TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC I. Nội dung phương pháp: 1. Phương pháp: _ Nội dung của phương pháp này là trong hàm số hay trong biểu thức đại số cần tìm cực trị, bằng cách đặt ẩn phụ là các hàm số lượng giác thích hợp ta đưa về tìm cực trị các hàm số lượng giác cơ bản. _ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp: Nếu biến x: x ≤ 1 đặt     ππ −∈ϕϕ= π∈ϕϕ= ] 2 ; 2 [sinx ];0[cosx Nếu biến x: x ≥ 1 đặt       π ∪ π −∈ϕ ϕ = π π ∪ π ∈ϕ ϕ = ] 2 ;0()0; 2 [ sin 1 x ]; 2 () 2 ;0[ cos 1 x Nếu 2 x + 2 y = 2 a thì đặt    α= α= cosay sinax α ∈ [0; 2 π ] Nếu a 2 x + b 2 y = 1; a, b ≥ 0 thì đặt      α= α= siny.b cosx.a α ∈ [0; 2 π ] Nếu các biến trong hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = 1 đặt      γ= β= α= tgz tgy tgx với 2 π =γ+β+α Nếu biến x ∈ R đặt x = α tg hoặc x = α gcot . 2. Những điểm cần chú ý: Khi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện giới hạn cung, góc. Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c thì điều kiện có nghiệm là 2 a + 2 b ≥ 2 c . Để tính cosna ngoài việc tính dần cos2a, cos3a, . ta có thể dùng đa thức Trêbưsep như sau:      ≥−= = = ++ 0n)x(P)x(xP2)x(P x)x(P 1)x(P n1n2n 1 0 trong đó )a(cosP n = cosnx (cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx) II. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn      ≥+ =+ =+ 20bdac 16dc 25ba 22 22 Tìm GTLN của T = a + d; S = a + c. Giải. Đặt    α= α= sin5b cos5a    β= β= sin4d cos4c 0 ≤ α , β ≤ 2 π Từ ac + bd ≥ 20 ⇔ 20 α cos β cos + 20 α sin β sin ≥ 20 ⇔ 20 )cos( β−α ≥ 20 Vậy )cos( β−α = 1 ⇔ α – β = k2 π (k ∈ Z) ⇒ α = β + k2 π ⇒    β=α β=α sinsin coscos T = a + d = 5 α cos + 4 β sin = 5 α cos + 4 α sin ≤ 22 45 + . α+α 22 sincos = 41 . Dấu “=” xảy ra khi      =α+α α = α 41sin4cos5 4 sin 5 cos ⇔ Vậy maxT = 41 khi a = 5 α cos = 41 25 . d = 4 β sin = 41 16 . S = a + c = 4 β cos + 5 α cos = 9 α cos ≤ 9. Vậy maxS = 9 khi a = 5, c = 4. Ví dụ 2. Cho x, y, z ∈ (0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của: T = 2 x1 x − + 2 y1 y − + 2 z1 z − . Giải. Đặt      γ= β= α= tgz tgy tgx . Vì x, y, z ∈ (0; 1) nên α , β , γ ∈ (0; 4 π ) Từ đó T = α− α 2 tg1 tg + β− β 2 tg1 tg + γ− γ 2 tg1 tg = 2 1 ( α 2tg + β 2tg + γ 2tg ) với α , β , γ ∈ (0; 4 π ) Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1 ⇔ α tg β tg + β tg γ tg + γ tg α tg = 1. Kết hợp với α , β , γ ∈ (0; 4 π ) ⇒ 2 α , 2 β , 2 γ là số đo 3 góc của 1 tam giác ⇒ 2 α + 2 β + 2 γ = π ⇒ α 2tg + β 2tg + γ 2tg = α 2tg β 2tg γ 2tg . Do 2 α , 2 β , 2 γ ∈ (0; 2 π ) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có: α 2tg + β 2tg + γ 2tg ≥ 3 3 2tg.2tg.2tg γβα = 3 3 2tg2tg2tg γ+β+α ⇒ α 2tg + β 2tg + γ 2tg ≥ 3 3 Dấu “=” xảy ra khi    π=γ+β+α =γ=β=α 222 32tg2tg2tg mà α , β , γ ∈ (0; 4 π ) ⇒ α = β = γ = 6 π ⇔ x = y = z = 3 3 . Vậy minT = 2 33 đạt được khi x = y = z = 3 3 . Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của y = 6 x + 32 )x1( − + 2 x (1 – 2 x ) với x ∈ [– 1; 1]. Giải. Đặt x = cost, t ∈ [0; π ] y = tcos 6 + 32 )tcos1( − + tcos 2 (1 – tcos 2 ) = 32 )t(cos + 32 )t(sin + tcos 2 tsin 2 = ( tcos 2 + tsin 2 )( tcos 4 – tcos 2 tsin 2 + tsin 4 ) + tcos 2 tsin 2 y = tcos 4 + tsin 4 = 4 3 + 4 1 tcos 4 maxy = 1 ⇔ cos4t = 1 ⇔ t = 0 hoặc t = 2 π ; t = π ⇔ x = 0 hoặc x = ± 1 miny = 2 1 ⇔ cos4t = – 1 ⇔ t = 4 π hoặc t = 4 3 π ⇔ x = ± 2 2 . Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có: 2 1 )b1)(a1( )ab1)(ba( 2 1 22 ≤ ++ −+ ≤− Giải: Đặt: a = tgα , b = tgβ với α, β ∈       ππ − 2 ; 2 . Khi đó: A = )tg1)(tg1( )tgtg1)(tgtg( )b1)(a1( )ab1)(ba( 2222 β+α+ βα−β+α = ++ −+ = cos 2 α cos 2 β .         βα βα − βα β+α coscos sinsin 1. coscos )sin( = sin (α + β) . cos (α + β) = 2 1 sin (2α + 2β) Suy ra: A = 2 1 sin (2α + 2β) ≤ 2 1 Vậy: - 2 1 ≤ )b1)(a1( )ab1)(ba( 22 ++ −+ ≤ 2 1 (đpcm). Bài 2 Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 2 17 y 1 y x 1 x 2 2 2 2 ≥         ++       + Giải: Ta có: x + y = ( ) ( ) 22 yx + = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 ≤ a ≤ 2π để x = cosa và y = sina. Bất đẳng thức đã cho được viết thành:       + acos 1 acos 4 4 +       + asin 1 asin 4 4 ≥ 2 17 Ta có: cos 4 a + acos 1 4 + sin 4 a + asin 1 4 = (cos 4 a + sin 4 a)       + acosasin 1 1 44 = (1 – 2sin 2 acos 2 a)       + acosasin 1 1 44 =       +       − a2sin 16 1 2 a2sin 1 4 2 Vì 0 < sin 2 2a ≤ 1 nên 1 - 2 a2sin 2 ≥ 2 1 và 1 + a2sin 16 4 ≥ 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. . LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC I. Nội dung phương pháp: 1. Phương pháp: _ Nội dung của phương pháp này là trong hàm số hay trong biểu. α gcot . 2. Những điểm cần chú ý: Khi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện giới hạn cung, góc. Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c thì điều kiện có nghiệm