Bài soạn ÔN TẬP HHGT12

Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng : • Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó • Sử dụng phương trì

CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM

A Lí thuyết cần nhớ :

1.Tọa độ của vectơ

Định nghĩa: →

u = ( x ; y ; z ) ⇔ →

u = x→

i + y→

j + z→

k

Các tính chất : →

u = ( x ; y ; z ) , →

v = ( x’ ; y’ ; z’ )

v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )

u -→

v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )

u = ( kx ; ky ; kz )

2 Tọa độ của điểm :

Định nghĩa : M ( x ; y ; z ) ⇔ − →

OM = x→

i + y→

j + z→

k

Các tính chất : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta có ;

• AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA )

• AB = (x B −x A) 2 + (y B−y A) 2 + (z B −z A) 2

• MA = kMB ( k ≠ 1) ⇔



















−

−

=

−

−

=

−

−

=

k

kz z z

k

ky y y

k

kx x x

B A M

B A M

B A M

1 1 1

• M là trung điểm của đoạn AB ⇔



















+

+

= +

+

= +

+

=

k

z z z

k

y y y

k

x x x

B A M

B A M

B A M

1 1 1

3 Biểu thức tọa độ cua3tích vô hướng của hai vectơ :

Cho hai vectơ →

a = ( x1; y1 ; z1 ) , →

b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta có :

a →b = x1x2 + y1y2 + z1z2

a ⊥ →

b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0

a | = 2

1 2 1 2

x + +

2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

z y x

z z y y x x

+ + +

+

+ +

4 Tích có hướng của hai vectơ:

a Định nghĩa : Cho hai vectơ →

a = ( x1; y1 ; z1 ) , →

b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Tích có hướng của hai vectơ →

a và →

b là một vectơ kí hiệu là [→

a,→

b ] và

[→

a ,→b] =

22

11 22

11 22

11

;;

yx

yx xz

xz zy

zy

b Các tính chất :

• →a cùng phương với →

b ⇔ [→

a,→b] = 0

a ,→b]⊥ →

a , [→

a,→b ] ⊥ →

b

a,→b ]| = |→

a |.|→

b|sinϕ

c.Diện tích tam giác :

Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:

d.Thể tích :

•Thể tích V của hình hộp ABCD A’B’C’D’ được tính bởi công thức:

V = | [AB , AD ].AA’|

• Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức :

V = 61 | [AB , AC ].AD |

e Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ :

Ba vectơ →

a ,→b,→

c đồng phẳng ⇔[→a,→b].→

c = 0

B BÀI TẬP :

1/ Cho ba vectơ →

a= ( 2;1 ; 0 ),→b= ( 1; -1; 2) , →

c = (2 ; 2; -1 )

a. Tìm tọa độ của vectơ : →

u = 4→

a- 2→

b+ 3→

c

b.Chứng minh rằng 3 vectơ →

a ,→b,→

c không đồng phẳng

c.Hãy biểu diển vectơ →

w= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ →

a,→b ,→

c 2/ Cho 3 vectơ →

a= (1; m; 2),→b= (m+1; 2;1 ) ,→

c = (0 ; m-2 ; 2 ) Định m để Vectơ đó đồng phẳng

3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )

a.Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b.Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo

c Tính diện tích tam giác ABC , độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A

d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC vẽ từ A

4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 )

a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng

b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD

c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

A Lí thuyết cần nhớ :

1 Định nghĩa :

• Vectơ →

n≠ →

0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( α )

Kí hiệu : →

n⊥ ( α )

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ →

a,→b ≠ →

0và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( α )

Chú ý : Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương →

a ,→bthì (α ) có một vectơ pháp tuyến →

n= [→a ,→b]

2 Phương trình mặt phẳng:

Mặt phẳng ( α ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) có vtpt →

n= ( A; B; C ) có phương trình là : A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) = 0

B Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :

• Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó

• Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng

1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:

a (α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz

b (α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).

c (α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz

2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

a (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz

b (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 )

c (α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt

phẳng : x + y – z = 0

d (α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng :

( α1): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0

3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :

(α1): 2x + 3y – 4 = 0 , (α2) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α3) : 2x + y – 3z –2 = 0

a Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quađiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của (α1) ,(α2)

b Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α1) ,(α2) đồng thời vuông góc với (α3)

4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :

( d1) :







=

−

−

=

=

− +

−

0 1 2

0 5 4

2

z y x

z y

x

, (d2) :









=

+

=

−

=

t z

t y

t x

2

3 2

1

a Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d1) và song song với (d2)

b Viết phương trình mặt phẳng (α1) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d1), (d2)

A Lí thuyết cần nhớ

•Vectơ →

u ≠ →

0 nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)

•Đường thẳng (d) đi qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương

→

u = ( a; b; c) có :

phương trình tham số là :









 +

=

+

=

+

=

ct z z

bt y y

at x x

0 0 0

Phương trình chíng tắt : x−a x0 = y−b y0 = z−c z0

• Phương trình tổng quát của đường thẳng :







= + + +

= + +

+

0 ' ' ' '

0

D z C y B x A

D Cz By

Ax

(1) trong

đó A2+B2+C2 ≠ 0, A’2+B’2+C’2≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’

Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vếc tơ chỉ

phương →

u=(

''

; ''

;

'' BA

BA AC

AC CB

CB

)

B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:

Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:

•Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng

•Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó

Chú ý :

• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương

• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt làm vtcp

1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên

mặt phẳng (α )

Cách giải :

•Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ) ( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp )

•Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β )

2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai

đường thẳng (d1) , (d2) cho trước ( M ∉ (d1),(d2))

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d1))

• Viết phương trình mặt phẳng (M,(d2))

• (d) = (M,(d1)) ∩ (M,(d2))

3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt đường thẳng (d1) và vuông góc với (d2)

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d1)

•Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua Mvà (β )⊥ (d2)

•(d) = (α) ∩ (β)

4/ Bài toán 4: Viết phương trình đương thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng (∆) và vuông góc với ( ∆).

Cách giải:

• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (∆).

• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (∆)

• (d) = (α) ∩ (β)

Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau

• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (∆)

•Tìm giao điểm N của (∆) và(α )

• Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm 5/ Bài toán : Cho đường thẳng (∆) và mặt phẳng (α ) cắt nhau tại điểm M Viết phương tình đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (α ) và (d)⊥ (∆)

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (β)Vuông góc với (d)

• (d) = (α)∩ (β)

6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng (∆) có vtcp →

u và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) cho trước

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d1) và nhận →

u làm một vtcp

• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d2) và nhận →

u làm một vtcp

• (c) = (α)∩ (β)

Chú ý : Nếu (∆) là đường vuông góc chung của (d1) ,(d2) thì (∆) có vtcp là tích có hướng của hai vtcp của (d1), (d2)

D.Bài tập :

1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (∆):

a Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).

b Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)

c Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0

2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát







= +

− +

=

− +

−

0 2 4 2

0 10 2

3

z y x

z y

x

Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d)

3/ Cho đường thẳng (d) :







=

− +

−

=

−

0 3 2

3

0

2

z y x

z

x

và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α)

4/ Cho hai đường thẳng: (d1) x− = y+ 2 =z

3

1

, (d2):







= +

= +

−

+

0 1

0

2

x

z y

x

a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d1) và

cắt (d2)

b Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc

với hai đường thẳng (d1), (d2)

5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 32 24 = 2−1

−

+

=

x

6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai

đường thẳng : (d1):









−

=

+

−

=

=

t z

t y

t x

3

4 , (d2):









−

=

+

−

=

−

=

t z

t y

t x

5 4 3

2 1

7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :

(d1):x y =z

−

+

=

−

1

1 2

1

, (d2):







= + +

−

=

− +

−

0 1 2 2

0 4

2

z y x

z y x

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

A lí thuyết : Cần nắm vững vị trí tương đối giữa hai đường thẳng , vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

B Bài tập :Làm các bài 1,2,3,4 trang 97+98 (SGK)

C Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , tên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)

•trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α)

•Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm

2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α)

•Tìm hình chiếu vuơng góc H của Mtrên (α)

•M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’

3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d)

•Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d)

•Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm

4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d)

•Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d)

•M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’

D. Bài tập :

1/ Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :







 +

=

+

=

+

=

t z

t y

t x

2 1 2

1

a Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d)

b Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d)

2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0

a Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng

b Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α).

3/ Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 , và đường thẳng

(d) :x2−1= 1y = z−+32

a Chứng minh (d) cắt (α)

b Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α)

c.Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A vuông góc với (d) đồng thời nằm trong mặt phăng (α)

4/ Cho (d) : 1 2 21= 2+3

−

+

=

m

y m

x

, (α) : x +3y – 2z – 5 = 0 Định m để:

a) (d) cắt (α) b) (d) // (α) c) (d) ⊥ (α)

V KHOẢNG CÁCH , GÓC :

A Lí thuyết : Cần học thuộc các công thức : khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến đường thẳng , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Góc giữa hai đường thẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng

B Bài tâp: 1,6,8 (trang 102) và 1,2,3,4 (trang 105)

1/ Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:

2x + 3y +z –17 = 0

2/ Cho đường thẳng (d):









=

−

=

+

=

t z

t y

t x

3 2

2 1

và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0

Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3

3/ Cho hai đường thẳng (d1):x2−2= y3−3= z−+54 và (d2): 31 24 = −−14

−

−

=

x

Tìm hai điểm M,N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nỏ nhất

VI MẶT CẦU:

A Lí thuyết cần nhớ:

1/ Phương trình Mặt cầu:

a.Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là:

( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2

b Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R= a2 +b2 +c2 −d

2/ Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng :(SGK)

B.Các dạng bài tập thườg gặp:

1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau :

a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 = 0

b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0

c) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0

2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 )

b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 )

c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 2x + y – 2z + 8 =

0 d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ) , B( 3; -1; 0 ), C( 0; -7; 3 ), D( -2; 1; -1 )

3/ Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 ) C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy

4/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4và mặt phẳng (α): x + z = 2

a) Chứng minh rằng mp(α) cắt mặt cầu (S)

b) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn ( C ) là giao tuyến của (α) với (S)

5/ Cho (d) :









+

=

+

−

=

−

=

t z

t y

t x

2

2

1 và mặt phẳng (α) :2x - y – 2z –2 = 0 Viết phương trình

mặt cầu có tâm I ∈ (d) cách (α) một đoạnbằng 2 và cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đườngtròn có bán kính bằng 3

6/ Cho đường thẳng (d): 2x = y1−1= z2+1 và hai mặt phẳng

(α):x+ y -2z +5 = 0 , (β) : 2x – y + z + 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) , (β)

7/ Cho dường tròn ( C ) :







= + +

−

= + + +

− +

+

0 1 2 2

0 17 6 6 4 2 2 2

z y x

z y x z y x

a) Tìm tâm và bán kinh của ( C )

b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn ( C ) và có tâm trên mặt phẳng x + y + x + 3 = 0

8/ Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5 = 0

Tai điểm M(4; 3; 0 ).

9/ Lập phương trình mặt (α) tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z – 22 = 0

biết (α) song song với ( β ): 3x – 2y + 6z +14 = 0

10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):







 +

=

+

=

+

=

t z

t y

t x

1

3 1

4 4

và tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + 8 = 0