Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực của cuộc sống như vật lý, cơ học, kỹ thuật, nông nghiệp, kinh tế và sinh học… Chín

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Bình

BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN

VỚI TOÁN TỬ THUẦN NHẤT DƯƠNG

CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

Cho tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh, Phòng KHCN Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt khóa học qua

Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ tận tình cũng như những lời động viên của Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trường THPT Lộc Thanh đã dành cho tôi trong suốt thời gian tôi tham gia khóa học này

Trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân thường ra đời từ thế kỷ 18 như một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học Tuy nhiên cho đến nay nó vẫn còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực của cuộc sống như vật lý, cơ học, kỹ thuật, nông nghiệp, kinh tế và sinh học… Chính vì thế việc tiếp tục nghiên cứu và mở rộng các phạm vi ứng dụng của nĩ là cần thiết và cấp bách

Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường với điều kiện biên dạng tuần hồn đã được nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu Tuy nhiên việc nghiên cứu bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình hàm và từ đĩ áp dụng cho phương trình vi phân đối số chậm thực sự được phát triển mạnh trong nhưng năm gần đây

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục mở rộng các kết quả của các tác giả I.Kiguradze, A.Lomatidtaze, B.Puza, Robert Hakl trong các cơng trình [1],[2],[3],…

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm với

vế phải là tốn tử thuần nhất dương

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên sau đại học cĩ quan tâm nghiên cứu về tính giải được của bài tốn biên dạng tuần hồn

cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Trong chương I, chúng tôi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải

được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với

vế phải là toán tử thuần nhất dương, nghĩa là bài toán :

u t ( ) H u u t( , )( )Q u t( )( ) (0.1)

u a( )u b( )h u( ) (0.2) trong đó H C a b R:   , ; C a b R  , ; L a b R  , ;  là toán tử liên tục, thuần

nhất dương không giảm đối với biến thứ nhất và không tăng đối với biến

thứ hai

Q C:  a b R, ;  L a b R  , ; ,h C:  a b, ;R R là toán tử

liên tục thoả điều kiệnCarathéodory,0,1

Chương II, gồm hai phần Trong phần 1 ta xét các tính chất của các

tập V ab, , V ab, , W ab, , W ab,  (xem định nghĩa 0.1 – 0.4 được

giới thiệu trong phần sau), và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho các bao

hàm H V ab, , H V ab, , H W ab, vàH W ab,  (0.3)

Trong phần 2, ta cũng xét các bao hàm (0.3) trong trường hợp đặc

biệt của toán tử H với H được định nghĩa:

 L a b R  , ;  là không gian Banach của những hàm p a b: , R khả

tích Lebesgue trên a b;  với chuẩn L b  

2 Với mọi  u v, C a b R  , ; C a b R  , ;  và hằng số   0, ta có

 ,     ,

H u v t   H u v t với hầu khắp nơi t a b,

 K ab là tập hợp các toán tử liên tục F C a b R:   , ; L a b R  , ;  thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là : Với mỗi r 0, tồn tại

xạ f a b: ,     A B thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là:

f ., : ,x  a b B là hàm đo được với mỗix A ,

f t , :AB là liên tục hầu khắp nơi với mọi t a b,

và với mỗi r 0, tồn tại q rL a b R  , ;  sao cho:

Chương 1: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

0 Q v t  q t v , C với hầu khắp nơi t a b, và 0 h v  c

Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm

Định lý 1.1.3

Cho H V ab ,   V ab ,  và H W ab ,  hoặc H W ab ,  Hơn

nữa nếu tồn tại c R  sao cho với mọi v C a b R   , , , ta có các bất đẳng

thức:

    , C

Q v t q t v với hầu khắp nơi t a b, và h v  c

Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm

Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương

 Nếu h v   0, Q v t    0 hầu khắp nơi trên  a b, , và với mọi

  , ,

Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm

Để chứng minh các định lí trên, trước hết ta cần chứng minh các

Áp dụng bổ đề trên, ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.2.2

ChoH H ab và nếu với mọi   0,1 , bài toán

u t  H  0,u t , u a  u b  0 (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường Khi đó với mỗi  0,1 , , ;y C a b R    ,

và u n C n (1.2.6) Khi đó, đặt

  n n

t n n

v t v a   H v  d với t a b, (1.2.16)

v a0  v b0  0

Hơn nữa theo (1.2.8) và (1.2.12) ta có v0 C  1 (1.2.17)

Vì vậy từ (1.2.16), v0 C a b R  , ;  và v0 là nghiệm không tầm thường

của (1.2.3) với    0 , điều này mâu thuẫn với giả thiết bài toán (1.2.3)

Điều này mâu thuẫn với (1.2.22) Do đó (1.2.19) được chứng minh □

và với hàm y C a b R   , ; cố định bất kỳ, ta xét bài toán :

Theo bổ đề 1.2.2 và (1.2.27) và do HW ab; nên bài toán (1.2.29) có

duy nhất nghiệm Hơn nữa do (1.2.25), (1.2.26) nên:

, u a u b  0

Do HW ab;  nên u t  0 với t a b, (1.2.30)

Gọi  là toán tử xác định như sau: với mỗi y C a b R   , ; ,  y

là nghiệm của bài toán (1.2.29)

Theo (1.2.27) và (1.2.28), tồn tạiq2L a b R  , ; , M2R sao cho:

Trong đó MH0, 1   2H 1,0q2

Vì vậy từ (1.2.33), (1.2.34) và theo bổ đề Arzela - Ascoli, tập

 

C a b R, ; 

 là tập con compắc tương đối trong C a b R  , ; 

Lấy y y n, oC a b R  , ;  sao cho:

n y y

   Với mỗi n 0,1, 2, đặt u n   y n , ta định nghĩa:

Chứng minh một cách tương tự, ta có các bổ đề sau:

Chứng minh:

Giả sử ngược lại tồn tại n 0,1 với n 1, 2, và u nC a b R  , ;  sao cho:

Theo định lý Lebesgue và do q thỏa (1.1) nên với mọi   0, tồn tại   0

sao cho:

0, 1   1,0 

2

t s

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại 0  0,1 và

0  0 0t  0 , 0  

a

v t v a H v v d với t a b, ,v a0 v b0  0 (1.2.45) Mặt khác

Chứng minh một cách tương tự ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.8

Cho HV ab; , cR và nếu

Q v t    q t v , C với hkn t a b, , v C a b R   , ; 

h v  c với v C a b R   , ;  Khi đó tồn tại một số 0 sao cho với mọi  0,1 và mọi hàm

và

min t :t a b,  0 (1.2.48) Thì tồn tại t* a b,  và *  

 t 0 ,t  a t*

  với  (1.2.52)

Vì H 0,. là tốn tử Volterra, lấy tích phân của (1.2.46) từ a đến t* ta cĩ

Chứng minh định lý 1.1.2:

Do giả thiếtH V ab, , c R  sao cho với mọi v C a b R   , , 

Q v t  q t v , C với hầu khắp nơi t a b, và h v c

nên theo bổ đề 1.2.8 tồn tại số   0 sao cho với mọi  0;1 và mọi hàm

 

 , ; 

u C a b R  thỏa (1.2.24), ta có đánh giá (1.2.2)

Mặt khác do

Gọi u là nghiệm của bài toán (1.3.1) Vì H W ab,  theo bổ đề 1.2.2 tồn tại nghiệm  t của bài toán :

Vì có (1.1.2) nên

    ,   _,   

u t H u u t H  u u t với hkn t a b, (1.3.10)

u a u b  0 (1.3.11) Theo bổ đề 1.2.2 và bao hàm H W ab,  nên ta có thể gọi  là nghiệm của bài toán :

 t H u _,  t ,  a  b  0 (1.3.12)

Từ (1.3.10) , (1.3.12) ta có :

 t H u _,  t u t H u _,u t   với hkn t a b, nên

 Giả sử bài toán (2.1.1) chỉ có nghiệm không dương

Gọi u là nghiệm của bài toán (0.5)

Vậy  v  là nghiệm không âm của bài toán (2.1.1)

 Giả sử tồn tại C a b  , ; 0,   thỏa (2.1.3) và (2.1.4)

Gọi u là nghiệm của bài toán (0.5) Theo chứng minh trên, ta chỉ cần

chứng minh u là nghiệm của bài toán (2.1.1)

hay u t  0 với mọi t a b, (2.1.5) Giả sử ngược lại, tồn tại t0  a b, sao cho:

u t  0 0 (2.1.6) Đặt

u a  u b 

 a   b (do   0)

nên

       

0   b  u b   a u a  0 Điều này vô lí

Vậy u t  0 với mọi t a b,

u t

t t

Ta có v t  H u ,0 t u t  với hkn t a b,

H  s ds 

 Thì H V ab , 

H y u t     , H y v t, H0,u v t   với t a b, (2.1.28) Hơn nữa nếu tồn tại hàm   C a b R  , ;  thỏa:

 t  0 với t a b, (2.1.29)  t H  0, t với hkn t a b, (2.1.30) ThìH W ab , 

Nên 0 k t 0  0 Điều này vô lí

 H  0,  t

và  a  b  0

ta cần chứng minh  t  0 với t a b,

Giả sử điều trên không xảy ra, khi đó m 0 và hoặc M 0, hoặc M 0

 Nếu M 0, nghĩa là:  t  0 với mọi t   a b,  (2.1.38)

Lấy tích phân của (1.2.46) từ a đến b, ta có:

Hay   m 0, 

M

t t

Trường hợp t mt M , lấy tích phân của (1.2.46) từ a đến t m, ta có:

hay    0, 

M

b t

    0,1

M

b t

    0,1

M

b t

b   0,1  

a

H s ds và m 0

nên

M  M Điều này vô lí

Vậy ta có : t  0 với mọi t   a b, 

Vì H 0,. là toán tử Volterra và  t*  0 nên ta có:

Bây giờ chúng ta xét các bao hàm H V ab ,  vàH W ab , 

Chứng minh tương tự các định lý trên, ta có các kết quả sau:

b) Tồn tại các số tự nhiên m k  0 và hằng số   0,1 sao cho :

Từ hệ quả 2.1.9 phần b) khi m 1 μ v k 0 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.10

Nếu:

  1,0 1

b a

H s ds 

 Thì H V ab , 

Định lý 2.1.11

Cho H H ab, nếu tồn tại H H ab sao cho H 0,. là toán tử Volterra,

và với mọi y C a b R   , , , u v C a b R,    , ,  thỏa:

u a  u b   v a  v b 

ta có:

  ,    ,  0,   

H y u t H y v t H u v t với t a b, Hơn nữa, nếu tồn tại hàm  C a b R  , ;  thỏa:

2.2 Sự khẳng định đối với toán tử Maxima

Thì toán tử H được định nghĩa bởi (0.4) thuộc vào tập V ab ;  nếu i 1

và thuộc vào tập V ab ;  nếu i 2

Chứng minh:

Theo (2.2.2) và (2.2.3) thì tồn tại x0  0, và  0,1  e x p0 L sao cho:

 

0

0 0 0

x p t

x p t

e

x p s ds

x x e với hkn t a b, (2.2.4) Đặt

        



1 exp

a

e

t x p s ds với t a b, Thì

Vậy các giả thiết của định lý 2.1.2 và 2.1.8 thỏa, do đó theo định lý 2.1.2



 Thì theo định lý 2.2.2 ta có điều cần chứng minh □

và thuộc vào tập V ab ;  nếu i 2

Chứng minh:

Nếu p 0 thì theo định lý 2.2.1 ta có điều cần chứng minh

Nếu p 0thì ta có:

1 1 sup ln :x x 0

i t sign i t t

     với hkn t a b, Thì toán tử H được định nghĩa bởi (0.4) thuộc vào tập V ab ; nếu i 1

và thuộc vào tập V ab ; nếu i 2

Theo hệ quả 2.1.3b với m 2, 1k ta có H V ab ; 



         với hkn t a b,Thì   1,0     i   

t i t

  1

b a

Vì vậy tồn tại q0 L a b R  , , sao cho:

  t   g t max   s :  1 t  s  2 t q t0  với hkn t a b, (2.2.12)   g t    t  g t max   s :  1 t  s  2 t  g t      t q t0 (2.2.13) Lấy tích phân của (2.2.12) từ a đến t ta có:

    t  max    : 1 2   t 0 

             với t a b, (2.2.14) Thế (2.2.14) vào (2.2.13) ta có:

Theo (2.2.8) và (2.2.18) ta có: M M Điều này vô lí

0 0

1 1

0 0

1 1

x g s ds

x x e

với hkn t a b, (2.2.19) Đặt

  exp 0     1 

t

t x g s ds với t a b,Thì C a b  , ; 0,   và

1

0 0

1 1

Theo định lí 2.1.5 và 2.1.11 ta có điều cần chứng minh □

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong luận văn này chúng tôi đã xây dựng được các điều kiện đủ và các tiêu chuẩn hiệu quả cho tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương như mục tiêu ban đầu đề ra

Qua đó câu hỏi đặt ra là: các kết quả trên có còn đúng hay không cho phương trình vi phân hàm bậc cao, và các ứng dụng của nó ra sao cho phương trình vi phân với đối số chậm và đối số lệch còn là vấn đề mở cần tiếp tục được xem xét Ngoài ra các kết quả trên sẽ như thế nào đối với bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc cao

Các vấn đề nói chung vẫn còn mở, chưa được giải quyết đầy đủ Chính vì vậy, thông qua những kết quả đã đạt được trong luận văn này, chúng tôi mong muốn được mở rộng và tiếp tục nghiên cứu các vấn đề trên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order

linear functional differential equations, Nolin.Anal: Theory,

Meth&Appl 49(2002), 929-945

2 I.Kiguradze and B Puza, On the sovability of nonlinear boundary

value problems for fuctional differential equations Georgian

Math, J, 5 (1998) No 3251-262

3 R.Hakl , On bounded solutions of systems of linear functional

differential Equations, Georgian Math, J, (1999), No.5, 429-440

4 R.Hakl, On some boundary value problems for systems of linear

functional differential equations, E.J.Qualitative Theory of Diff

Equ (1999) No.10, 1-16

5 R.Hakl, I.Kiguradze, B.Puza, Upper and lower solutions of boundary

value problems for functional differenial equatons and theorems

on functional differential inequalities, Georgian Math , J,

7(2000), No.3.489-512

6 I.Kiguradze, B.Puza, On boundary value problems for functional

differential equations Mem Differential Equutions Math.Phy.12

(1997), 106-113

7 Z.Vobel, continuous dependence on parameters Nonlinear Anal

5(1981), No.4 373-380