Tuyển Tập Đề Thi Thử Đại Học 2009

Gọi I l giao điểm của các đường tiệm cận.. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P 2; T1 sao cho đ

DongPhD Problems BookSeries

Tuyển Tập Đề Thi Thử

Đại Học 2009

vnMath.com Dịch vụ Toán họcdichvutoanhoc@gmail.com

Thông tin

bổ ích(Free)

Toán học vui Kiếm

tiền trên mạng

Tr ng i h c H ng c THI TH TUY N SINH I H C - CAO NG 2009

Khoa Khoa h c T nhiên Môn thi: TOÁN, kh i A

2 Tính: cos12o+cos18o−4 cos15 cos 21 cos 24o o o

Câu III (1,0 đi m)

Trên parabol y = x2 l y ba đi m , , A B C khác nhau sao cho ti p tuy n t i C song

song v i đ ng th ng AB Ký hi u S là di n tích tam giác ABC, S’ là di n tích hình ph ng

II PH N RIÊNG (3,0 đi m)

Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: theo ch ng trình Chu n ho c Nâng cao

1 Theo ch ng trình Chu n

Câu VIa (2 đi m)

1 Tìm to đ các đ nh B và C c a tam giác ABC, bi t đ nh , tr ng tâm

Câu VIIa (1 đi m)

M t h p đ ng bi có 12 viên, trong đó có 3 viên tr ng, 4 viên đ , 5 viên xanh Ký hi u

A là t ng s cách l y 6 trong 12 viên đó, B là s cách l y 6 viên sao cho s bi đ b ng s

bi xanh Tính t s B : A

2 Theo ch ng trình Nâng cao

Câu VIb (2 đi m)

1 Trong m t ph ng to đ , cho hai đ ng th ng

giao tuy n c a hai m t c u đó

Câu VIIb (1 đi m)

Tính c n b c hai c a s ph c 1 5 + 112i

GHI CHÚ 1 thi này đ c so n theo M U quy đ nh trong v n b n “C u trúc đ

thi t t nghi p THPT & tuy n sinh H-C 2009” do C c Kh o thí & Ki m đ nh ch t

l ng giáo d c, B Giáo d c & ào t o, ban hành tháng 11 n m 2008

2 Cán b coi thi không đ c gi i thích gì v đ thi!

ÁP ÁN TOÁN KH I A

Câu L i gi i i m

I.1.(1 đ) T p xác đ nh:

Gi i h n t i vô c c: lim ( )

x

f x

-( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 6 6; ' 0 1 9; 1 3 f x x f x x f f = − + = ⇔ = ± − = − = 1. −∞ 1 B ng bi n thiên: x − 1 +∞

f ’(x) − + −

f(x) +∞ 8

0

−

−∞

Nh n xét: Hàm s ngh ch bi n trên hai kho ng đ t c c ti u t i -1, c c đ i t i 1 và ( −∞ − ; 1), (1; +∞); 8; 0. CT CD f = − f = Giao đi m v i tr c tung: (0;-4); v i tr c hoành: (-2;0) và (1;0) (đi m c c đ i) -

th nh hình v -2 -1 1 -8 -6 -4 -2 x y 0 y = 2 3 + 6 4 0,25 0,5 0,25 I.2.(1 đ) Ta có (xlnx)'= + x1 ln a Ph ng trình ti p tuy n t i đi m có hoành đ a (a > 0) là y = + (1 ln )( a x − + a ) a ln -

ti p tuy n đi qua A, ph i có

( ) 2 (1 ln )(1 ) ln 2 1 ln ln 1 0, 1 a a a a a a a a = + − + ⇔ = − + ⇔ − − = 0,25 - 0,25

T b ng này ta th y giá tr l n nh t c a f(a) là -2 nên ph ng trình (1)

vô nghi m V y không có ti p tuy n nào đi qua A

A H C (Hình này có th không v )

0,25

Xét tam giác cân SAC (cân t i S) v i H là trung đi m c a AC Rõ ràng

SH là đ ng cao c a tam giác SAC và c a c hình chóp L i có

và C’ là trung đi m SC nên AC = SC, t c là tam giác SAC

B B = IH , trong đó I là giao đi m gi a SH và AC’ Vì I

c ng là tr ng tâm tam giác SAC nên SI : IH = 2:1 V y t s gi a SB’

2

2 2

;41

2 1'

T b ng này ta th y t p h p giá tr c a f (t) là [0;1/ 6] nên t p h p

Cách làm này không th t ch t ch vì không ch ra đ c

r ng A nh n m i giá tr gi a 0 và 1/18 nên ch cho t ng c ng 0,75 đ

Ph n riêng theo ch ng trình Chu n

V y ta có I(2; 1− D th y đi m B ng v i giá tr t = 2 nên có

VIa.2(1 đ) Tâm I c a m i m t c u nh v y ph i n m trên m t ph ng R đi qua

chính gi a hai m t ph ng đã cho D th y hai to đ c a I ph i tho

mãn ph ng trình m t ph ng R: M t khác, vì kho ng

cách t I đ n O b ng bán kính nên ph i b ng n a kho ng cách gi a hai

m t ph ng đã cho hay b ng kho ng cách gi a P và R L y m t đi m

b t k trên P và tính kho ng cách t i R, ta đ c giá tr b ng

Nh v y, t p h p tâm các m t c u đi qua O và ti p xúc v i hai m t

ph ng đã cho là đ ng tròn giao tuy n c a m t c u S và m t ph ng R

Nói cách khác, đó là t p h p các đi m có ba to đ x, y, z tho mãn

VIIa(1 đ) S cách l y 6 trong 12 viên là (t c là ) L y 6 viên sao

cho s viên đ b ng s viên xanh có hai tr ng h p: ho c 3 viên đ , 3

612

C A = C126

0,5

viên xanh (không viên nào tr ng) ho c 2 viên tr ng, 2 đ và 2 xanh

3 3 2 2 2

4 5 3 4 5

612

D’ nên có:

1

4 1

3 1 3

21

3136 15

15, ( 0) 56

1 Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị (C) của h m số

2 Cho M l điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A v B Gọi I l giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

24cos2sin2cossin2sin

x

x x

ư

>

ư+

x

2

1log)2(22)144(log

2 1 2

=

e

dx x x x x

x I

1

2ln3ln1ln

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c l ba số dương thoả mFn : a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

13

13

1

a c c b b a

P

+

++

++

Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được l m một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2

Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn)

Câu VIa (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1:2x ư y+5=0

d2: 3x +6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; T1) sao cho đường thẳng

đó cắt hai đường thẳng d1 v d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh l giao điểm của hai đường

thẳng d1, d2

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; T1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D ( 4; T1; 2) v mặt phẳng (P) có phương trình: x+ y+zư2 =0 Gọi A’l hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) l mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm v bán kính của đường tròn (C) l giao của (P) v (S)

Câu VIIa (1 điểm)

Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao)

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1

916

2 2

3:

)

(d x+ = y+ =zư , điểm A( T2; 3; 4) Gọi ∆l đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao

điểm của ( d) v (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM

=

+

11

3

2.3222

3 2

1 3

x xy x

x y y

x

TTTTTTTTTTTTTT HếtTTTTTTTTTTTTTT

Chú ý: Thí sinh dự thi khối B v D không phải l m câu V

Thí sinh không được sử dụng t i liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ v tên thí sinh:TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT Số báo danh:TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Hướng dẫn chấm môn toán

: Điểm to n b i thi không l m tròn

: Học sinh l m cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa

: Nếu học sinh l m cả hai phần trong phần tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn

: Thí sinh dự thi khối B, D không phải l m câu V, thang điểm d nh cho câu I 1 v câu III l 1,5

điểm

I 1 Khảo sát h m số v vẽ đồ thị h m số 1,00

2) Sự biến thiên của h m số:

a) Giới hạn vô cực v các đường tiệm cận:

;ylim

2 x 2

ư

=Bảng biến thiên:

;23

+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận l m tâm đối xứng

0,25

I 2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00

2x

3x2

;x

2x

1)

x('y

1y

:

0

0 0 2

ư+

2

Toạ độ giao điểm A, B của ( )∆ v hai tiệm cận l : ; B( x 2;2)

2x

2x

;2

xx

=

=

−+

=+

0

0 B

2x

3x22

yy

=

−

−

=+

−π

−π

=

)2x(

1)

2x(2

2x

3x)2x(

0

2 0 2

0

0 2 0

1x)2x(

1)

2x(

0

0 2 0

2 0

Do đó có hai điểm M cần tìm l M(1; 1) v M(3; 3)

0,25

)1(24cos2sin2cossin2sin

xcosxsin2

xsin1

=

−+

⇔

0,25

012

xcos2

xsin2.2

xcos2

xsinxsin01xsin2

xcos2

xsinx

xsin22

xsin212

xsinx

1x2

1x0)1x2(2

1x01x4x4

0x21

2 2

2x(2x)x1(log

1x1)x21(2

0x

1)x21(2

0x

0)x21(2log

0x

0)x21(2log

0x

01)x21(log

0x

01)x21(log

0x

2 2

1

<

xdxlnx3dxxln1x

xlnI

x I

1 1

ln1

ln

x

1tdt2

;xln1txln1

=+

=

⇒+

3

t2dt1t2tdt2.t

1tI

2

1

3 2

1 2 2

1

2 1

dxdudxxdv

xlnu

=I1 3I2

I

3

e22

.SA3

1S.MA3

1V

3a4

aaAMBNABAMANMN

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

a.4

3a.3a6

1BC.MN2

1.SA3

1V

3 ABC

V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 điểm

p dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

zyx

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

1)zy

x

(

3 3

++

≥++

accbba

9a

c

1cb

1ba

1P

+++++

≥+

++

++

4

a 3b b 3c c 3a 1

+ + =



Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a=b=c=1/4

0,25

Cách 1: d1 có vectơ chỉ phương a1(2;ư1); d2 có vectơ chỉ phương a2(3;6)

Ta có: a1.a2=2.3ư1.6=0 nên d ⊥1 d2 v d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d l

đường thẳng đi qua P( 2; T1) có phương trình:

0BA2ByAx0)1y(B)2x(

ư

⇔

A3B

B3A0B3AB8A345cos)1(2BA

BA

2 2

2 2

0,25

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: x+yư5=0 0,25

* Nếu B = T3A ta có đường thẳng d:xư yư5=0

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mFn yêu cầu b i toán d:3x+yư5=0

05yx

:

0,25

Cách 2: Gọi d l đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngo i

của đỉnh l giao điểm của d1, d2 của tam giác đF cho

Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình

∆

=+

ư

⇔

ư+

=+

ư

⇔+

ư+

=

ư+

+

ư

)( 08yx9

)( 022yx37yx35yx236

3

7yx3)1(2

5yx

2

2

1 2

2 2

2

0,25

+) Nếu d // ∆1 thì d có phương trình 3xư y+c=0

Do P∈d nên 6+9+c=0⇔c=ư15⇒d:xư yư5=0 0,25 +) Nếu d // ∆2 thì d có phương trình 9x+ y+c=0

Do P∈d nên 18ư3+c=0⇔c=ư15⇒d:3x+yư5=0 0,25 Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mFn yêu cầu b i toán d:3x+yư5=0

05yx

:

VIa 2 Xác định tâm v bán kính của đường tròn 1 điểm

Dễ thấy A’ ( 1; T1; 0)

* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D l : 0,25

(a b c d 0),

0dcz2by2ax2zy

>

ư++

=++++++

ư

=++++

=++++

=++

ư

1d

1c

1b2

5a

021dcba

029dcba

014dcba

02dba

;1

;2

+) Gọi ( d) l đường thẳng đi qua I v vuông góc với (P)

; 1

; 2

5 H t

1 z

t 1 y

t 2 / 5 x

Do H=( )d ∩(P) nên:

6

5t2

5t302t1t1t2

1

;3

5H

0,25

6

3536

75

IH= = , (C) có bán kính

6

1866

3136

754

29IH

k 1 n k 2

2 1 n 1

1 n 0

1 n 1

n C C x C x ( 1) C x C x)

x1

+ +

+ +

+ +

ư+

ư+

ư+

k k 1 n k 2

1 n 1

1 n n

xC)1n(

xkC)1(

xC2C)x1)(

1n

+

ư + +

ư

=

ư+

Lại lấy đạo h m cả hai vế của (2) ta có:

1 n 1 n 1 n 2

k k 1 n k

3 1 n 2

1 n 1 n

xC)1n(n

xC)1k(k)1(

xC3C2)x1)(

1n

(

+

ư + +

+

ư

+

ư+

ư

ư++

⇔

=+

(H) có các tiêu điểm F1(ư5;0) ( );F2 5;0 Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh l

Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: 1

b

ya

x2 2 2

2

=+ ( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm F( 5;0) ( );F 5;0 a2 b2 52 ( )1

+

=

15b

40abab16a

b5a

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0,25

Vậy phương trình chính tắc của (E) l : 1

15

y40

x2 2

=

VIb 2 Tìm điểm M thuộc ∆ để AM ngắn nhất 1 điểm

32

t z

t y

t x

uy

u1x: Vì M∈∆⇒M(ư1ưu;u;4+u), ⇒AM(1ưu;uư3;u) 0,25

4

;3

=

+

)2(1xxy1x3

)1( 2

.3222

x y 2 y 1 x

≥+

⇔

0)13

(

11

13

01

x x

xy x

x x

y x x x

3110

013

01

0,25

* Với x = 0 thay v o (1)

11

8log11

822.12282.32

x

31

1 thay y = 1 – 3x v o (1) ta được: 23x+ 1+2ư 3xư 1 =3.2

ư

⇔

=+

⇔

)83(log2y

183log3

1x8

3t

i

ạlo83t01t6t6t

1t)

3

(

2

2 2

8logy

0x2

=

)83(log2y

183log3

1x

2 2

0,25

5

IV Tính thể tích khối lăng trụ

Gọi M l trung điểm của BC, gọi H l hình chiếu vuông góc của M lên AA’, Khi

đó (P) ≡ (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện của lăng

trụ cắt bởi (P) l tam giác BCH

0,25

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

3

3aAM3

2AO,2

3a

Theo b i ra

4

3aHM8

3aBC.HM2

18

3aS

2 2

0,25

4

a16

a4

aHM

AMAH

2 2 2

O'A

=

suy ra

3

aa

44

3a3

3aAH

HM.AOO'

3a3

a2

1BC.AM.O'A2

1S.O'AV

12

121bba

13

ba

1

2 2 2 2

2

++

≤++++

=++Tương tự

1aca

12

13a2c

1,1cbc

12

13c2b

1

2 2 2

2

++

≤++++

≤++

0,50

2

1bab1

bab1b

ab1

bab

12

11aca

11cbc

11bab

12

1

++

+++

+++

=++

+++

+++

VIa.1 Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) v (P)

Ho nh độ giao điểm của (E) v (P) l nghiệm của phương trình

09x37x36x1)xx(9

=

ư+

ư

= , f(x) liên tục trên R có f(`1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E)

cắt (P) tại 4 điểm phân biệt

ư

=

1y9x

x2xy2 2

6

09yx16yx99yx

yx16x

2 2

4

;9

−

⇔

=

−++

+

−

−+

(lo¹i)17D

7D12D54)1(22

D3)2(21.2

2 2

2 n 1 n 0 n 2

0

ndx C C x C x C x dx)

x1(I

2

0

1 n n n 3

2 n 2 1 n 0

1n

1x

C3

1xC2

1x

n

3 1 n

2 0

1n

2C

3

2C2

2C2

++++

+

=

+ (1)

0,25

MÆt kh¸c

1n

13)

x1(1n

1I

1 n 2 0 1 n

+

−

=+

+

=

+ + (2)

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1n

2C

3

2C2

2C2

++++

+

=

+

1n

1

3n 1+

−

=+

1n

65601

=+

7

0

4 k 14 k 7 k

k 7

k 7 k 7 7

2

1x

2

1x

Cx

1 2 7

−

−

=

−++

0.3n5m3

2.3n7m2

1m2nm

3nmSuy ra B = (`1; `4), C= (5; 1)

0,25

Gi¶ sö ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh

0cby2ax2y

x2 2

=++++ Do A, B, C ∈ (C) nªn ta cã hÖ

=+

−

−+

=++++

27/338c

18/17b

54/83a0cba10125

0cba161

0cba94

17x27

83y

x2 2

=

−+

−

7

VIb.2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

Gäi G l träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy ra G = 

;3

8

;37

2 2

MA

2 2 2 2 2

2 2

2 GA GB GC 2MG(GA GB GC) 3MG GA GB GCMG

191

11

333/83/7))P(,G(d

++

1049

329

56GCGB

=++

=++

VËy F nhá nhÊt b»ng

9

5533

643

3

19.3

2

=+

+

− +

+

−

1yxe

1yxe1

yxe

)1x(2ee

y x

y x y

x

y x y x

)1(1

ue1ve

1ue

v u v u

` NÕu u > v th× (2) cã vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m nªn (2) v« nghiÖm

` T−¬ng tù nÕu u < v th× (2) v« nghiÖm, nªn (2) ⇔u =v 0,25 ThÕ v o (1) ta cã eu = u+1 (3) XÐt f(u) = eu ` u` 1 , f'(u) = eu ` 1

B¶ng biÕn thiªn:

u ` ∞ 0 + ∞ f'(u) ` 0 +

f(u)

0 Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = 0 ⇔u =0

⇒

=

⇒

0y

0x0yx

0yx0

VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®P cho cã mét nghiÖm (0; 0)

0,25

Trường T.H.P.T Nguyễn Trung Ngạn Đề thi thử đại học năm 2009

Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )

Phần A : D"nh cho tất cả các thi sinh

Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị (c) của h m số : y = x3 – 3x2 + 2

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2

Phần B ( Thí sinh chỉ được l"m một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)

Phần 1 ( D nh cho học sinh học theo chương trình chuẩn )

Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

2) Cho điểm A(1; 1;2) ,B(3 ; 4; 2).Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu VI.a (1.0 điểm ) Giải phương trình : log (9 x + 1)2+ log 23 = log 3 4 ư x + log (27 x + 4)3

Phần 2 ( D nh cho học sinh học chương trình nâng cao )

Câu V.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

1) Chứng minh rằng D1 chéo D2 Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 v D2

2) Viết phương trình mặt cầu có đường kính l đoạn vuông góc chung của D1 v D2

CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phương trình : log25x + 2 log25x + ư 1 m ư 2 0 = , ( m l tham số )

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đA cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn   1;5 3 

……….Hết ………

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

&ướng dẫn giải : Phần A : D nh cho tất cả các thí sinh

Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát v vẽ đồ thị )

2) Đồ thị h m số y = 2

(x ư2xư2) xư1 , với x ≠ 1 có dạng như hình vẽ :

Dựa v o đồ thị ta có : *) Nếu m < 2 : Phương trình vô nghiệm

*) Nếu m = 2 : Phương trình có hai nghiệm *) Nếu – 2 < m < 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m ≥ 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009

30

9 2530

9 2530

9 25

x y

x y z

y z x

Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , AB AM

SB = MS = 1

2 VËy BM l ph©n gi¸c cña gãc SBA ⇒SBH =300 ⇒ SH = SB.sin300 = a

Gäi V l thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = 1 ( )

3 SH dtBCNM =

3

10 3 27

a

, - (Danh cho thÝ sinh häc ch−¬ng tr×nh chuÈn)

$ ) VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît l : u1(4; 6; 8)

2

u ( 6; 9; 12) +) u1 v u2 cïng ph−¬ng

Khi A1, I, B th¼ng h ng ⇒ I l giao ®iÓm cña A1B v d

Do AB // d1 nªn I l trung ®iÓm cña A1B

*) Gäi H l h×nh chiÕu cña A lªn d1 T×m ®−îc H 36 33 15; ;

t t

Trường THPT Đông Sơn 1 kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009 (lần 2)

1 Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị (C) của h m số

2 Cho M l điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A v B Gọi I l giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

24cos2sin2cossin2sin

x

x x

ư

>

ư+

x

2

1log)2(22)144(log

2 1 2

=

e

dx x x x x

x I

1

2ln3ln1ln

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c l ba số dương thoả mFn : a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

13

13

1

a c c b b a

P

+

++

++

Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được l m một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2

Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn)

Câu VIa (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1:2x ư y+5=0

d2: 3x +6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; T1) sao cho đường thẳng

đó cắt hai đường thẳng d1 v d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh l giao điểm của hai đường

thẳng d1, d2

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; T1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D ( 4; T1; 2) v mặt phẳng (P) có phương trình: x+y+zư2 =0 Gọi A’l hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) l mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm v bán kính của đường tròn (C) l giao của (P) v (S)

Câu VIIa (1 điểm)

Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao)

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: 1

916

2 2

3:

)

(d x+ = y+ =zư , điểm A( T2; 3; 4) Gọi ∆l đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao

điểm của ( d) v (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM

=

+

11

3

2.3222

3 2

1 3

x xy x

x y y

x

TTTTTTTTTTTTTT HếtTTTTTTTTTTTTTT

Chú ý: Thí sinh dự thi khối B v D không phải l m câu V

Thí sinh không được sử dụng t i liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ v tên thí sinh:TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT Số báo danh:TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Trường THPT đông sơn I kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009 ( lần II)

Hướng dẫn chấm môn toán

: Điểm to n b i thi không l m tròn

: Học sinh l m cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa

: Nếu học sinh l m cả hai phần trong phần tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn

: Thí sinh dự thi khối B, D không phải l m câu V, thang điểm d nh cho câu I 1 v câu III l 1,5

điểm

I 1 Khảo sát h m số v vẽ đồ thị h m số 1,00

2) Sự biến thiên của h m số:

a) Giới hạn vô cực v các đường tiệm cận:

;ylim

2 x 2

ư

=Bảng biến thiên:

;23

+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận l m tâm đối xứng

0,25

I 2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00

2x

3x2

;x

2x

1)

x('y

1y

:

0

0 0 2

ư+

2

Toạ độ giao điểm A, B của ( )∆ v hai tiệm cận l : ; B( x 2;2)

2x

2x

;2

xx

=

=

−+

=+

0

0 B

2x

3x22

yy

=

−

−

=+

−π

−π

=

)2x(

1)

2x(2

2x

3x)2x(

0

2 0 2

0

0 2 0

1x)2x(

1)

2x(

0

0 2 0

2 0

Do đó có hai điểm M cần tìm l M(1; 1) v M(3; 3)

0,25

)1(24cos2sin2cossin2sin

xcosxsin2

xsin1

=

−+

⇔

0,25

012

xcos2

xsin2.2

xcos2

xsinxsin01xsin2

xcos2

xsinx

xsin22

xsin212

xsinx

1x2

1x0)1x2(2

1x01x4x4

0x21

2 2

2x(2x)x1(log

1x1)x21(2

0x

1)x21(2

0x

0)x21(2log

0x

0)x21(2log

0x

01)x21(log

0x

01)x21(log

0x

2 2

1

<

xdxlnx3dxxln1x

xlnI

x I

1 1

ln1

ln

x

1tdt2

;xln1txln1

=+

=

⇒+

3

t2dt1t2tdt2.t

1tI

2

1

3 2

1 2 2

1

2 1

dxdudxxdv

xlnu

=I1 3I2

I

3

e22

.SA3

1S.MA3

1V

3a4

aaAMBNABAMANMN

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

a.4

3a.3a6

1BC.MN2

1.SA3

1V

3 ABC

V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức " % ểm

p dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

zyx

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

1)zy

x

(

3 3

++

≥++

accbba

9a

c

1cb

1ba

1P

+++++

≥+

++

++

4

a 3b b 3c c 3a 1

+ + =



Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a=b=c=1/4

0,25

Cách 1: d1 có vectơ chỉ phương a1(2;ư1); d2 có vectơ chỉ phương a2(3;6)

Ta có: a1.a2=2.3ư1.6=0 nên d ⊥1 d2 v d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d l

đường thẳng đi qua P( 2; T1) có phương trình:

0BA2ByAx0)1y(B)2x(

ư

⇔

A3B

B3A0B3AB8A345cos)1(2BA

BA

2 2

2 2

0,25

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: x+yư5=0 0,25

* Nếu B = T3A ta có đường thẳng d:xư yư5=0

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mFn yêu cầu b i toán d:3x+yư5=0

05yx

:

0,25

Cách 2: Gọi d l đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngo i

của đỉnh l giao điểm của d1, d2 của tam giác đF cho

Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình

∆

=+

ư

⇔

ư+

=+

ư

⇔+

ư+

=

ư+

+

ư

)( 08yx9

)( 022yx37yx35yx236

3

7yx3)1(2

5yx

2

2

1 2

2 2

2

0,25

+) Nếu d // ∆1 thì d có phương trình 3xư y+c=0

Do P∈d nên 6+9+c=0⇔c=ư15⇒d:xư yư5=0 0,25 +) Nếu d // ∆2 thì d có phương trình 9x+ y+c=0

Do P∈d nên 18ư3+c=0⇔c=ư15⇒d:3x+yư5=0 0,25 Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mFn yêu cầu b i toán d:3x+yư5=0

05yx

: