on tap dau nam

2.. Giaûi phöông trình.. Chuù yù qua nghieäm keùp khoâng ñoåi daáu.1. Ví duï.. 6) Phöông trình truøng phöông..[r]

ÔN TẬP ĐẦU NĂM ĐAI SỐ LỚP 12

1 Phương trình bậc nhất ax+b = 0

Ví dụ Giải phương trình: a)2x - 3=0 b) 3 6 0

2

x

Chú ý Với a ¹ 0 thì ax= Û0 x=0

Giải

BÀI TẬP

Bài 1 Giải phương trình

2

x

2

x- + x- - x- = x Bài 2 Biện luận phương trình

2 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)

2 4

b ac

- Nếu D <0, PTVN

 Nếu D =0, PT có no kép 1 2

2

b

a

- Nếu D >0, PT có hai nghiệm phân biệt

b

x

a

2

b x

a

- + D

=

2

' b' ac

D = - ỉççççèb'=2bư÷÷÷÷ø

 Nếu D <' 0, PTVN

 Nếu D =' 0, PT có no kép x1 x2 b'

a

- Nếu D >' 0, PT có hai nghiệm phân biệt

1

b x

a

a

- + D

=

Ví dụ Giải phương trình (giải bằng cách tính Dvà D' nếu được):

a) x2- 4x+ =3 0 b) x2+6x+ =9 0 c) x2+ + =x 5 0

Giải

Chú ý 1 Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0

i) Nếu a+b+c = 0 thì x 1 = 1, x2 c

a

=

ii) Nếu a–b+c = 0 thì x 1 = –1, x2 c

a

=

-Ví dụ a) x2- 4x+ =3 0

Ta có a + b + c = 1+ -( )4 + = Þ3 0 x1= 1, 2 3 3

1

c x a

= = = b) x2- 6x- 7=0

Ta có a–b + c = 1- -( ) ( )6 + - 7 = Þ0 x1=–1, 2 7 7

1

c x

a

Chú ý 2 Phương trình bậc hai khuyết không lập D

i) Dạng ax2+ bx = 0 (khuyết c )  Đặt thừa số chung.

Ví dụ Giải phương trình:

a)2x2- 3x=0 b) mx2- 2x=0

Giải

ii) Dạng ax2+ c = 0 (khuyết b )  Chuyễn c qua bên phải. Ví dụ Giải phương trình: a) 2x -2 8=0 b) 3x + =2 6 0 c) x2- 2m=0 Giải

Nhận xét Nếu A > 0, thì x2=A Û x= ± A

Nếu A < 0, x2=A vô nghiệm

3) Phương trình bậc hai và hệ thức viet

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ; đặt P x x1 2 c

a

a

-a) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu Û P <0

b) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt

0 0 0

P S

ìï D >

ïï ï

Û íïï >>

ïïỵ

c) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt

0 0 0

P S

ìï D >

ïï ï

Û íï >

ï <

ïïỵ

Ví dụ.Xác định m để phương trình (m- 2)x2+2(m- 1)x+m+ =2 0

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm d) Có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

Ví dụ Xác định m để phương trình x2- mx- 2=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 2 1 10 x x x +x = Giải

4 Tam thức bậc hai f x( ) =ax2+bx c+ (a  0)

1) f x ³( ) 0 " Ỵ ¡x Û 0

0

a

ìï £ ïí

ï >

ïỵ V

2) f x £( ) 0 " Ỵ ¡x Û 0

0

a

ìï £ ïí

ï <

ïỵ V

3) x1< <a x2 Û af a <( ) 0

4) x1<x2<a Û ( )

0 0

2

af S

a a

ìïï

ï D >

ïï

ï >

íï ïï

ï <

ïïỵ 5) a < x1<x2 Û ( )

0 0

2

af S

a a

ìïï

ï D >

ïï

ï >

íï ïï

ï >

ïïỵ

Ví du Cho biểu thức f x( ) =x2- 2(m+1)x+m2- m

a) Xác định m để f x   0 với mọi x  

b) Xác định m để phương trình f x  có hai nghiệm   0 x1, x2 thỏa mãn x1<x2<2

Giải

BÀI TẬP

Bài 1 Giải phương trình ( hãy lập D'nếu được)

a) x2- 6x+ =5 0 b) x2- 7x- 8=0 c) x2+7x+12=0

d) x2- 2x- 1 0= e) - 2x2+6x=0 f) x + =2 9 0

g) - x2+10=0 h) x2- 10x+25=0

Bài 2 Giải phương trình, m là tham số

a) 2x2- m+ =1 0 b) mx2- 3x=0

Bài 3 Cho phương trình :x2- (2m+3)x m+ 2+2m+ =1 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (Đáp số : m = -1)

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : 2 2

x +x =

(Đáp số :m=0 )

Bài 4 Cho phương trình f x( ) (= 3- m x) 2- 2(m- 1)x m- =0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm (Đáp số : m>-1)

b) Tìm m để f x( ) <0 " Ỵx R (Đáp số mỴ f )

Bài 5 Cho phương trình :x2- 6x m+ - 2=0

Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (Đáp số :2<m<11)

Bài 6 Cho phương trình :mx2+2(m+3)x+m=0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (Đáp số : m>0)

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

2

m> - Ùm¹ )

Bài 7 Cho phương trình : f x( ) = - x2+6x+m- 2=0

a) Xác định m để f x   0 với mọi x  

b) Tìm m để phương trình cố hai nghiệm phân biệt và số 1 nằm giữa hai nghiệm đó c) Xác định m để phương trình f x  có hai nghiệm   0 x1, x2 thỏa mãn

- < <

5 Quy tắc xét dấu biểu thức

1

f x

=

Để xét dấu biểu thức f x( ) trước tiên ta tìm nghiệm của tử và mẫu sau đó áp dụng quy tắc

“ngoài cùng trong trái với dấu của a b n m ” Chú ý qua nghiệm kép không đổi dấu.

Ví dụ Xét dấu biểu thức f x sau đó giải bất phương trình   f x  và   0 f x   0

a)f x  x23x 4 b)f x  x26x9

2

f x

=

Giải

BÀI TẬP Xét dấu biểu thức sau đó giải bất phương trình f x   0 và f x   0 a) f x( ) =x2- 3x- 4 b) f x( ) = - x2- 2x+3 c) f x( ) =x2+3x+4 d) f x( ) = - x2+2x- 4 e) f x( ) =x2- 6x+9 f) f x( ) = - 4x2+12x- 9 g) f x( ) =x2- 3x h) f x( ) = - 2x2+6x i) f x( ) = - x2+9 j) f x( ) =2x2- 8 k) f x( ) =x2+10 l) f x( ) = - 2x2- 4 m) f x( ) =x3- 9x n) f x( ) = - 2x3+6x o) f x( ) =3x3+6x p) f x( ) = - 4x3- 12x q) ( ) ( )2 2 3 f x x = - r) ( ) ( )2 3 1 f x x -= + s) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 x x f x x - -= - t) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 4 2 2 3 6 1 x x x f x x x - - - +

= - - +

6) Phương trình trùng phương.

Ví dụ Giải phương trình:

a) x4- 3x2+ =2 0 b)x4 8x29 0

c)x43x22 0 d)x44x2 0

Giải

Tổng quát:

ax bx c (1)

Đặt t x2 0, khi đó phương trình (1) tương đương: at2bt c 0 (2)

i) (1) có bốn nghiệm (2)

ii) (1) có hai nghiệm (2)

iii) (1) vô nghiệm (2)

iv) (1) có ba nghiệm (2)

v) (1) có một nghiệm (2)

BÀI TẬP 1) Giải phương trình: a)2x4- 3x2- 5=0 b)4x412x2 9 0 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :x3- 2mx=0 3) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:x4- (2m- 1)x+m2+4m=0 7 Giới hạn Quy ước: i) chan , le ,  le   ii) (dương)    , (âm)     (dương)      , (âm)     (Áp dụng quy tắc nhân dấu thông thường) iii)   0 dương ; 0 dương   ; 0 âm   ; 0 âm   Chú ý  1  1 1 0 lim n n

n n x a x a x  a x a        = (a n)  n  1  1 1 0 lim n n

x a x a x  a x a



Ví dụ:

a)

b)

c)

d)

4) Tính giá trị của hàm số

Ví dụ 1 Cho hàm số y = f x  x33x22x 7

Tính f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2), f(3), f(-3), f(1

2), f(-1

2) Giải

Ví dụ 2 Cho hàm số y=x4 2x2 Tính f(0),f(1),f(-1),f(2),f(-2),f( 2),f(- 2),f( 3) Giải

4) Biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ

Biểu diễn các điểm sau trên hệ trục tọa độ Oxy :

A(2;1), B(-3;2), C(-4;-1), D(0;-4), E(3;0), F(-2;0), G(0;2)

Giải

6 Đạo hàm

CÁC QUY TẮC VÀ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa Đạo hàm của hàm số y = f(x) được kí hiệu là y’ hay f’(x).

o Nếu y = C (C là hằng số) thì: y’ = C’ = 0  Ví dụ. (2004)’ = (828676)’ = 0

o Nếu y = x thì: y’ = x’ = 1  Hệ quả. (k.x)’ = k.(x)’ = k

2 Các quy tắc.

a) Quy tắc 1 Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm.

(u + v + w)’ = u’ + v’ + w’

o Trong đó u, v, w là các hàm số theo x

o Nếu C là hằng số thì (u  C)’ = u’

o Ví dụ (x3  2x2 + 3)’ = (x3)’  (2x2)’ + (3)’

b) Quy tắc 2 (đạo hàm của tích)

(u.v)’ = u’v + v’u

o Nếu C là hằng số thì (u.C)’ = C.u’

c) Quy tắc 3 (đạo hàm của một thương)

'

u

v

ỉ ư÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø = 2

u v v u v

-

'

1

v

ỉư÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø =  2

'

v v

d) Quy tắc 4 (đạo hàm của hàm số hợp)

o Nếu hàm số u = (x) có đạo hàm tại x là : u’x = ’(x)

o Nếu hàm số y = g(u) có đạo hàm tại u là : y’u = g’(u)

Thì hàm số hợp: y = f(x) = g[(x)] có đạo hàm tại x là : y’x = f’(x)= g’(u).’(x)

hay y’x = y’u.u’x

3.

Các công thức.

Lũy thừa

(x)’ = .x – 1 '

1

x

ỉư÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø =  2

1

x

( x)' = 1

2 x

(u)’ = .u – 1.u’

'

1

u

ỉ ư÷

ç ÷

ç ÷

ç ÷

çè ø =  2

'

u u

( u)' = '

2

u u

Lượng giác

(sinx)’ = cosx (cosx)’ = sinx (tgx)’ = 12

cos x

= 1 + tg2x (cotgx)’=  12

sin x

= (1 + cotg2x)

(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = u’.sinu (tgu)’ = 2'

cos

u u

= u’(1 + tg2u) (cotgu)’ =  2'

sin

u u

= u’(1 + cotg2u)

Hàm số mũ (e(axx)’)’ = e= axx.lna

(eu)’ = u’eu

(au)’ = u’au.lna

Logarit

(ln x)’ = 1

x

(loga  x)’ = 1

ln

x a

(lnu)’ = u'

u

(logau)’= '

ln

u

u a

BÀI TẬP

1) Tìm đạo hàm các hàm số

x y x

+

=

2

y

x

=

-2) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

1 sin cos

+

1 sin

x x

3x3–x2+ 

Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), xR

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x)  0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

8) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) =x–2+ 4

1

1

x x

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

ii) Tại điểm có tung độ bằng 3

24x -

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

0

6

p

4

p

3

p

2

p

2

2 2

3

2

2 2

1

Liên hệ giữa độ và radian: 00

180

rađian

p

= Công thức lượng giác cơ bản cos2 x + sin2 x =1

tanx sin

cos

x x

=

cotx cos

sin

x x

=

tan cotx x =1

2

1 tan x+ 12

cos x

=

2

1 cot x+ 12

sin x

=

Cung đối

cos(–α ) = cos α

sin(–α ) =–sin α

tan(–α ) =–tan α

cot(–α ) =–cot α

Cung bù

cos(p–α ) =–cos α

tan(p–α ) =–tan α cot(p–α ) =–cot α

Cung phụ cosỉççç2p- aư÷÷÷÷

çè ø = sin α sin

2

p a

çè ø = cos α tanỉçççp2- aư÷÷÷÷

çè ø = cot α cotỉççç2p- aư÷÷÷÷

çè ø = tan α

Hơn kém 

cos(p+α ) =–cos α sin(p+ α ) =–sin α

cot( p + α ) = cot α

Hơn kém 2 Tuần hoàn Công thức cộngcos a b( + ) =cos cosa b- sin sina b

çè ø=–sin α

sinỉççç ư÷÷÷

÷

çè + aø

tanỉççç2p+aư÷÷÷÷

çè ø=–cot α

cotỉççç2p+aư÷÷÷÷

çè ø=–tan α

cos(α+k2p)= cosα sin(α+k2p)= sin α tan(α+kp) = tanα cot(α+kp) = cotα

cos a b- =cos cosa b+sin sina b

sin a b+ =sin cosa b+cos sina b

sin a b- =sin cosa b- cos sina b

tan a b+ = tan tan

1 tan tan

+

tan a b- = tan tan

1 tan tan

-+ Nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a= cos2a - sin2a

= 2cos2a -1

= 1 - 2sin2a

Hạ bậc

2

cos a = 1 cos2

2

a

+

2

sin a = 1 cos2

2

a

-Tích thành tổng cos cosa b =1 cos( ) cos( )

2éêë a b+ + a b- ùúû sin sina b =1cos( ) cos( )

2éêë a b- - a b+ ùúû sin cosa b =1 sin( ) sin

2éêë a b+ + a b- ùúû Tổng thành tích

cosa+cosb =2cos cos

a b+ a b

-cosa- cosb= 2sin sin

a b+ a b

-sina+sinb=2sin cos

a b+ a b

-sina- sinb =2cos sin

a b+ a b

-Công thức nghiệm phương trình lương giác cơ bản

2

é = + ê

2

é = + ê

ê = - +