Câu 5: 4 điểm Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD... - Điểm tổng toàn bài không được làm tròn số.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 13 − 160 - 53 4 90 −
b) B = 8 2 10 2 5+ + + 8 2 10 2 5− +
Câu 2: (5 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 + 4x2 - 29x + 24
b) (x2 – x + 2)2 + (x + 2)2
Câu 3: (3 điểm)
Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0 Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 chia hết cho 3abc
Câu 4: (3 điểm)
y
Biết xyz = 4, tính P
Câu 5: (4 điểm)
Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2
Hết
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HUYỆN HOÀI ÂN NĂM HỌC: 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1: (5 điểm)
8 2 8 5 5 45 2 45 8 8
( 8 5) ( 45 8)
5 3 5 4 5
2 8 2 10 2 5 2 (8 2 10 2 5 )(8 2 10 2 5 ) 8 2 10 2 5
2
16 2 64 4(10 2 5)
2 16 2 24 8 5
2 16 4 6 2 5
2 16 4 ( 5 1) 2
2 12 4 5
2 2(6 2 5)
2( 5 1)
Câu 2: (5 điểm)
a) x3 + 4x2 - 29x + 24
= x2( x – 1) + 5x( x – 1) – 24( x – 1) (0,25đ)
b) (x2 – x + 2)2 + (x + 2)2
= x4 + x2 + 4 – 2x3 + 4x2 – 4x + x2 – 4x + 4 (0,5đ)
= x4 + 4x2 – 2x3 – 8x + 2x2 + 8 (1đ)
= x2( x2 + 4) – 2x(x2 + 4) +2( x2 + 4) (0,25đ)
Trang 3I B A
d
M
J
Câu 3: (3 điểm)
Ta có: a + b + c = 0 (gt)
a3 + b3 + c3 = a3 + b3 + (-( a + b))3 (0,5đ)
= a3 + b3 – a3 – 3a2b – 3ab2 – b3 (0,5đ)
Câu 4: (3 điểm)
Nên x > 0, y > 0, z > 0 và xyz= 2 (0,5đ)
Nhân z vào hạng tử thứ nhất, nhân xz vào hạng tử thứ hai (0,5đ)
2
2
xyz
P
P
2 2
1
P
+ +
Câu 5: (4 điểm)
Hình vẽ ( 0,5đ)
Qua M kẻ đường thẳng d⊥AB nên d⊥CD vì
AB//CD, d cắt AB tại I, cắt CD tại J (1đ)
Tứ giác AIJD là hình chữ nhật vì
0
Do đó: IB = JC ( Vì AB- AI = CD – DJ) (0,25đ)
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông: IAM, MJC, IMB, DMJ, ta có:
MA2 = IM2 + AI2
MC2 = MJ2 + CJ2 (0,5đ)
MB2 = MI2 + IB2
MD2 = MJ2 + DJ2
Do đó: MA2 + MC2 = IM2 + AI2 + MJ2 + JC2(0,25đ)
MB2 + MD2 = MI2 + IB2 + MJ2 + DJ2 (0,25đ)
Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 (đpcm) (0,25đ)
Ghi chú: - Các cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.
- Điểm tổng toàn bài không được làm tròn số
