (3 điểm) Xét một lục giác lồi ABCDEF nội tiếp trong một đường tròn có các cạnh
đối diện song song Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh đối diện của lục giác đó bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau
Từ 3 hình thang cân nội tiếp ABDE, BCEF và CDFA ta được AD = BE = CF (=d) tức là
những đường chéo chính của lục giác bằng nhau (và
Dựng đỉnh thứ tư G của hình bình hành ABEG
Vì AB//DE và E thuộc đoạn DG nên ta có:
AB+DE = GE+ED = GD
0.5 đ
Đồng thời ta cũng có AG = BE = AD (=d) và tam giác ADG cân ở A
Gọi ha = AA1, hb = CC1 , hc = EE1 lần lượt là khoảng cách giữa (AB//DE) , (CD//FA), và (EF//BC)
Mặt khác ta đặt AB + DE = DG = 2a, CD + FA = 2b và EF + BC = 2c
0.5 đ
a
Chứng minh tương tự ta được các hệ thức
Cách 2 : Cũng ký hiệu a , b , c , ha , hb , hc như lời giải 1
Ta xét 3 hình thang cân chéo “tự cắt” nội tiếp ABED, BCFE và CDAF theo thứ tự các góc
có độ lớn , , như đã ghi trên hình vẽ
180
d sin cos
Chứng minh tương tự ta có dãy tỷ số bằng nhau
d 2p cos cos cos sin sin sin
Vì , , là các góc nhọn nên từ (2) ta suy ra o
a b c
a b c 60 h h h
Bài 4(4 điểm)
k
k x
k
n
Trang 5Dễ thấy dãy x k là đơn điệu tăng từ đẳng thức k k1 ! k1! k11 !
Suy ra x k 1 11 !
k
, khi đó ta có :x2009n x1nx2n x2009n 2009.x2009n 0,5 đ
n
2010!
2 Cho đa thứcP x( ) x5 x2 1 có 5 nghiệm r r r r r1 , , , , 2 3 4 5
Đặt q x( ) x2 2 Tính q r q r q r q r q r 1 2 3 4 5
1 2 5 2 2 2 2
q r q r q r r r r
Nên ta có
1 2 5 2 1 2 2 2 5 2 1 2 2 2 5
2 5 2 2 1 2 5 22 1 23
Vậy q r q r 1 2 q r 5 23
Bài 5 (4 điểm)
1 Chứng minh rằng với mọi x >1 đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số
P x x x x x , P x2 2x3x2 2x 1, P x3 x4 1 và các tam giác đó ứng với mọi x > 1 cho trước đều có góc lớn nhất như nhau
Giải : Đặt a x 2 x 1 0 ;b 2x 1 0 ;c x 2 1 0
b c x x a x x b c x x 0,5đ
Trang 6Gọi là góc lớn nhất của tam giác, khi đó thì:
2 2 2 2 os
2
c hay 2
3
thức: a2 – 3b
Tập xác định: R
+ Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và
Suy ra:
1 2
1 3a 0
f (x ).f (x ) 0
(x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0)
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được:
f(x) = x3 + x2 + ax + b = 1x 1 y ' 1(6a 2)x 9b a
1 (6a 2)x 9b a
1 (6a 2)x 9b a
f(x1).f(x2) < 0 (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0
Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0
nên x1 + x2 = 2
3
; x1.x2 = a
3
(6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0
+ Vì (9b – a)2 0 và 3a – 1 < 0 nên a2 – 3b > 0 0.5 đ B.HƯỚNG DẪN CHẤM
1.Điểm của bài làm cho theo thang điểm 20, là tổng điểm thành phần và không làm tròn số
2 Học sinh làm cách khác với đáp án nếu thấy đúng vẫn cho điểm tối đa