DE DAP AN CHON HOC SINH GIOI LOP 9 NAM 2010 2011

Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h.. Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8[r]

THCS LÊ QUÍ ĐÔN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN: TOÁN

BÀI 1: (2 ĐIỂM)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) a3 + b3 + c3 – 3abc

b) (x 2 – x + 1 )(x2 – x + 2) - 12

BÀI 2: (2 ĐIỂM)

Chứng minh rằng nếu:



  với x y; yz  1; xz  1; x 

0; y  0 thì x + y + z = 1 1 1x yz

BÀI 3 : (2 ĐIỂM)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Hai bến sông A và B cách hau 40 km Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi

dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h

Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A

là 8 km Tính vận tốc ca nô?

BÀI 4: (2 ĐIỂM)

Cho hình thang vuông ABCD ( A D   90 0) có hai đường chéo vuông góc

với nhau tại I

a) Chứng minh rằng: ∆ AIB  ∆DAB

b) Chứng minh: IA.ID = IB.IC

c) Cho biết AB = 4 cm, AC = 9 cm Tính độ dài AI, IA, IC và tỉ số diện tích của ∆ IAB và ∆ ICD

ĐÁP ÁN:

BÀI 1: (2 ĐIỂM)

LỜI GIẢI

ĐIỂM

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc =

(a b c  ) (  a b )  c a b(  ) c  3 (ab a b c  ) =

(a b c a  )( 2 b2 c2  ab ac bc  )

b) Đặt t = x2 – x + 1 ta có: t.(t+1) – 12 = t2 – 9 + t – 3 =(t – 3)(t + 4)

= (x2 – x – 2 )(x2 – x + 5)

= (x + 1)(x – 2)(x2 – x + 5)

0,5 0,5

0,5 0,5

BÀI 2: (2 ĐIỂM)

LỜI GIẢI

ĐIỂM

Từ giả thiết => (x2 – yz )(y – xyz) – (y2 – xz )(x – xyz ) = 0

(x – y)[ xy + xz + yz – xyz (x + y + z)] = 0

0,5 0,5

Vì x  y => xy + xz + yz – xyz (x + y + z) = 0

Chia hai vế cho xyz  0 => x + y + z = 1 1 1x yz

0,5 0,5

BÀI 3 : (2 ĐIỂM)

LỜI GIẢI

Gọi vận tốc ca nô là v km/h (x > 0) và thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi

trở về cách A 8 km Ta có: t = 72

v (1) Thời gian bè trôi cách A 8km là: 8

3(2)

Từ (1) và (2) ta có : 72

v = 8

3 => v = 27 km/h

ĐIỂM

0,5 0,5 1.0

BÀI 4: (2 ĐIỂM)

LỜI GIẢI

ĐIỂM

Vì x + y = 1 => x = 1 – y => 2



2

y



1,0 1,0

BÀI 5: (2 ĐIỂM)

LỜI GIẢI

ĐIỂM

4 5

4

4

E H

D

I B

C A

a) Hai tam giác vuông có góc nhọn C chung => ∆ IAB  ∆ ADB(1)

b) AB // CD => ∆ IAB  ∆ ICD(2) => IA.ID = IB.IC (3) 0,5

0,5

c) * AD = BH = DH HE = 6 cm

*DB = DH DE = 4.13 2 13 

Từ (1) => AB2 DB IB => IB = 8

13

* AD.AB = AI.DB = > AI = . 6.4

2 13

AD AB

12

13

* ID = DB – IB = 18

13

* IA.ID = IB.IC (3) => IC = 27

13

*

2

2

144 729

IAB

ICD

S IC 

0,25

0,25

0,25 0,25