Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Phạm Văn Chúc

Tài liệu Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Phạm Văn Chúc là chuyên đề ôn tập toán học, giúp các bạn học sinh thử sức trước mùa thi tuyển sinh cao đẳng, đại học.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

 KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1/ tọa độ của vectơ và của điểm:

a) Định nghĩa:

b) Các phép toán:

 Cho :

1) ; 2) ) ; 3) k

4) 5) ;

6) cos(=

 Cho: A(



 Ghi nhớ:

1) M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2) G là trọng tâm của tam giác ABC

2/ Đường thẳng:

a) Các định nghĩa:

+ là là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và giá của vuông góc với

+ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng , nếu và có gia song song hoặc trùng với

+ Cho đường thẳng Gọi M là giao điểm của với trục Ox và tia Mt là tia của nằm phía trên trục Ox:

Nếu ( Mt, Mx ) = thì tan gọi là hệ số góc của

b) Phương trình đường thẳng:

+ Phương trình tổng quát: Nếu đt đi qua điểm M o (xo ; yo ) và một vectơ pháp tuyến

= ( a, b) ( a2 +b2 thì đt có phương trình tổng quát là: a( x - x o) + b( y – y0 ) = 0

+ Phương trình tham số: Nếu đt đi qua điểm M o (xo ; yo ) và một vectơ chỉ phương

= ( a, b) ( a2 +b2 thì đt có phương trình tham số là: (t

+ phương trình chính tắc: Nếu đt đi qua điểm M o (xo ; yo ) và một vectơ chỉ phương

= ( a, b) ( a thì đt có phương trình chính tắc là:

+ phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: nếu đường thẳng cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A (a; 0), B(b;0) thì đường thẳng có phương trình:

+ Phương trình đường thẳng có hệ số góc cho trước: Nếu đường thẳng đi qua điểm Mo (xo;yo) và có hệ

số góc k thì phương trình đường thẳng có phương trình là: y = k(x - xo ) + yo

 Chú ý: Phương trình: ax + by + c = 0 ( a2 + b2 là phương trình tổng quát của đường thẳng trong

hệ Oxy

c) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng ((

( cắt ( ( ( ( (

Chú ý: Có thể sử dụng nghiệm của hệ gồm hai phương trình đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

+ Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất

+ Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ vô nghiệm

+ Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ có vô số nghiệm

d) Khoảng cách và góc:

+ Khỏang cách từ điểm M o (xo ; yo ) đến đường thẳng ax + by + c = 0 được xác định bởi:

Mo

+ Vị trí hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đường thẳng và hai điểm M(xM ; yM), N(xN; yN)

1) M và N nằm cùng phía với

2) M và N nằm khác phía đối với

+ Phương trình đường phân giác:

Cho hai đường thẳng cắt nhau Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó là:

+ Góc của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng (Khi đó góc giữa ( được xác định: cos (

3/ Đường tròn:

a)Phương trình đường tròn:

+ Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình:

+ Phương trình: x2 + y2 +2ax +2by + c = 0, với a2 +b2- c, là phương trình đường tròn tâm I( -a; -b) và bán kính R=

b)Đường thẳng tiếp xúc đường tròn:

+ Tiếp tuyến của đường tròn tâm (I; R) tại điểm M o (xo ; yo ) là đường thẳng đi qua Mo và vuông góc với đường thẳng IMo

+ Đường thẳng tiếp xúc đường tròn tâm (I;R) khi và chỉ khi: d (I;

+ Tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn tâm (I;R) là hình chiếu vuông góc của tâm I trên Ngoài

ra, tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình đường tròn và phương trình tiếp tuyến

4/ Ba đường cônic:

a) Các định nghĩa:

+ Elip: Cho hai điểm cố định F1 và F2, với F1.F2 = 2c ( Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1 +

MF2 =2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c

Hai điểm F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm và F1.F2 = 2c được gọi là tiêu cự

+ Hypebol: Cho hai điểm cố định F1 và F2, với F1.F2 = 2c ( Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho = 2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c

+ Parabol: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F Tập hợp các điểm

M cách đều F và được gọi là parabol

Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến gọi là tham số tiêu

+ Đường cônic: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F Tập hợp các

điểm M sao cho tỉ số bằng một số dương e cho trước gọi là đường cônic

Điểm F gọi là tiêu điểm, đường thẳng gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường cônic

 Elip là đường cônic có tâm sai e

 Hypebol là đường cônic có tâm sai e

 Parabol là đường cônic có tâm sai e = 1

b) Phương trình chính tắc và các yếu tố liên quan:

+ Elip (E): = 1 (.Tiêu điểm F1 (-c ; 0) và F2 ( c ; 0) Đỉnh A1 (-a : 0), A2 (a ; 0), B1 ( 0; -b), B2 (0 ; b)

Độ dài trục lớn 2a, trục bé 2b Tâm sai e Đường chuẩn: x Bán kính qua tiêu M( x; y)MF1 = a – ex Tiêu điểm nằm trên trục lớn ( trục Ox) Trục đối xứng Ox,Oy Tâm đối xứng gốc O Hình chữ nhật cơ

sở có tâm là gốc O và các kích thước 2a và 2b

+ Hypebol (H): (a Tiêu điểm F1 (-c ; 0) và F2 (c ; 0) Đỉnh A1(-a ; 0), A2 (a ;0) Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b Tâm sai: e = Đường chuẩn: x = Bán kính qua tiêu: M ( x ; y) Tiêu điểm nằm trên trục thực ( trục Ox) Đường tiệm cận: bx Trục đối xứng gốc O Hình chữ nhật cở sở có tâm là gốc O và các kích thước 2a và 2b

+ parabol: y2 = 2px ( Tiêu điểm: F ( Tâm sai: e = 1 Đường chuẩn: x = Trục đối xứng Ox Tiêu điểm nằm trên trục Ox Đỉnh là O

 BÀI TẬP ÔN TẬP

1/ Đường thẳng:

Bài 1: Cho điểm Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt trục Ox,Oy tại B và C sao cho

tam giác ABC cân tại A

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B trong các

trường hợp sau:

a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

b) Tổng OA + OB nhỏ nhất

Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh Đường trung trực của AB là: và là trọng tâm của tam giác ABC.

Xác định tọa độ đỉnh B và C

Bài 4: Cho (d1):; (d2): và điểm Tìm điểm B trên (d1), điểm C trên (d2) sao cho tam giác ABC có trọng tâm

2/ Đường tròn:

Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường cao BH: x - 2y + 1 = 0, CH: 3x + y – 1 = 0

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2: Cho điểm M(0; 1) Viết phương trình đường tròn đi qua M, tiếp xúc Ox và cắt Oy theo một day

cung có độ dài bằng 2

Bài 3:

a)Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng (: 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng (d): x – 7y + 10 = 0 tại điểm A(4; 2)

b) Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với đường thẳng (: x + 2y – 5 = 0 tại điểm B(3; 1)

Bài 4:

a)Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng ( song song với đường thẳng (d): 3x + 4y – 7 = 0 và chia đường tròn (C) thành hai cung có tỉ số độ dài bằng 2 b) Cho đường thẳng tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 có tâm I và điểm M(-1; -3) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất

3 / Ba đường cônic:

Bài 1: Cho elip (E) có phương trình chính tắc ( Tìm a và b , biết rằng đường thẳng qua tiêu điểm F1

của (E) cắt (E) tại hai điểm A và B tạo thành tam giác ABF2 có chu vi bằng 8 và diện tích lớn nhất của tam giác MF1F2 bằng 4, với M là điểm tùy ý thuộc (E)

Bài 2: Cho parabol (P): y2 = x và điểm M(1; -1) Giả sử A và B là hai điểm phân biệt, khác M, thay đổi trên (P) sao cho MA và MB luôn vuông góc với nhau Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: Lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn là 4, các đỉnh nằm trên trục bé và các

tiêu điểm của (E) cùng thuộc một đường tròn

Bài 4: Cho hypebol (H): Gọi ( là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng ( y = kx

a) Tìm điều kiện của k dể ( và ( đều cắt (H)

b)Tính diện tích hình thoi của 4 đỉnh là giao điểm của ( và ( với (H)

c)Xác định k sao cho diện tích hình thoi đó có diện tích lớn nhất

BÀI TẬP THAM KHẢO ( Đề ĐH từ 2002 đến 2012):

Bài 1 (KA_02): Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng AB: , các đỉnh A và B

thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 2 (KB_02): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (, phương trình đường thẳng AB là và AB =

2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

Bài 3 ( KD_02): Cho elip (E): = 1, Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên

tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ của M, N để đoạn thẳng MN

có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 4 (KB_03): Cho tam giác ABC có AB =AC, góc BAC là 900 Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh

BC và G ( là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Bài 5 (KD_03): Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0 Viết phương trình đường tròn ( đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (

Bài 6: (KA-04) cho hai điểm A(0; 2) và B(- Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác OAB

Bài 7 (KB-04): Cho hai điểm A(1;1), B(4; -3) Tìm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho

khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Bài 8 (KD-04): Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1: 0), B(4; 0) và C(0; m) với m Tìm toạ độ trọng

tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G

Bài 9 (KA-05): cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 và d2: 2x + y -1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuôc trục hoành

Bài 10 (KB-05): Cho hai điểm A (2; 0) , B(6; 4).Viết phương trình đường tròn ( C) tiếp xúc với trục

hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của ( C) đến điểm B bằng 5

Bài 11 (KD-05): cho điểm C(2; 0) và elip ( E): Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc ( E), biết rằng hai

điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều

Bài 12(KA-06): Cho các đường thẳng d1: x + y + 3 =0; d2: x – y – 4 = 0; d3: x – 2y = 0 Tìm toạ độ điểm M trên d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

Bài 13 (KB-06): Cho đường tròn (C ): x2 + y2 - 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3: 1) Gọi T1 vàT2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C) Viết phương trình đường thẳng T1T2

Bài 14 (KD-06): Cho đường tròn (C ): x2 + y2 - 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn ( C ) Tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)

Bài 15( KA-07): Cho tam giác ABC có A( 0; 2), B(-2; -2) và C(4; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ

đỉnh B, M và N lần lượt là trung điểm các canh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Bài 16 (KB-07): Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1: x + y – 2 = 0 ; d2: x + y – 8 = 0 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 17 (KD-07): Cho đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0 Tìm

m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến PA, PB tới ( C) (A,B

là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều

Bài 18 (KA-08): Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ

nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20

Bài 19 (KB-08): Hãy xác định tạo độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C

trên đường thẳng AB là điểm H(-1; -1) , đường phâm giác góc trong của góc A có phương trình: x – y + 2 = 0 Và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0

Bài 20 (KD-08): Cho parabol (P): y2 = 16x và điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B,C (B,C khác A) di động trên (P) sao cho tam góc BAC bằng 900 Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Bài 21 (KA-09):

1/ trong mp Oxy, cho hình chữ nhật ABC có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 =0 Viết phương trình đường thẳng AB

2/ Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng x + my - 2m + 3=0 , với m là tham số thực Gọi I là tâm của (C) Tìm m để cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất,

Bài 22 (KB-09):

1/ Trong mpOxy, cho đường tròn (C):(x – 2)2 + y2 = và hai đường thẳng 1: x – y = 0; 2: x - 7y =0 Xác định toạ độ tâm K và bán kính của đường tròn (C1); biết (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1,2 và tâm

K thuôc (C)