ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.

Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC

TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

Người thực hiện: Phạm Hữu DanhLĩnh vực nghiên cứu: Toán Học

Năm học: 2011-2012

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: PHẠM HỮU DANH

2 Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986

8 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2008

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học

Số năm có kinh nghiệm: 4

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1

“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”.

Tên SKKN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC

TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và

tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.

Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp

10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân.

Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học

nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác.

Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến.

Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau.

Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản Độc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông.

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các

bài tập về sau Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến.

$2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số Các dạng toán cơ bản

như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.

$3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học Bản thân lượng giác

xuất phát từ hình học Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.

Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây.

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10 Hiện nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình.

Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết Các bài tập được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh nghiên cứu ở nhà.

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác Các em đã thay đổi cách nhìn lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng giác Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó.

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác.

Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương pháp lượng giác.

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng,

Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010

2 Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM

- 2005

3 Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn

Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:

––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:

Đơn vị:

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)

- Có giải pháp hoàn toàn mới 

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn

vị có hiệu quả 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Tốt  Khá  Đạt 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

II Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng

1 Một số phép thế lượng giác chung

a) Nếu x a a 0 thì có thể đặt:

 

2 2cos ; 0;

b) Nếu x2 y2 a2 thì có thể đặt:

sin

; 0;2cos

2 Một số phép thế lượng giác trong tam giác

a) Nếu xy yz zx  1 thì tồn tại các góc   , , sao cho:

tan , tan , tan

tan , tan , tan

Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy yz zx  1 thì tồn tại tam giác ABC sao cho:

tan , tan , tan

Nếu ba số dương x, y, z thỏa x y z xyz   thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa:

tan , tan , tan

$2 ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ

I Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức

Bài 1:

Cho x y Chứng minh rằng: x y  x y  x x2  y2  x x2  y2

Giải

Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng

Nếu x 0: chia hai vế cho |x|

 1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin

1 cos 1 cos 1 sin 1 sin

cos cos cosx y zsin sin sinx y zcos cosx ysin sinx y cos x y 1

Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Bài 3:

Cho hai số thực x, y thỏa x2  y2 1 Chứng minh rằng:

 5 5  3 3  

16 x  y  20 x  y 5 x y  2.Giải

Đặt xcos ,a ysin ;a a0;2

Áp dụng các công thức lượng giác:

sin 5 16sin 20sin 5sin 16 20 5

Bất đẳng thức được viết lại:

Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.

ac





 Đặt atan ,A ctanC thì btanA C 

Bất đẳng thức được viết lại:

2

2sin 2 sin 3cos

3

A C C

cos cos cos sin sin

Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác

Theo cách đặt thì: 1 cos , 1 cos , 1 cos

1 cos  1 cos  1 cos  cos cos cos

1 cos 1 cos 1 cos

tan tan tan cot cot cot

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1

Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz Chứng minh rằng:

2

1x  1 y  1z  Bài 11:

Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1 Chứng minh rằng:

t x

x x

512sin cos

54sin

x x

Trước hết ta chứng minh công thức: cos5a16cos5a 20cos3a5cosa.

Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh

Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa: x 2 3

288 3 cos 360 3 cos 90 3 cos 27 0

2cos5 cos

Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [-2;2]

b) 3 2 2  x  2 1 x 3.

c) 1 x 2x2  1 2 1x  x2

d) x3  1 x23 x 2 1  x2

Bài 18:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4m 3 x 3 3m 4 1  x m  1 0

III Giải Hệ Phương Trình

Bài 19:

Giải hệ phương trình:

3 3 3

Giả sử x là số lớn nhất và x>1 Khi đó z 4x3 3x1 (vô lý)

Giả sử x là số nhỏ nhất và x<-1 Khi đó z 4x3 3x x (vô lý)

Do đó x  Tương tự ,1 y z  1

Đặt xcos0   Sử dụng công thức nhân ba ta được:

cos3 , cos9 , cos27

cos cos27

; 1;2; ;1314

k k k k

Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm Ta tìm nghiệm dương của hệ.Tồn tại tam giác ABC sao cho: tan , tan , tan

1 tan

2

a a

Thay vào phương trình thứ nhất: z 4sin 4 4 4sin 42 a  2 a 4sin 82 a

Ta có: sin2asin 82 a cos 2acos16a16a2a k  2

Giả sử hệ có nghiệm Khi đó tồn tại các góc  , sao cho:

cos , sin , 2 cos , 2 sin

Do đó:

y t          (Bất đẳng thức B.C.S)

Dấu “=” xảy ra khi:

Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa hệ

Vậy nghiệm của hệ thỏa điều kiện là 6, 3, 6, 2 3

Giải các hệ phương trình sau:

$3 ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC

I Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC Chứng minh:

2cos2

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được:

2sin 2sin sin

1 cos 2 1 cos2 cos 1

2 tan2

ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều

LUYỆN TẬP

Bài 5:

Chứng minh các hệ thức sau trong tam giác ABC:

a) 4 sin sin sin

Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện:

K M

x x

K M

A

B

C D

Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1

Gọi b là góc ABD Ta có: A4b , góc ADB3b

Áp dụng định lý sin:

sin sin sin

cos cos7 cos 2 cos6 cos cos3cos3 cos7 cos2 cos6

sin 2 sin 5 sin 2 sin 4sin 5 sin 4

Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Giải

C D

K M

sin 20sin sin 40 4sin sin 40cos10sin10sin 80 sin 30 sin 80