caïnh beân SC taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 30.. Goïi H laø taâm cuûa hình vuoâng ABCD. a) Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích hình choùp S.ABCD theo a. Tính theå tích cuûa[r]
Trang 1THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo
ĐS: V = 2 (đvtt)
2 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 Tính thể tích của hình hộp
3
a 2
V
2 (đvtt)
3 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 Tính thể tích của khối hộp
ĐS: V =180 (đvtt)
2
3 ABCD
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy (ABCD) một góc Tính thể tích của hình hộp
5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) Mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc Tính thể tích khối chóp
Giải
Gọi M là trung điểm BC , vì
đl3đ (ABC)
ABC đều nên AM BC (1)
Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3)
Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA
a 3 SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = tan
2
ABC
Vậy thể tích hình chóp là V= S SA tan tan
6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc Tính thể tích của khối chóp
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S
ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC
Gọi M là trung điểm BC
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S
ABC
A.cos a.cos
SH = AH.tan acos tan asin
Mặt khác : AH = AM AM AH acos
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = acos 3acos
2
( 3acos ) 3 3 3a cos S
Vậy thể tích
ABC
của khối chóp là V = S SH asi n a cos sin
Trang 2a 3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2 mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b
) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải
a) Dựng SH (ABC)
a 3
Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC
2
H là tâm của đường tròn ngoại
2
tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC
SH SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH
AH
acr tan 2
c) Gọi M là trung điểm AB
đlí 3 đ
2
Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC
Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60
SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 AC 2MH ,
2 ( )a 2 (a 6)2 a 3 AB 2MB a 3
8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC
a) Tính thể tích khối chóp
S.ABC b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C'
HD
a) Ta có : V S SA a
b) Ta có :
BC AB
BC SA BC (SAB) BC AB' (1)
S.AB'C' AB'C'
ân tại A nên SB AB' (2)
Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C')
c) Ta có
SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB' SB'1SBa 2
Trang 3
2
3
SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3
SA SC'.SC SC'
a 2
1 a 3 a 2 a 6 a
Vậy V =
9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11
Giải
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD
Ta có : SH (AB
2 ABCD
1 CD) tại H và AH = AC 2
2
Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3
Vậy V = S SH 2 3 4
10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 Tính thể tích của hình chóp đó
SCD
Giải
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD
Cạnh đáy : a = 4 2
1
2 Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1
Vậy thể tích của khối chóp là V = S SH 4.1
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD
G
ABCD
ABCD
iải
AC
2
12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a
a) Tính diện tích SBD theo a
b) Chứng minh rằng : BD SC
c) Tính góc tạo
bởi SC và mặt phẳng (SBD) d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Trang 42
BCD
Giải
a) Ta có : SA (ABCD) Gọi H là tâm của hình vuông ABCD
1 Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S BD.SH
2
(SBD)
BD AC ( hai đường chéo hình vuông)
BD SA ( vì SA (ABCD))
c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí
3 2 ABCD
hàm số cosin trong SCH ta được :
d) V = S SA a a
12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a
b) Tính cosin của góc nhị diện (SBA,SAD)
2
3
ABCD
HD
a 3
4
b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhị diện (SAB,SAD)
Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được :
13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều
HD
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và
3 2
ABCD
mặt đáy là hình vuông ABCD có tâm H
Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH
a 2 Xét SAH vuông tại H nên SH = AH tan tan
2
14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều
Trang 5ABCD
HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH
a
2
15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
HD
Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB
đlí 3 đ
2
2 2
Khi đó : SH (ABCD) và HM AB
SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan )
(tan 1) SH ta
3
ABCD
2
Với điều kiện tan 1 0
16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng .
HD
Gọi BSH = Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB sin
BC 2SB (1 cos ) cos cos
2
cos cos
2 2
ABCD
4a sin
2
S =
cos
17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ
3 2
t đều thành hai phần bằng nhau nên :
Trang 618 Cho hình lập phương có cạnh bằng a Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt hình lập phương
Giải Khối lập phương có cạnh bằng a Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a 2 có AF = a , BD = a Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2 Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :
3 2
Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
( xem hình bài 17 )
19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đều
Giải Khối tám mặt đều được tạo thành có các cạnh bằng nhau và bằng a
2 Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC
Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD Tam giác APQ vuông tại P
2
2 2
ABCDEF
a PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ
2
RP cạnh RP = đường cao AO =
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
3 2
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD
2 a) Tính thể tích của khối chóp
tp
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD)
c) Tính S của hình chóp
Giải
a) Gọi O = AC BD
Trang 7SA SC
SO AC,AC (ABCD)
SO BD,BD (ABCD)
O là trung điểm AC và BD
O hc S SO là đường cao của S.ABCD
a 3
OA = ( đường cao ABD đều cạnh a )
2
SOA vuông tại O
2
ABCD
, ta có : SO = SA AC
b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))
SO
SCD
SCD
AC (SBD) (SAC) (SBD)
AC (SAC) (SBD)
c) S 4S S ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD )
Tính S : Vì nửa chu vi p =
Áp dụng công thức He-rông ta được : S p(p S
2
SCD
tp
D)(p SC)(p DC) a
p SD ( 5 2 3) (1)
4
a
p SC ( 3 5 2) (2)
4
a
p DC ( 3 5 2) (3)
4
a 11
a 11 a 3 a
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
ABC
1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a Tính thể tích của lăng trụ
Giải
Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C'
a 3 a
Ta có : V = AA'.S 2a
4
2
2
2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần c
2 ABC
ủa hình lăng trụ Giải
Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C'
ABC vuông tại B , AC = 13cm
Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ABC Điều kiện : 0 < x,y < 13
Trang 82 2 2 2
2
2 xq
3
tp xq đáy
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm
3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 Tính thể tích của khối lăng trụ
Giải
Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40
480 Chiếu cao của khối lăng trụ : h = 6
80 Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là :
S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180
Vậy thể tích khối l
ăng trụ : V = S.h = 1080
4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và có chiều cao bằng 8 Tính thể tích của khối lăng trụ
Giải
Gọi khối lăng t
rụ là ABC.A'B'C' Kẻ A'H (ABC) tại H
Ta có : H = hc A' AH = hc AA' (AA';(ABC)) A' AH 30
Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21
Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
A'HA vuông tại
1
H : A'H = AA'.sin30 8 4
2 Thể tích : V = S.h = 336
5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Tính thể tích của khối lăng trụ
Giải
Nửa
chu vi đáy : p = 19 20 37 38
2 Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76 Chiều cao : h =
76 Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114 2888
3
6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60 Đường thẳng
BC , tạo với mp(AA C C) một góc 30
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
(AA'C'C) (AA 'C'C)
Giải
a) Tính AC'
ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3
Ta có : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B
AC'= hc BC' (BC';(AA 'C'C)) BC'A 30
Trang 92 2 2 2 2
ABC
2
3 ABC.A B C ABC
AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3 tan30
b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a 3
S
2
a 3
2
ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C'
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) Tính thể tích của khối ABCC'B'
Giải
a 3 1 a 3 a 3
8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A lên mp (ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 Tính thể
ABC
tích của khối lăng trụ này
Giải
Theo đề : A'I (ABC)
A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S
a 3 ABC đều có đường cao AI =
2
ABC
Vì I = hc A' AI = hc AA'
(AA ';(ABC)) A 'AI 60
A 'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA 3
3a a 3 3 3a Vậy : V = A'I.S
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
a) Tính the
å tích của khối lăng trụ đó
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ
Giải
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
ABC
Vì A'A = A'B = A'C nên A'O mp(ABC)
Vậy : A'AO 60
a 3 Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO 3 3 a
3
Vậy thể tích cần tìm là V = S A 'O a
2
xq AA 'B'B BB'C'C
b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB Ta có :
a 3
3
10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N
Trang 103 C.A'AB A'.ABC ABC
a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB
b) Chứng minh rằng : AN A'B
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN
d) Tính diện tích AMN
Giải
b) Ta có :
A'.AMN M.AA'N M.AA'B
CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB)
Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN))
Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường )
C.AA'B 3
A'.AMN
= V ( do MC//(AA'B)) = a
d) S
a (2a) (3a)
11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng
a 3 a) Chứng minh rằng : AB' =
2sin b) Tính diện tích xung quanh của lăng
trụ c) Tính thể tích của lăng trụ
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC
AI BC
Ta có : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I
AI BB'
AB'I vuông tại I , ta có : AB' =
sin 2sin b) AB'
2
xq
ABC
12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc Gọi I là trung điểm cạnh AA
Biết BIC = 90
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân
b) Chứng minh : tan + tan 1
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC
ABC cân tại A nên AH BC (1)
Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2)
Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )
BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I
Trang 11AH 2AH b) AHB vuông tại H cho tan =
Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC
CC' AA' BCC' cho tan =
Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH
B Chia hai vế cho
C ta được :AA' 4AH 1 tan tan 1
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC ĐS : V = a3
8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB Biết AB = BC a 3, SA = a Tính thể tích của khối chóp S.ABC
3 a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy góc 60 Tính th ể tích khối chóp đó ĐS : V = 16 3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD =
2 a) Tính thể tích của khối chóp
3 S.ABCD
2
a 5
V =
12 b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD)
a c) Tính S của hình chóp S ( 2
2
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b Tính thể tích hình chóp ấy
HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể m BC , ta được :
2
6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB
a) Tính thể tích của khối chóp H.ABC VH.ABC a 33
7 b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK)
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK
3 H.ABC 2a 3 V
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a
3
a 2
V =
2
Trang 128 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy và SA = 2a
a) Tính thể tích của khối chóp b)
tp
tp
Tính S của khối chóp
Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)
9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với mặt đáy một góc 60 a) Tính thể tích của khối chóp b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy
2 2 Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=
2 SBD
AB= a a) Tính diện tích SBD theo a
b) Chứng minh rằng : BD SC
c) Tính (SC,(SBD))
d) Tính thể tích hình chóp
a 3 Đáp số : a) S c) HS
2
3 S.ABCD
C = arccos d) V
3
11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau
h 3 Tính thể tích lăng trụ đó V=
4
12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm M Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC a) Chứng minh rằng : MC (BHK) , HK (BMC)
b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC
3 a
V =
48 1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3 diện ABMD và ABMC ABDM
ABCM
V Đáp số : 2
14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C
A.BB'C'C ABC.A'B C
Đáp số :