Li thuyet phan bai tap do thi va vi du

Caàn höôùng daãn cho hoïc sinh caùch bieán ñoåi, ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng ñoà thò haøm soá thöôøng gaëp ñeå veõ, caùch vaän duïng ñoà thò ñeå bieän luaän soá nghieäm phöông trì[r]

Trang 1

â Trần văn Mạnh_(12A1 Pro)

+ Bài toán về số giao điểm của hai đường:

Các đồ thị của hai hàm số yf x , y g x   cắt nhau tại điểm x y0; 0

+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

 1 Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M x y 0; 0thuộc đồ thị

hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M x y 0; 0 làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số  C : yf x  tại điểm M x y 0; 0   C

( hoặc tại x x 0) có dạng: yf x'  0 x x 0y0

 2 Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong đi qua điểm A x y A; Acho

trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua điểm A x y A; A

)

Cho hàm số  C : yf x  Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0 , khi đó phương trìnhtiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0  d

Điểm A x y A; A   d , ta được: y A f x'  0 x A x0y0  x0 Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến  d

3 Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số  C : yf x  Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0, khi đó phương trìnhtiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0  d

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến  d là nghiệm của phương trình:

f x' 0  k x0, thay x0 vào hàm số ta được y0 f x 0

Trang 2

Ta lập được phương trình tiếp tuyến yf x'  0 x x 0y0  d

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M x y 0; 0có hệ số góc k có dạng:

y g x   k x x.  0y0  d

Điều kiện để đường thẳng y g x   tiếp xúc với đồ thị hàm số yf x 

là hệ phương trình sau có nghiệm:    

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến  d

+ Bài toán về dùng đồ thị để biện luận theo tham số số nghiệm của một phương trình.

Phương pháp :

- Biến đổi phương trình đã cho về vế trái là đồ thị hàm sốõ, vế phải là đường thẳng

chứa tham số, song song với trục Ox

-Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ở vế trái( vẽ được đồ thị hàm số)

-Dựa vào đồ thị, tung độ các điểm cực trị để biện luận số nghiệm của phương trình cho trước

Để giải quyết tốt bài toán dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình, ta cần có: Bảng hệ thống toàn bộ các dạng đồ thị hàm số: hàm bậc ba, hàm bậc bốn trùngphương, hàm nhất biến, hàm hữu tỷ, hàm bậc hai, hàm số chứa giá trị tuyệt đối,

Cần hướng dẫn cho học sinh cách biến đổi, đưa phương trình đã cho về dạng đồthị hàm số thường gặp để vẽ, cách vận dụng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trìnhqua từng bài toán cụ thể

+ Bài toán về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có dùng đồ thị

Bài toán về tính diện tích hình phẳng: rất đa dạng và phong phú và có nhiều cách giải Ởû đây chỉ trình bày vài bài toán thường gặp về tính diện tích hình phẳng có dùng đồ thị

Trang 3

â Trần văn Mạnh_(12A1 Pro)  

b a

S f x  g x dx

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y c y d x f y Oy c d ,  ,   , ,   

d c

V f x dx

Dạng 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường y c y d x ,  , 0, x g y  , < c d quayquanh trục Oy, vật thể tròn xoay tạo nên có thể tích là:    2

d c

Một vài ví dụ về các bài toán thường gặp về đồ thị

Trang 4

1/ Cho hàm số 2 1  

Vậy đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọi m

2/ Cho hàm số y x 3 2m x 1 1 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

m     

    thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Trang 5

3 2

Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn ABkhi mlấy các giá trị trong tập hợp

  ; 5  1;là phần đường thẳng y2x 3 ứng với x     ; 1  1;

4/ Cho hàm số y x 3 3x2 9x m C  m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của C m và Ox: x3 3x2 9x m = 0 1 

Để  1 có 3 nghiệm x x x1, ,2 3 ta phải có:

Thay vào  1 , ta được m 11

5/ Cho hàm số y x 3mx2 m1 C m Lập phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m .

Vậy C m luôn đi qua hai điểm cố định M11; 0 ; M 2 1; -2

Tại M11; 0ta được tiếp tuyến  d1 :yy' 1   x1 y3 2 m x  1   d1

Tại M 2 1; -2ta được tiếp tuyến

 d2 :yy' 1    x1 2 y3 2 m x  1 -2  y3 2 m x  1 2 m  d2

6/ Cho hàm số y x 3 3x22  C

a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị  C , từ điểm 23; 2

Trang 6

â Trần văn Mạnh_(12A1 Pro) a/ Gỉa sử tiếp điểm là M x y 0; 0, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

Với x 0 2 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d1 :y 1 2

Với x 0 3 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d2 :y9x 25

b/ Đường thẳng   : 3x 5y 4 0 có hệ số góc 3

5 Từ giả thiết , ta có: ' .3 1

7/ Cho hàm số y x 4 x2  C

Chứng tỏ rằng qua điểm A  1;0có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến  C Lập phương trình các tiếp tuyến đó.

Với x 0 1 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d1 :y2x 2

Với x 0 0 thay vào  1 ta được tiếp tuyến  d2 :y 0

8/ Cho hàm số y x 3 3x22  C

a Khảo sát vẽ  C .

b Tìm a để phương trình: x3 3x22 a *  có 6 nghiệm phân biệt.

Giải:

a Đồ thị như hình vẽ:

Trang 7

là phương trình hoành độ

giao điểm của đồ thị  C1

và đường thẳng  d y a

Số nghiệm của phương trình (*)

chính bằng số giao điểm của đồ

thị  C1 và đường thẳng  d y a

Để phương trình đã cho có 6

nghiệm phân biệt thì đồ thị  C1

và đường thẳng  d có 6

giao điểm Suy ra: 0 a 2

9/ Cho hàm số 4 1  

a.Khảo sát vẽ  H .

b.Dùng đồ thị hàm số vừa vẽ để biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4msinx 1 m0 1 

1

3

y

01

2-

-2-1

Trang 8

b/ Phương trình 4msinx 1 m0 1 

Đặt tsin ; x t  1;1 Phương trình  1 trở thành 4 1t  1 t m 2 

t 1, phương trình  2 vô nghiệm Suy ra t không là nghiệm

t     1 1 t 1, phương trình  2 4 1 3 

1

t m t

t y

m   , phương trình  2 không có nghiệm t Suy ra phương trình  1 vô nghiệm

m  52, phương trình  2 có nghiệm t 1

Suy ra 1 1 2 ,

2

sinx  x   k  k Z là một họ nghiệm của phương trình  1

m   52, phương trình  1 có cũng chỉ có một nghiệm t  0  1;1

0

3

2sin

 là hai họ nghiệm của phương trình  1

10/ Tìm diện tích của miền D giới hạn bởi hai đường yx21 ; yx 5?

Giải: Phương trình của cả hai đường là chẵn đối với x Vì vậy, miền D có trục đối xứnglà Oy Gọi D1 là phần của D nằm bên phải Oy, khi đó diện tích cần tìm là:S D2S D1

Trang 9

â Trần văn Mạnh_(12A1 Pro) Dựng D

Cạnh cong ABcó

phương trình x 8 y2 , cạnh cong

OB có phương trình 1 2

2

x y Diện tích cần tìm là:

Trang 10

x

   y2 cắt y3 tại B9; 3

Dựng các giao điểm O A B, ,

Dựng 3 đường cong qua 3 giao điểm

Miền D( cho bởi hình vẽ bên)

x

9

3

96

y  x

2 227

x

y 

9 2

A

B

Trang 11

Trang 12

â Trần văn Mạnh_(12A1 Pro) Mỗi bài toán về đồ thị đòi hỏi chúng ta suy luận nên chọn cách giải nào phù hợp,các kiến thức nào được áp dụng là hay nhất, phù hợp nhất … Tùy vào từng bài tập cụthể, ta linh hoạt giải các dạng toán về đồ thị một cách tốt nhất.

Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thị trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng các năm gần đây

Bài 1 Cho hàm số 2 1 

x y x







a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 .

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A B, và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O (Đại Học Khối A năm 2009)

Đáp số: y x 2.

Bài 2 Cho hàm số y2x4 4 x2  C

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

b/ Với các giá trị nào của m , phương trình x x2 2 2 m có đúng 6 nghiệm phân biệt? (Đại Học Khối B năm 2009)

Đáp số: m 0; 1

Bài 3 Cho hàm số y x 4 3m2x23 m C m, m là tham số.

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m 0

b/ Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị C m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

(Đại Học Khối D năm 2009)

 tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB 4.

(Đại Học Khối B năm 2009)

 tại hai điểm phân biệt A B, sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB

thuộc trục tung.

Trang 13

Đáp số: m 1.

Bài 6 Cho hàm số y4x3 6 +1 1x2  .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M  1; 9 .

(Đại Học Khối B năm 2008)

Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là: 24 15; 15 21

y x y x

Bài 7 Cho hàm số y x 3 3 +4 1x2  .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  1

b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I1; 2 với hệ số góc k k   3

đều cắt đồ thị của hàm số  1 tại ba điểm phân biệt I A B, , đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 8 Cho hàm số 2  

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc  C , biết tiếp tuyến của  C cắt 2 trục Ox Oy, tại

,

A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4 (Đại Học Khối D năm 2007)

1

; -2 ; 1; 1 ; 2

M   M

Bài 9 Cho hàm số y2x3 9x212x 4  C

b/ Với các giá trị nào của m , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

2 x  9x 12x 4m (Đại Học Khối A năm 2006)

Đáp số: m 4; 5

Bài 10 Cho hàm số y x 3 3x2  C

Trang 14

b/ Gọi  d là đường thẳng đi qua điểm A3; 20 và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng  d cắt đồ thị  C tại 3 điểm phân biệt.

(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006) Đáp số:

15424

m m

(Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006)

Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: yx2 2 5;  y x 2 2 5.

1

Bài 14 Cho hàm số y2x3 3x21  C

b/ Tìm m để đường thẳng y mx 1, m là tham số cắt đồ thị  C tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.

(Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006) Đáp số: 9; 0

8

m  

Trang 15

m

y x  x  C a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi m 2

b/ Gọi M là điểm thuộc C m có hoành độ bằng  1 Tìm m để tiếp tuyến của C m

tại điểm M song song với đường thẳng 5x y 0.

(Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005)

A B Xác định m sao cho độ dài AB là nhỏ nhất?

(Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005)

Đáp số: m 2

Bài 17 Cho hàm số yx33x2  C

b/ Tìm m để phương trình x3 3x2m 6 0 có 3 nghiệm phân biệt.

(Cao Đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005)

Xác định m để đường thẳng y2x m luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt A B,

sao cho các tiếp tuyến của  C tại A B, song song nhau?

(Cao Đẳng Sư Phạm TP Hồ Chí Minh năm 2005) Đáp số: m 1

1

Trang 16

Bài 20 Cho hàm số

x



Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số  1 tại hai điểm phân biệt A B,

b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của  C tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của  C có hệ số góc nhỏ nhất.

(Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004)

Đáp số: Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: y x38

2

11

mx x m y

x

 



a/ Khảo sát vẽ đồ thị  1 khi m 1.

b/ Tìm m để đồ thị hàm số  1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương?

(Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2003)

x x y

x



Tìm m để đường thẳng d m:y mx  2 2m cắt đồ thị hàm số  1 tại hai điểm phân biệt?

(Đại Học , Cao Đẳng Khối D năm 2003)

Đáp số: m 1; +.

Bài 24 Cho hàm số yx33mx23 1  m x m2  3 m2 1 , m là tham số

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  1 khi m 1.

b/ Tìm k để phương trình x33x2k3 3 = 0k2 có 3 nghiệm phân biệt.

Trang 17

(Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2002)

m x m y

x



a/ Khảo sát vẽ đồ thị  1 khi m 1.

b/ Tìm m để đường thẳng y x tiếp xúc với đồ thị hàm số  1 ?

(Đại Học , Cao Đẳng Khối D năm 2002)

Đáp số: m 1.

2 1

Bài 27 Cho hàm số y x 3 6x29 x C .

a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C Suy ra đồ thị hàm số   3 2

C y x  x  x b/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình 3 2

x  x  x  m (Đại Học Sư Phạm Hà Nội Khối B, M, T năm 2001)

Đáp số: m 3:phương trình vô nghiệm;

m 3 :phương trình có 3â nghiệm;   1 m 3 :phương trình có 6â nghiệm;

m 1:phương trình có 4 nghiệm; m  1:phương trình có 2â nghiệm;

Bài 28 Cho hàm số yx45x2 4  C

b/ Xác định m để phương trình x4 5x2 m2 3m0 có 4 nghiệm phân biệt (Đại Học Sư Phạm Hà Nội Khối B, M, T năm 2001) Đáp số: m 0; 3.

y x  x C a/ Khảo sát vẽ đồ thị  C

Trang 18

b/ Tìm trên đồ thị  C các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị  C vuông góc với đường thẳng y 13x23 .

(Đại Học Ngoại Ngữ năm 2001)

42; ; 2; 03

M   M 

2 3 1

3 3

m  

Bài 32 Cho hàm số y x 3 3 x C .

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình

 1 2

y m x   luôn cắt đồ thị hàm số  C tại một điểm A cố định Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số  C tại 3 điểm A B C, , khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B C; vuông góc với nhau.

(Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2001)

b/ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế Khối D năm 2001)

Trang 19

Bài 34 Cho hàm số 2  

b/ Cho điểm A0; a Xác định a để từ điểm A0; a kẽ được hai tiếp tuyến đến

 C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox ?

(Đại Học Sư Phạm Và Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh Khối A năm 2001) Đáp số: 2; 1

3

a  a

Bài 35 Cho hàm số y2x33m 3x211 3  m C m .

Cho m 2 Tìm phương trình các đường thẳng đi qua 19; 4

Bài 36 Cho hàm số y x 4 x21  C

b/ Hãy tìm tất cả các điểm thuộc trục Oy mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị C

(Đại Học An Giang Khối A, B năm 2001)

Đáp số: M0; 1 là:

Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A B, sao cho OA

vuông góc với OB ?

(Cao Đẳng Nông Lâm năm 2001)

Bài 38 Cho hàm số y x 4 2x21  C

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,54 MB