Ngêi thø nhÊt lµm mét nöa c«ng viÖc, sau ®ã ngêi thø hai lµm nèt nöa c«ng viÖc cßn l¹i th× toµn bé c«ng viÖc sÏ ®îc hoµn thµnh trong 9 ngµy.. Hái nÔu mçi ngêi lµm riªng th× sÏ hoµn thµnh[r]
Trang 1
Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 thpt
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
2
a a a
a P
a
2 1
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5 6
Bài 4: Cho biểu thức :
1 : 1
1
a a a a
a a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3
Bài 5: Cho biểu thức;
a a
a
a a
a a
1
1 1
1 : 1
) 1
2 1 2
1 1
: 1 1 2
2 1 2
1
x
x x x
x x
x x x
2
x
x x
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P0
Trang 2a a
a
a a
a
1
1 1
1
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P 1 a
Bài 9: Cho biểu thức:
1
1 1
1 1
2 :
x
x x
x x
a
a a
1
1 1
1
a) Rút gọn P
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
2 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức :
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x
2 3 3 2
11 15
x x
2
m x
m m
x
x m
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức :
Trang 3a a
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức
1 :
1 1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a=2 3 và b=
3 1
1 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4
Bài 17: Cho biểu thức :
1 1
1 1
a
a a
a a
a a a
a a a a
a
a
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:
1 2
1 2
2
a
a a
a a a
a
ab b
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=2 3 và b= 3
Bài 20: Cho biểu thức :
P=
2
1 : 1
1 1 1
x
x x
x x
: 1
1 1
2
x x
x x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tính Pkhi x=5 2 3
Bài 22: Cho biểu thức:
Trang 4
P=
x x
x
x
1 : 2 4
2 4
2 3 2
1 : 1
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :
y x
xy y
x x
y
y x y x
y x
b a a
ab b
a b b a a
ab b
3 1
3
1
2 1
1 2
a
a a a a a
a a
a) Rút gọn P
b) Cho P=
6 1
6
tìm giá trị của ac) Chứng minh rằng P>
3 2
Bài 26: Cho biểu thức:
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức:
b ab a
b a a
b a b b a a
a b
ab a
a
2 2
2
1 : 1 3
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức:
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
6 1
Bài 29: Cho biểu thức:
Trang 5
P=
3 3
3 3
: 1 1 2 1 1
xy y x
y y x x y x y x y x y
b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :
P=
x
x y xy x
x
x y
2 2
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=x11 x2x21 x1 không phụ thuộc vào m
x có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4x2 2xm 1 0 có hai nghiệm âm phân biệt
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị của a để x 12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
1 1 1
c b
CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0
0
2 2
c bx x
Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
4
) 1 ( 0 12 2 3 2
x m x
Trang 6
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 39: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
x2 4xm 1 0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2; hãy tìm một hệ thức liên hệgiữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 10x1x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hainghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
0
2
51
2 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Trang 7a có 2 nghiệm phân biệt x1; x2.Đặt S n x1nx2n (nnguyên dơng)
a) CMR a.S n2bS n1cS n 0
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
5 5
2 5 1 2
5 1
a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0có 2 nghiệm lớnhơn 2
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấunhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình Tính x 12 x22 theo m
3 2 1
2 2 2 1
2 1
55
610
6
x x x x
x x x x M
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để :
x1(1 2x2)x2(1 2x1) m2
Bài 49: Cho phơng trình
x2 mxn 3 0 (1) (n , m là tham số)
Cho n=0 CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ :
1
2 2
2 1
2 1
x x
x x
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của k sao cho
Trang 8
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 1 x1x2 6
1 1
y m x
m y x m
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
y x
2
y x
y x
1 1
x y
x y
ay bx
by x
x
m y mx
6 4
ay x
a) Có một nghiệm duy nhất
y xy x
y xy x
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
1 2 1
2
y x y
x m y x
y x
4
13 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :
Trang 90 3 4 2
2 2 2
2 3
b b a a
b b a
y x a
.
3 )
1 (
a) Giải hệ phơng rình khi a=- 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 62: Cho hàm số :
y= (m-2)x+n (d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng2+ 2
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : y 2x2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y mx 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y 2xm
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ
điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi
Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2 (m 1 )x (m 2 )y 2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y x2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P) y x2
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau
và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
Bài 67: Cho đờng thẳng (d) 3
Trang 10c) Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :
12 )
(
2 )
(
5 2 )
d
x y d
x y d
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 1 x 2 m
Bài 74: Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung
độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)Bài 76: Cho hàm số y x2 (P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì áp dụng: Tìm m sao cho khoảngcách giữa hai điểm A và B bằng 3 2
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (d1) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (d1) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số y a x2 (P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm toạ độcủa B và C Tính diện tích tam giác ABC
Trang 11b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi x ; A x B lần lợt là hoành độ của A và B Xác định m để x2A x B x A x B2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) 2
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P) 2
4
1
x
y và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m
a) Vẽ (P) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Trang 12
Bài 86: Cho (P) y 2x2
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị của m
và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1 )
(
) (
m y x d
cắt nhau tại một
điểm trên (P) y 2x2
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
1 chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy
đi từ B về A Hai xe gặp nhau tại thị trấn C Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đihết 4 giờ 30 phút Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn ờng dốc Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h Biếtrằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là
đ-3 giờ đ-30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xecon đi với vận tốc 45 Km/h Sau khi đi đợc
4
3 quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/htrên quãng đờng còn lại Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút
Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định Khi từ B về Angời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau Sau 1h40’thì gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10Km/h Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến mấy giờ họ gặpnhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau đó một thời gian, một ngời đi xemáy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ng ời đi xemáy tại B Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nênhai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h Khi đến B ngời đónghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết rằng thờigian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B về
A Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biếtrằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi
Trang 13
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h Lúc đầu ô tô
đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm
10 Km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng
đờng AB
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc
20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếptục chạy Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km Sau đó 1 giờ 30 phút , một ng ời đi xemáy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máygấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km Một lầnkhác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km Tính vận tốc dòng n-
ớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút Tínhvận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy
từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc củathuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trongmột thời gian đã định Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phảităng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định Sau khi
đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốcthêm 6 Km/h Tính vận tốc lúc đầu của ôtô
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km , ngời
đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốcthêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu
2 Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ Nếu mỗi đội làmmột mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày Nhng do cải tiến
kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã địnhtrong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợtmức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kếhoạch 10 tấn Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng Trứoc khi làm việc đội xe đó đ ợc bổ xungthêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biếtrằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoànthành đợc