PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
PT QUY VỀ BẬC NHẤT – BẬC HAI
A Giải và biện luận phương trình ax = b
ax = b
b ≠ 0 Pt vô nghiệm
Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải và biện luận pt m(x – 1) + 2m = x – 2 (1)
(1) ⇔ mx – m + 2m = x – 2 ⇔ mx – x = - m – 2 ⇔ (m – 1)x = - m - 2
* m – 1 = 0 ⇔ m = 1
m ≠ 1
m - 1
−
Phương trình có nghiệm duy nhất : x = m - 2
m - 1
−
Ví dụ 2 : Giải và biện luận pt m(x – 1) + 2m = x + 1 (2)
(2) ⇔ mx – m + 2m = x + 1 ⇔ mx – x = - m + 1 ⇔ (m – 1)x = - m + 1
* m – 1 = 0 ⇔ m = 1
m ≠ 1
m - 1
− + = − Phương trình có nghiệm duy nhất :
x = - 1
Ví dụ 3 : Giải và biện luận pt m2(x – 1) + 2m = x + 1 (3)
(3) ⇔ m2x – m2 + 2m = x + 1 ⇔ m2x – x = m2 – 2m + 1 ⇔ (m2 – 1)x = (m – 1)2
* m2 – 1 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m= -1
m 1
≠
≠ −
x =
2
− = −
m 1
m 1
− +
Ví dụ 4 : Định m để pt sau vô nghiệm : m2(x – 1) + 3m = x + 2 (4)
(4) ⇔ m2x – m2 + 3m = x + 2 ⇔ m2x – x = m2 – 3m + 2 ⇔ (m2 – 1)x = m2 – 3m + 2
Pt vô nghiệm
2 2
− =
⇔ − + ≠
m 1 và m 2
= ±
⇔ ≠ ≠
Ví dụ 5 : Định m để pt sau có nghiệm tùy ý : m2(x – 1) + 3m = mx + 2 (5)
(5) ⇔ m2x – m2 + 3m = mx + 2 ⇔ m2x – mx = m2 – 3m + 2 ⇔ (m2 – m)x = m2 – 3m + 2
Pt có nghiệm tùy ý
2 2
− =
⇔ − + =
m 1 m=0
m 1 hay m 2
= ∨
⇔ = =
Ví dụ 6 : Định m để pt sau có nghiệm duy nhất : m2(x – 1) + 3m = mx + 2 (6)
(6) ⇔ m2x – m2 + 3m = mx + 2 ⇔ m2x – mx = m2 – 3m + 2 ⇔ (m2 – m)x = m2 – 3m + 2
Pt có nghiệm duy nhất ⇔ m2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ 1
Trang 2B Phương trình bậc hai ax + bx + c = 02 :
∆ = b2 – 4ac ; ∆’ = b’2 – ac (a ≠ 0 và b’ = b/a)
ax2 + bx + c = 0
c ≠ 0 Pt vô nghiệm
b ≠ 0 Pt có nghiệm duy nhất x = - c / b
∆ = 0 Pt có nghiệm kép x = - b / 2a (hoặc x = - b’/ a)
∆ > 0
Pt có 2 nghiệm phân biệt : x b
2a
− ± ∆
a
− ± ∆
1 Phương trình có một nghiệm x = 1 ⇔ a + b + c = 0 Nghiệm x1 = 1 ⇒ x2 = c,(a 0)
2 Pt có một nghiệm x = - 1 ⇔ a - b + c = 0 Nghiệm x1 = - 1 ⇒ x2 = - c,(a 0)
3 Phương trình có một nghiệm x = 0 ⇔ c = 0 Nghiệm x1 = 0 ⇒ x2 = ,(a 0)b
a
− ≠
4 Phương trình có một nghiệm x = k ⇔ ak2 + bk + c = 0
Nghiệm x1 = k thì nghiệm x2 = c ,(a 0)
a
5 Phương trình có 2 nghiệm ⇔ a ≠ 0 và ∆≥ 0 (hoặc a ≠ 0 và ∆’ ≥ 0)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và ∆ > 0(hoặc a ≠ 0 và ∆’ > 0)
6 Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và ∆ = 0(hoặc a ≠ 0 và ∆’ = 0)
b
2a
b '
a
= = − )
a 0 và = 0
≠
⇔ ≠ ∆
8 Phương trình có nghiệm
a b c 0
a 0 và b 0
= = =
⇔ = ≠
≠ ∆ ≥
(Chú ý : ta có thể xét riêng từng trường hợp : trường hợp a = 0 và trường hợp a ≠ 0)
= = ≠
⇔ ≠ ∆ < (Chú ý : ta có thể xét riêng từng trường
hợp : trường hợp a = 0 và trường hợp a ≠ 0)
10 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
1 2
1 2
1 2
x + x = (S - 2P) −2P
C Phương trình chứa giá trị tuyệt đối và căn bậc hai :
Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình chứa căn bậc hai
b 0
| a | = b
a = b a = - b
≥
⇔ ∨
≥
⇔ ∨
| a | = | b | ⇔ a = b ∨ a = - b
2
b 0
a = b
a = b
≥
⇔
b 0 (hay a 0)
a = b
a = b
⇔