Gián án de thi HGS

a Tính tỷ số lượng giác của góc C?. b Gọi I là giao điểm các phân giác trong của tam giác DBC.. M là trung điểm của DC.. Tính số đo của góc DIM 2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Tìm đi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA THI CHỌN HỌC SINNH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC : 2010 – 2011

Môn : toán Thời gian : 150 phút

Bài 1 : (5 điểm )

1) Rút gọn biểu thức M =    

1- x 1+ x 1- x 1+ x 1- x 2) Giải phương trình : x2 + 7 = 5( x +1 - x3 )

3) Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn hệ thức : m2 + n2 = m + n + 8

Bài 2 ( 5 điểm )

1) Tìm x , y biết : 



 2 2

x + y - xy = 7

x + y + xy = 133 2) Cho ba số thỏa mãn điều kiện : x + 2y +1 = y + 2z +1 = z + 2x +1 = 02 2 2

Hãy tính giá trị của biểu thức A = x2010+ y2010+ z2010

Bài 3 : ( 5 điểm )

1) Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố với p > 3 Chứng minh 4p + 1 là hợp số

2) Cho các số thực dương x , y, z và thỏa mãn điều kiện : xyz = 1

Chứng minh bất đẳng thức : 1

2

≤

2x + y + 3 2y + z + 3 2z + x + 3 Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 4: ( 5 điểm )

1) Cho tứ giác ABCD có µA = 90 ; D = 90 ; AB = 3,6 cm; BC = 8 cm; DA = 4,8 cm; 0 µ 0

DC = 10 cm

a) Tính tỷ số lượng giác của góc C?

b) Gọi I là giao điểm các phân giác trong của tam giác DBC M là trung điểm của DC

Tính số đo của góc DIM

2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm điểm K ở trong tam giác sao cho

KA.BC + KB.CA + KC.AB đạt giá trị nhỏ nhất

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

1 1) ĐK : x≥ 0; x≠1

=

×

1+ x + 1- x 1+ x - 1- x 1

1- x 1+ x 1- x 1- x 1+ x

1- x 1+ x

2 x 1- x 1- x 1+ x

x 1- x x 1- x

0,75

0,75

2)

a) ĐK: x ≥ -1

x2 + 7 = 5( x +1 - x3 ) ⇔(x2− + +x 1) 6(x+ =1) 5 (x+1) (x2− +x 1)

Đặt x2− + =x 1 a và x+ =1 b với a > 0 và b ≥ 0, ta được phương trình:

6 5ab a 5ab + 6b 0

3

=



* Nếu a = 2b thì x2− + =x 1 2 x+1⇔x2−5x - 3 = 0 5 37

2

⇔ = ( nhận)

* Nếu a = 3b thì x2− + =x 1 3 x+1⇔x2−10x - 8 = 0⇔ = ±x 5 33( nhận )

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

5 37

2

+ ; 5 37

2

− ;5

33 + ;5− 33

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 3)Ta có : m2 + n2 = m + n + 8

2m 1 2n 1 34 6

⇔

⇔

⇔ − + − = <

2 2

4m + 4n = 4m + 4n + 32

4m - 4m +1 + 4n - 4n +1 = 34

Do ( 2m -1) và (2n -1) là hai số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 có tổng bình phương là 34.Có 3

số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 là : 1 ; 3 ;5

Ta có 32 + 52 = 34 do đó 2 1 3

2 1 5

m n

− =



 − =

 hoặc

2 1 5

2 1 3

m n

− =



 − =

 suy ra 2

3

m n

=



 =

 hoặc

3 2

m n

=



 =



0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 2

1)

2 2

7 7



⇔



36

x y xy

+ =



 =

 giải ra ta được :x = 9 ; y= 4 hoặc x = 4 ; y =9

1đ

1 đ

1 đ

2)

Ta có : x2 + 2y + 1 = 0 ( 1) ; y2 + 2z + 1 = 0 (2) ; z2+ 2x + 1 = 0 (3)

Cộng (1) ;(2) và (3) vế theo vế ,ta được

( x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y +1) +(z2 + 2z +1) = 0

⇔ + = ⇔ = −

 + =  = −

Vậy A = x2010+ y2010+ z2010 = (-1) 2010 + (-1)2010 + ( -1)2010 = 3

0, 5 đ

0,5 đ

0,5 đ

3 1) Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 6n + 1 hoặc 6n – 1

n ∈ N và n ≥1

* Nếu p = 6n +1 thì 2p = 12n + 3 M3 trái với giả thuyết

Do đó p ≠ 6n +1 suy ra p có dạng 6n – 1

Ta có 2p + 1 = 12 n – 1

4p + 1 = 24 n – 3 M 3 Vậy 4p + 1 là hợp số

0,5 đ 0,5 đ

1 đ 0,5 đ 3) Ápdụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương, ta có :

1 2

x+ ≥ x đẳng thức xảy ra khi x = 1

2

x y+ ≥ xy, đẳng thức xảy ra khi x = y

Do đó 2x + y + 3 2 x + 2 xy + 2 , đẳng thức xảy ra khi x = y = 1≥

Tương tự ta có :

≥ 2y + z + 3 2 y + 2 yz + 2 , đẳng thức xảy ra khi y = z = 1

≥ 2z + x + 3 2 z + 2 zx + 2 , đẳng thức xảy ra khi x = z = 1

Từ đó suy ra

2x y 3 2y z 3 2z x 3 2 x xy 1 y yz 1 z zx 1

Đẳng thức xảy ra x = y = z = 1

Với giả thuyết :xyz = 1 thì 1 1 1 1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 4

I E

Chứng minh được tam giác DBC là tam giác vuông tại B

Nên sinC = 2 D2 6 0,6

10

+

cosC = 0,8 ; tgC = 0,75 ; cotg C = 4/3

c) Tia DI cắt BC tại E ta có :

0,5 đ

0,5 đ

8 16 15

EC

+

+

Xét hai tam giác MIC và EIC ta có :

· · E

ICM =IC ; IC chung; CM = CE ( = 5) nên ∆MIC = ∆EIC

suy ra ·IMC I=·EC suy ra ·IEB IM= · D Do đó tam giác BDE vuông nên

· 900

0,5 đ

1 đ

2)

F

E A

B

C K

A'

Kéo dài AK cắt Bc tại A’ Hạ BE và CF vuông góc với AK

Ta có BE.AK ≤BA’.AK

CF.AK ≤CA’.AK

Suy ra (BE + CF).AK ≤ BC.AK

Nên 2(S ABK+S ACK)≤BC AK× ( )1

Đẳng thức xảy ra khi AK vuông góc với BC

Tương tự ta có có : 2(S ABK +S BCK)≤ AC BK× ( )2

2 S BCK +S ACK ≤ AB CK× 3

Cộng (1) ; (2) và (3) vế theo vế,

ta được P = AK.BC+ BK.AC +CK.AB ≥4SABC

Vậy P min = 4SABC khi K là trực tâm của tam giác ABC

0,5đ 0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ