Nếu các trạm đó chỉ liên lạc với nhau bằng ba phương tiện B, C, D thì với một trạm Y bất kỳ trong số 17 trạm này bao giờ cũng có một phương tiện để Y liên lạc với ít nhất 6 trạm khác ([r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ Năm học 2007-2008
Môn : TOÁN
(150 phút không kể thời
gian giao đề)
Bài 1 (2điểm) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu
sin sin
sin (1)
5 A B 12sin 1 12sin (2)
bc
Bài 2 (1,5điểm) Tìm một hàm đa thức f(x), thoả mãn:
f (2x) = f ‘(x).f “(x)
Bài 3 (2điểm) Ba số thực x, y, z đôi một khác nhau
thoả mãn điều kiện :
(y z) 1 x (z x) 1 y (x y) 1 z 0
Chứng minh:(1 x ).(1 y ).(1 z ) (1 xyz) 3 3 3 3
Bài 4 (2,5điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
một hình bình hành Từ một điểm M di động trên cạnh
SA dựng đường thẳng song songvới AD cắt SD tại N Trên
CD lấy điểm Q sao cho CQ SM
CDSA .Tìm vị trí của M trên SA để tam giác MNQ có diện tích lớn nhất
Bài 5 (2điểm) Trong một mạng liên lạc có 66 trạm.
Mỗi trạm đều liên lạc trực tiếp đến mọi trạm khác Giữa hai trạm chỉ dùng một trong 4 phương tiện: điện thoại, fax, email và vô tuyến điện đàm để liên lạc với nhau.
Chứng minh rằng có ít nhất ba trạm liên lạc với nhau bằng cùng một phương tiện
Huế 10/11/2007
Giáo viên
Trần Công Sỹ
SỞ GIÂO DỤC - ĐĂO TẠO ĐÂP ÂN - THANG ĐIỂM MÔN TOÂN
Trang 2THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
I * Ta có (1) 4bcsin2 a2 2bc 1- cosA a2 2bc- 2bccosA = a2
2
A
Mặt khác, theo định lý hàm số cos a2 b2 c2 2bccosA (4)
So sánh (3) và (4) có 2bc = b2 + c2 (b - c)2 = 0 b = c (5)
* (2) 5sinA-sinB
- 12 (sinA - sinB) - 1 = 0 (6) Đặt t = sinA - sinB, -1 < t < 2 Xét hàm số f (t) = 5t-12t - 1
f '(t) =5tln5-12; f '(t) = 0 12
ln 5
t
to= log512 - log5ln12 Bảng biến thiên của f x xét trên khoảng (-1; 2)
t 1 t0 2
'
f (t) 0
f(t)
Bảng biến thiên cho thấy f x( )có không qúa 2 nghiệm trên .
Lại có f(0)= f(2) 0 suy ra trên miền -1 < t < 2, f (t) có 1 nghiệm
duy nhất t = 0
sinA = sinB A = B (do 0 < A, B < ) (7)
Từ (5), (7) suy ra A = B = C ABC đều
0,5
0,5
0,5
0,5
Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì: n = (n-1) + (n-2), nên n = 3
Ta có f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Theo đẳng thức f(2x) = f'(x) f''(x), ta được:
8ax3 + 4 bx2 + 2cx + d = (3ax2 + 2bx + c) (6ax + 2b)
8ax3 + 4bx2 + 2cx + d = 18a3x3 + 18abx2 + (4b2 + 6ac) x + 2bc
Cân bằng hệ số: suy ra: , 0
9
4
9
4 )
0,5 0,5 0,5
Để ý rằng: Nếu a + b + c = 0 thì a2 + b2 + c2 = abc
Đặt a (y z) 3 1 x,b (z x)3 1 y,c (x y) 3 1 z ta có:
) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
(y x 3 x3 z x 3 y 3 x y 3 z3
3 ( 1 3 )( 1 3 )( 1 3 ) )
)(
)(
(
) )(
)(
( 3 ) )(
)(
)(
1
(
3 ( 1 x3 )( 1 y3 )( 1 z3 )
3 ( 1 3 )( 1 3 )( 1 3 )
) 1 )(
1 )(
1 ( ) 1
( xyz 3 x3 y3 z3
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 3Do MN/AD nên
SD
SN SA
SM
Mà
CD
CQ SA
SM
CD
CQ SD
SN
//
MNQ NQ
MN MNQ
2
1 )
sin
2
1
NQ MN
BCS
(Vì BC/MN và SC/NQ)
Suy ra: S(MNQ) lớn nhất
MN.NQ lớn nhất
SC
NQ AD
MN
. lớn nhất Nhưng 1
SD
ND SD
SN SC
NQ AD MN
Do đó: S(MNQ) lớn nhất S(MNQ) = ( )
4
1
ABC
S
2
1
SA
SM AD MN
M là trung điểm SA
0,5
0,5
0,5
0,5
Ta chọn một trạm X bất kỳ thì bao giờ cũng có một phương tiện để X liên lạc với ít
nhất là 17 trạm khác, giả sử phương tiện đó là A Ta xét 17 trạm liên lạc với X bằng
phương tiện A Nếu trong số 17 trạm này có hai trạm liên lạc với nhau bằng phương
tiện A thì bài toán được giải quyết xong
Nếu các trạm đó chỉ liên lạc với nhau bằng ba phương tiện B, C, D thì với một trạm
Y bất kỳ trong số 17 trạm này bao giờ cũng có một phương tiện để Y liên lạc với ít
nhất 6 trạm khác ( trong số 17 trạm đang xét ), giả sử đó là phương tiện B Xét 6 trạm
liên lạc với Y bằng phương tiện B Nếu trong số 6 trạm này có hai trạm liên lạc với
nhau bằng phương tiện B thì bài toán được giải quyết
Nếu 6 trạm chỉ liên lạc với nhau bằng hai phương tiện C và D, thì với một trạm Z bất
kỳ trong số 6 trạm này phải có một phương tiện để Z liên lạc với ít nhất ba trạm khác
( trong số 6 trạm đang xét ), giả sử đó là phương tiện C Xét ba trạm liên lạc với Z
bằng phương tiện C Nếu có hai trạm trong ba trạm này liên lạc với nhau bằng
phương tiện C thì bài toán được chứng minh; nếu không thì ba trạm đó phải liên lạc
với nhau bằng cùng một phương tiện D, bài toán cũng được giải quyết
0,5
0,75
0,75 Huế, ngày 10 tháng 11 năm 2007
Giáo viên Trần Công Sỹ
C
S
M B
N