bai tap chuong dao dong co

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong da[r]

Tạo bài viết mới Bài tập về phần đại cương về dao động điều hòa

Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa

1 Kiến thức nền tảng:

- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A

- Chiều dài quỹ đạo: 2A

2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều.

Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là

ω Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 và tạo với trục ngang một

φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số

Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao

động điều hòa

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh" trong

các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng

ta giải quyết nhanh các bài toán.

3 Các dạng bài toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều Các bước

thực hiện như sau :

- Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo

- Tính các góc φ1, φ2 với thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)

- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:

* Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí đến vị trí có li độ

Hướng dẫn giải :

Ta có tần số góc:

Ví dụ 2 :

Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:

a x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A

b x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí

Hướng dẫn giải :

Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:

a

b

c

NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài toán lớn

hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì

Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2

Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác sau:

(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) Phân tích: Δt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/4)

- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A

- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:

• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm

• Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2

• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v1 và v2 cùng dấu) thì quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 - x1|

• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2 trái dấu) thì để tính quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S2 Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2

CHÚ Ý :

+ Nếu Δt = T/2 thì S2 = 2A

+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: với S là quãng đường tính như trên.

Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên

Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động Như

vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào

Ta có :

Tại t = 0 :

Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương Ta lại có

Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên

Hướng dẫn giải:

Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm

- Tại thời điểm t = 2s :

- Tại thời điểm t = 2,25s :

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối là

Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =

Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).

Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm

Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường

Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =

Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.

Cách giải:

NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng

thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán Góc quét Δφ = ωΔt

• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)

• Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)

CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt > T/2

Tách:

Trong đó:

Trong thời gian Δt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt:

Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T Tìm quãng đường:

Hướng dẫn giải :

a Góc mà vật quét được là :

Áp dụng công thức tính Smin ta có:

b Góc mà vật quét được là:

Áp dụng công thức tính Smax ta có:

c Do Quãng đường mà vật đi được trong luôn là 2A Quãng đường nhỏ nhất mà

Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung

Hướng dẫn giải : Góc quét

Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt Biết tại thời điểm t

vật có li độ x = x0

Cách giải:

x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:

hoặc

Ví dụ điển hình :

Một vật dao động điều hòa với phương trình:

a Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm Xác định li độ của vật sau đó 0,25s

b Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm Xác định li độ của vật sau đó 0,125s

c Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s

Hướng dẫn giải:

4 Bài tập tương tự luyện tập

Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Gọi M và N là hai biên của vật trong quá trình dao động Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T Tìm:

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 = là bao nhiêu?

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị

trí có ly độ:

a) x1 = A đến x2 = A/2

b) x1 = A/2 đến x2 = 0

c) x1 = 0 đến x2 = -A/2

d) x1 = -A/2 đến x2 = -A

e) x1 = A đến x2 = A

f) x1 = A đến x2 = A

g) x1 = A đến x2 = -A/2

Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm có chu kỳ dao động T = 0,1s.

a) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ x1 = 2cm đến x2 = 4cm

b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = -2cm đến x2 = 2cm

c) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x =2cm

lắc đơn chịu ảnh hưởng của các yếu tố bên ngoài

1 Con lắc đơn chịu tác dụng của nhiệt độ

a Bổ đề : Cho x << 1 khi đó ta có các công thức tính gần đúng sau :

- (1 ± x)n ≈ 1 ± nx

- (1 ± x)m (1 ± x)n ≈ (1 ± mx) (1 ± x) ≈ 1 ± mx ± nx

- Chiều dài của một sợi dây phụ thuộc vào nhiệt độ theo hệ thức ℓ = ℓ0(1 + λt), với λ là hệ số nở dài của sợi dây,

ℓ0 là chiều dài của sợi dây ở nhiệt độ 0oC

b Thiết lập công thức

Gọi T1 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t1 , (con lắc chạy đúng ở nhiệt độ này)

Gọi T2 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t2 , (con lắc chạy không đúng ở nhiệt độ này)

Ta có :

Thời gian chạy nhanh (hay chậm) của con lắc trong 1s là :

Khi đó thời gian chạy nhanh hay chậm trong 1 ngày (có 86400s) là 86400.ψ

* Chú ý : Khi thiết lập tỉ số giữa các chu kỳ dao động trong các trường hợp mà ta khảo sát thì chu kỳ khi con

lắc chạy đúng luôn được làm tử số (chọn làm chuẩn).

* Ví dụ : Một con lắc đơn chạy đúng giờ vào mùa hè khi nhiệt độ là 320C Khi nhiệt độ vào mùa đông là 170C thì

nó sẽ chạy nhanh hay chậm? Nhanh hay chậm bao nhiêu giây trong 12 giờ, biết hệ số nở dài của dây treo là λ = 2.10-5K-1, ℓ0 = 1m

Hướng dẫn giải :

Tóm tắt đề bài ta được : t1 = 32oC, t2 = 17oC; λ = 2.10-5K-1

Gọi T1 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t1 , (con lắc chạy đúng ở nhiệt độ này)

Gọi T2 là chu kỳ con lắc đơn ở nhiệt độ t2, (con lắc chạy không đúng ở nhiệt độ này)

Ta có :

Thời gian chạy nhanh, chậm trong 1s của con lắc là

Trong 12h con lắc chạy nhanh

2 Con lắc đơn chịu tác dụng của độ cao h so với mặt đất.

Gọi T0 là chu kỳ con lắc đơn ở mặt đất (coi như h = 0), (con lắc chạy đúng ở mặt đất )

Gọi Th là chu kỳ con lắc đơn ở độ cao h so với mặt đất, (con lắc chạy không đúng ở độ cao này)

Coi như nhiệt độ ở độ cao h không thay đổi, nên chiều dài cũng không thay đổi

Ta có :

Khi đó thì ta có :

chạy chậm trong 1s là

* Chú ý : Khi con lắc đưa lên độ cao h mà nhiệt độ cũng thay đổi thì chúng ta phải kết hợp cả hai trường hợp để

thiết lập công thức Cụ thể như sau:

Ví dụ 1: Một con lắc đơn chạy đúng ở mặt đất Khi đưa nó lên độ cao h =1,6 km thì trong một ngày đêm nó chạy

nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính Trái đất là R = 6400 km

* Hướng dẫn giải :

Ta có :

Mặt khác , Khi đó :

Thời gian mà con lắc chạy chậm trong 1s là:

Trong một ngày đêm nó chạy chậm:

Ví dụ 2: Một con lắc đồng hồ chạy đúng tại mặt đất có gia tốc g = 9,86 m/s2 vàọ nhiệt độ là t1 = 300C Đưa đồng

hồ lên độ cao 640m so với mặt đất thì ta thấy rằng đồng hồ vẫn chạy đúng Giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ tại độ cao đó, biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là λ = 2.10-5K-1, và bán kính trái đất là R = 6400 km

* Hướng dẫn giải:

- Giải thích hiện tượng :

Mặt khác khi càng lên cao thì nhiệt độ càng giảm nên chiều dài của dây treo cũng giảm theo

- Tính nhiệt độ tại độ cao h = 640 m

3 Con lắc đơn chịu tác dụng lực điện trường.

Khi đặt con lắc vào điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường thì nó chịu tác dụng của Trọng lực và

trọng lực biểu kiến Ta xét một số trường hợp thường gặp:

* Trường hợp 1:

có hướng thẳng đứng xuống dưới (hay ký hiệu là ) Khi đó thì để xác định chiều của ta cần biết dấu của q

Khả năng 1:

=> chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

Khả năng 2:

=> chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

* Trường hợp 2:

có hướng thẳng đứng lên trên (hay ký hiệu là ) Khi đó thì để xác định chiều của ta cần biết dấu của q

Khả năng 1:

=> chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

Khả năng 2:

=> chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

* Nhận xét :

► Tổng hợp cả hai trường hợp và các khả năng trong hai trường hợp trên ta thấy rằng khi Véc tơ cuờng độ điện

* Trường hợp 3:

Suy ra:

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m, khối lượng m = 50 g được tích điện q = -2.10-5C dao động tại nơi

có g = 9,86m/s2 Đặt con lắc vào trong điện trường đều có độ lớn E = 25V/cm Tính chu kỳ dao động của con lắc khi:

a b c

* Hướng dẫn giải:

Đổi đơn vị : E = 25V/cm = 25.102 V/m

a Do q < 0 nên Từ (1) ta được:

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là

b Do q < 0 nên Từ (1) ta được:

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

Ví dụ 2: Một con lắc đơn có m = 5g, đặt trong điện trường đều có phương ngang và độ lớn E = 2.106 V/m Khi vật chưa tích điện nó dao động với chu kỳ T, khi vật được tích điện tích q thì nó dao động với chu kỳ T' Lấy g =

* Hướng dẫn giải :

Từ giả thiết ta có:

Khi có phương ngang thì ta có:

Ví dụ 3: Một con lắc đơn có m = 2 g và một sợi dây mảnh có chiều dài ℓ được kích thích dao động điều hòa.

Trong khoảng thời gian Δt con lắc thực hiện được 40 dao động, khi tăng chiều dài con lắc thêm 7,9 cm thì cũng trong khoảng thời gian như trên con lắc thực hiện được 39 dao động Lấy g = 10m/s2

a Ký hiệu chiều dài mới của con lắc là ℓ' Tính ℓ, ℓ'

b Để con lắc có chiều dài ℓ' có cùng chu kỳ với con lắc có chiều dài ℓ, người ta truyền cho vật một điện tích q = +0,5.10-8C rồi cho nó dao động điều hòa trong điện trường đều có các đường sức hướng thẳng đứng Xác định chiều và độ lớn của véc tơ cường độ điện trường

* Hướng dẫn giải:

Ta lại có ℓ' = ℓ + 7,9 (2)

Giải (1) và (2) ta được ℓ = 152,1cm và ℓ' = 160cm

Vậy véc tơ cường độ điện trường có phương thẳng đứng hướng xuống dưới và độ lớn tính từ biểu thức:

4 Con lắc đơn chịu tác dụng lực quán tính.

Khi đặt con lắc vào một vật đang chuyển động với gia tốc a thì nó chịu tác dụng của Trọng lực và lực quán

hay trọng lực biểu kiến Ta xét một số trường hợp thường gặp:

* Trường hợp 1:

xác định đuợc tính chất của chuyển động là nhanh dần đều hay chậm dần đều

● Khả năng 1:

Vật chuyển động nhanh dần đều lên trên, khi đó nên (1) => g' = g + a

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc đơn được đặt trên vật là:

● Khả năng 2:

Vật chuyển động chậm dần đều lên trên, khi đó nên (1) => g' = g - a

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc đơn đuợc đặt trên vật là:

* Trường hợp 2:

phải xác định đuợc tính chất của chuyển động là nhanh dần đều hay chậm dần đều

● Khả năng 1:

Vật chuyển động nhanh dần đều xuống duới, khi đó nên (1) => g' = g - a

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc đơn đuợc đặt trên vật là:

● Khả năng 2:

Vật chuyển động chậm dần đều xuống dưới, khi đó nên (1) => g' = g + a

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc đơn đuợc đặt trên vật là:

* Trường hợp 3:

Khi đó chu kỳ dao động của con lắc đơn đuợc đặt trên vật là:

Vị trí cân bằng mới của con lắc hợp với phuơng thẳng đứng một góc α xác định bởi

* Chú ý:

- Vật mà ta nói đến ở đây là vật mà con lắc đơn đuợc gắn vào đó chứ không phải vật là vật nặng của con lắc đơn

- Khi vật đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều thì gia tốc cùng chiều chuyển động Khi vật đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều thì gia tốc ngược chiều chuyển động

Ví dụ 1 : Một con lắc đơn đuợc treo vào trần một thang máy tại nơi có gia tốc g = 9,8 m/s2 Khi thang máy đứng yên thì con lắc dao động với chu kỳ T = 2(s) Tìm chu kỳ dao động của con lắc khi:

a Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a = 1,14 m/s2

b Thang máy đi lên đều

c Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc a = 0,86 m/s2

* Huớng dẫn giải: