Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của lượng giác

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học, nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn. Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng “chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán. Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác. Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng của lượng giác” . Chuyên đề được chia thành 4 phần:  Phần thứ nhất: Mở đầu.  Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.  Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.  Phần thứ tư: Kết luận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Trường THPT Bình Sơn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người thực hiện: Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 

- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2014 - 2015

SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

2 Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979

4 Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai

5 Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064

6 E-mail: phanvanhoabs@gmail.com

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A2, 12A8, 11A9

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2004

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học

- Số năm có kinh nghiệm : 9

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 9 năm gần đây :

+ Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán

+ Một số sai lầm khi tính tích phân

+ Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit

+ Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

+ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

giải quyết các bài toán hơn Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng

phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng

nghiệp

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x( ) xác định trên DR Ta có:

( ) max ( )

2

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ

TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN

1 PHƯƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x( ) trên một đoạn  a b;

   

5 1 '( ) 0 6 3 1 ;6

- ∞ x

2

f a    a

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:   3  

3, 0;3 2

f(a)

3 0

6

● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới

● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới

Suy ra hàm số nghịch biến trên  0;1 nên 1  f(1)  f t( )  f(0)    2, t  0;1

Vậy maxP 2 khi x 2;y 0 hoặc x 0;y 1

8

2 2

9

Dựa vào bảng biến thiên, ta có     11  

5 , 3; 6 12

10

Vậy maxP 1 khi x y 1

Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn 2 2

x y  xy  x y Tìm giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2

Ví dụ 10: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2

2

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   x y z xyyzxz

1 0;1 3

1 t

-+

1 3

2 3 9

2 9

3 f'(t)

f(t)

0

Suy ra hàm số đồng biến trên  3;3 nên f t  f  3     4, t  3;3  

Vậy maxP 4 khi x  y z 1

Ví dụ 17: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2

2(x y z ) xyyz zx 3

3 f'(t)

f(t)

0;1 3

 0; 2 (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )  2x 14  5 x

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )  2 x 5 x

(Đề thi Cao đẳng năm 2014)

1 3 z

1 9

24

(Đề thi Đại học khối D năm 2010)

10 Cho a là số thực dương thỏa a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi học kì 2 tỉnh Đồng Nai năm 2015)

11 Cho các số thực x, y không âm và thỏa mãn điều kiện x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1

(Đề thi thử đại học trường iSCHOOL Nha Trang Khánh Hòa)

18 Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất

(Đề thi thử đại học trường THPT Chuyên Thăng Long)

21 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi thử THPT Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh)

22 Cho a, b là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(Đề thi thử đại học trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam)

23 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

3( 1)( 1)( 1) 1

x y z P

(Đề thi thử đại học trường THPT Minh Châu Hưng Yên)

29 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2

3

x y z  Tìm giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz xz 5

27

35 Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn 2 2 2

2(a  b c ) ab bc ca   3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1

2 3

x y y z z x x y z

  

(Đề thi thử đại học trường THPT chuyên KHTN)

39 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 22 2 3

a b c ab bc ca

(Đề thi thử đại học trường THPT Phan Chu Trinh Đà Nẵng)

40 Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(Đề thi thử đại học trường THPT Phù Cừ Hưng Yên)

41 Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

(Đề thi thử đại học trường THPT Cầu Xe)

42 Giả x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xyyzzx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

(Đề thi thử đại học trường THPT Can Lộc Hà Tĩnh)

44 Cho a, b là các số thực không âm và thỏa mãn     2 2

3 a b  2 ab  1 5(a b ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2 2  

T  a b  a b  a b ab (Đề thi thử đại học trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội)

45 Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2

x y z  Tìm giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1

(Đề thi Đại học khối A năm 2014)

46 Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x 2;1  y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất

(Đề thi Đại học khối D năm 2014)

47 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức

(Đề thi Đại học khối B năm 2013)

48 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện    2

4

a c b c   c Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi Đại học khối A năm 2013)

49 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

29

50 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và 2 2 2

1.

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5

.

Px y z (Đề thi Đại học khối B năm 2012)

(Đề thi Đại học khối D năm 2012)

52 Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2 2

2(a b ) ab (a b ab )(  2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 a33 b33 9 a22 b22

(Đề thi Đại học khối B năm 2011)

53 Cho x, y, z là bộ ba số thực thuộc đoạn  1; 4 và xy x, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi Đại học khối A năm 2011)

54 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c   1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

M  a b b c c a  ab bc ca   a b c

(Đề thi Đại học khối B năm 2010)

55 Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 3

(xy)  4xy 2 Tìm giá trị nhỏ nhất

P x y x y  x y 

(Đề thi Đại học khối B năm 2009)

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Vận dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đã giúp các em chủ động hơn, tự tin hơn Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng kiến thức khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề

Kết quả:

Số học sinh làm bài Số học sinh đạt yêu cầu Tỷ lệ

30

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến là một dạng toán đơn giản, nhưng ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến là một dạng toán hay và cũng tương đối khó khăn trong việc phát hiện ra dấu hiệu áp dụng và giải đối với nhiều học sinh

Để học sinh vận dụng tốt phương pháp này giáo viên cần cho học sinh rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân tích dấu hiệu áp dụng và định hướng cách giải đối với mỗi bài toán Khi áp dụng đề tài này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật sự thấu đáo của mình về vấn đề này, từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức, từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kì thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hướng dẫn ôn tập kì thi THPT Quốc gia năm 2014 – 2015 môn Toán – Đoàn Quỳnh (Chủ biên) – Doãn Minh Cường – Nguyễn Khắc Minh –

Dựa vào bảng biến thiên, ta có   1 1

f(t) f'(t)

1 3 t

0

-+∞

33

Long thành, ngày 04 tháng 05 năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2014 – 2015

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất

Họ và tên tác giả: Phan Văn Hóa Chức vụ: giáo viên

Đơn vị: Trường THPT Bình Sơn

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình

Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ

họ tên và đóng dấu)

34