Trong phương trình mặt phẳng không có chứa x thì mặt phẳng song song Ox, không có chứa y thì song song Oy, không có chứa z thì song song Oz.. b Viết phương trình mặt phẳng trung trực c
Trang 1MẶT PHẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt phẳng :
1) Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình
tổng quát của mặt phẳng, trong đó n ( ; ; )A B C
là một vectơ pháp tuyến của nó
2) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ n ( ; ; )A B C
làm vectơ pháp tuyến có dạng A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3) Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và // a( ; ; )a a a1 2 3
và b( ; ; )b b b1 2 3
thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
a a a a a a
n a b
b b b b b b
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
(P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2) Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0
Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0
d M
Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và
(Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0
Ta có :
cos cos( n n
, )
0
90 n P n Q
hai mặt phẳng vuông góc nhau
Trong phương trình mặt phẳng không có chứa x thì mặt phẳng song song Ox, không có chứa y thì song song Oy, không có chứa z thì song song Oz
Một số dạng mặt phẳng thường gặp
D1: Mp () qua M và vuông góc với vectơ a Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là M
* Vtpt n a
pt ()
D2: Mp () là mp trung trực của đoạn thẳng AB Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là M là trung điểm của AB với
M ; ;
Trang 2Vtpt n AB
pt ()
D3: MP () qua 3 điểm A, B, C Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n AB AC,
pt ()
D4: Mp () // a( ; ; )a a a1 2 3
và // b( ; ; )b b b1 2 3
và đi qua M Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là M
* Vtpt n a b,
pt ()
D5: Mp () chứa AB và //CD Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A (hoặc B)
* Vtpt n AB CD,
pt ()
D6: Mp () // mp () và qua M Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là M
* Vtpt nn
pt ()
D7: Mp () đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp ().Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A (hoặc B)
* Vtpt n AB n,
pt ()
D8: Mp () đi qua 2 điểm A và đồng thời vuông góc với mp () và mp ().Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n n n,
pt ()
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT
D1: Mp () qua A và chứa Ox Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n OA i, , i ( ; ; )1 0 0
pt ()
D2: Mp () qua A và chứa Oy Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n OA j, , j ( ; ; )0 1 0
pt ()
Trang 3D3: Mp () qua A và chứa Oz Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n OA k, , k ( ; ; )0 0 1
pt ()
D4: Mp () qua A và // Oxy Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n k( ; ; )0 0 1
pt ()
D5: Mp () qua A và // Oxz Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt nj( ; ; )0 1 0
pt ()
D6: Mp () qua A và // Oyz Thì mp () có:
* Điểm thuộc () là A
* Vtpt n i ( ; ; )1 0 0
pt ()
B/ BÀI TẬP:
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua M(1, 2, 3) và // a( , , ),4 6 3 b( , , )2 7 5
b) Đi qua 3 điểm A(1,1,1), B(2,4,5), C(4,1,2)
c) Đi qua A(1, 2, 3) và nhận u( , , ),3 2 1 v ( , , )3 0 1 làm cặp vectơ chỉ phương
d) Đi qua 2 điểm E(4,-1,1), F(3,1,-1) và song song với trục Ox
e) Đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0), C(0,0,c)
Bài 3 : a)Viết phương trình mp ( ) đi qua điểm M(2,4,2) và //với a( , , ),3 0 3 b ( , , )4 1 0
b) Hãy lập phương trình mp () đi qua A(1,2,3) và song song với ( )
Bài 4: Lập phương trình mp() đi qua 3 điểm A(1,-1,2) B(0,3,0) C(2,1,0)
Bài 5: Lập phương trình các mp đi qua I(2,6,-3) và song song với các mp tọa độ
Bài 6: Lập phương trình mp:
a) Chứa trục Ox và đi qua P(4,-1,2) b) Chứa trục Oy và đi qua Q(1,4,-3)
c) Chứa trục Oz và đi qua R(3,-4,7)
Bài 7: Cho tứ diện có các đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6)
a) Lập phương trình mp (ACD) b) Lập phương trình mp () đi qua AB và song song CD
Trang 4Bài 8: Lập phương trình của mp:
a) MP () đi qua M(2,1,-1) và vuơng gĩc với đường thẳng AB, biết A(-1,0,4) B(0,-2,-1)
b) MP () là mặt trung trực của đoạn thẳng CD, với C(1,3,-4) D(-1,2,2)
c) MP (P) nhận điểm N(2,-1,-2) là hình chiếu vuơng gĩc của gốc tọa độ lên mình
Bài 9: Lập phương trình mp () đi qua hai điểm A(2,-1,4) B(3,2,-1) và vuơng gĩc với đường thẳng () : x +
y + 2z – 3 = 0
Bài 10: Lập phương trình mp () đi qua M(3,-1,-5) và đồng thời vuơng gĩc với 2 mp
(P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (Q): 5x – 4y + 3z + 1 =0
Bài 11: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + y + 5z – 1 = 0, (Q): 2x + 3y – z + 2 = 0 và điểm M(3,2,1).
Lập phương trình mp() đi qua M và qua giao tuyến của 2 mp trên
Bài 12: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, (Q): x – y – 2z + 7 =0 Lập phưong trình
mp() đi qua giao tuyến của (P) và (Q) và song song với trục Oy
Bài 13: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc nhau
b) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC
c) Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ đĩ tính thể tích tứ diện OABC
Bài 14: Trong khơng gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P)
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)
Bài 15: Cho A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6) và mặt phẳng : x - 2y + z -10 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc BC
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp(ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và vuông góc
f) Viết phương trình mặt phẳng qua D, vuông góc hai mặt phẳng (ABC) và
g) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC), và:
Bài 16: Cho A(1;1;3); B(-1;3;2); C(-1;2;3).
a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
ba điểm này Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P)
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC
Bài 17: Cho hai điểm A(-3;2;1); B(9;4;3) Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bµi 18: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
A ; ; , B ; ;
A ; ; , B ; ;
Bµi 19: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng biÕt:
a, M2 1 5; ; , Oxy b, M1 1 0; ; , :x 2y z 100
c, M1 2 1; ; , :2x y 30 d, M3 6 5; ; , : x z 1 0
Bµi 20 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ // a( ; ; );2 1 2 và b( ; ; )3 2 1
Bµi 21 : LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z
Trang 5c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 22: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x b) Cùng phơng với trục 0y
c) Cùng phơng với trục 0z
Bài 23 : Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ a( ; ; ); ( ; ; )6 1 3 b3 2 1
Bài 24 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) // a( , , ); ( , , )2 7 2 b3 2 4
Bài 25 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ
B
ài 26 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)
Bài 27 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng
với trục với 0x
Bài 28: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD
Bài 29: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 30: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài toán 2 Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:
a) (P1): y – z + 4 = 0, và P2 : x y z 3 0
b) (P1): 2x+4y-8z+9=0 P2 : x 2y 4z 1 0
c) (P1): x+y-z-4=0và P2 :2x2y 2z 80
Bài 2: Xỏc định cỏc giỏ trị của m,n để cỏc cặp mp sau song song nhau:
a) 2x + ny + 3z – 5 = 0 và mx – 6y – 6z = 0 b) 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0 c) mx + 3y – 2z – 1 = 0 và 2x – 5y – nz = 0
Bài 3: Xỏc định cỏc giỏ trị của m để cỏc cặp mp sau vuụng gúc nhau:
a) 3x – 5y + mz – 3 = 0 và x + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x +y – 3z – 2 = 0 và 2x + my – 3z + 1 = 0 c) 7x + 2y – 9 = 0 và mx + y – 3z – 1 = 0
Bài 4: Tớnh gúc giữa hai mp sau:
a) 2x – y – 2z – 9 = 0 và x – y – 6 = 0 b) 8x – 4y – 8z + 1 = 0 và 2x 2y7 0
Bài toán 3: Chùm mặt phẳng
Bài 1:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2)
có phơng trình : (P1): x - y + z - 4 = 0 và (P2) 3x – y + z – 1 = 0
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P1): y + 2z – 4 = 0 và (P2) : x + y – z – 3 = 0 và song
song với mặt phẳng (Q): x y z - 2 0
Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3 x y z- -2 0 và (P2):
x y- và vuông góc với mặt phẳng : 2x z- 7 0
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x 2y z 3 và (P2):0
2 0
x z và song song với hai mp sau
a)
b)
Bài 5: Trong khụng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tớnh gúc giữa chỳng
b) Lập phương trỡnh mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi cụng thức :) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3)
Trang 6c) Lập p.trỡnh mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy d) Lập phương trỡnh mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O và vuụng gúc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 6: Trong khụng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.
a) Xỏc định giỏ trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lỳc đú hóy tớnh khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng
b) Trong tr.hợp ở cõu a) Viết pt mp() đi qua giao tuyến của (P) và (Q) và đi qua M(1,-2,-4)
B
ài toán 4 Khoảng cách_ gúc
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) ( ) :P x y2 -3z30 b) P : x 2y 3z 1 0
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
b) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
Bài 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0)
a) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
b) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của 2 mặt (ABC) và (BCD) cắt đoạn AD
Bài 4: Trong khụng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1)
a) Tớnh độ dài đoạn vuụng gúc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)
b) Viết pt mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi cụng thức :) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một gúc 450
Bài 5: Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng qua I(1;0;2), song song a2 3 1; ; vaứ vuoõng goực maởt phaỳng
: 2x – y - 5z = 0 Tỡm goực cuỷa maởt phaỳng vửứa tỡm ủửụùc vaứ maởt phaỳng (Oxy)
Bài toán 5: Điểm và mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất
Bài 2: cho hai điểm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
AM+BM nhỏ nhất
Bài 3::Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0 và hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9)
.Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB là lớn nhất
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
a) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó
b) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: (ĐHMĐC-97): cho ba điểm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là
trọng tâm ABC CMR điều kịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình ph ơng khoảng cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) Xác định toạ độ của điểm M đó
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+ mz – 6 – m = 0.
a) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M
b) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C
c) Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất
d) Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C là nhỏ nhất