Bài tập lý thuyết đồ thị

Bài tập lý thuyết đồ thị

B1 Cho các đồ thị sau, hãy lập ma trận kề của chúng(ma trận zêrô-một).

1

2

3

4

5

3 4

3 1

1

5

2 1

2

4

2 2

B2 Các đồ thị sau, đồ thị nào là đồ thị Euler, nửa Euler, Hamilton, nửa Hamilton?Vì sao?

A

B

C

F

D

E

G

H

I

2 3 4 5 1 6 1 2 3 4

6 7 8 9 J

K

Đồ thị A,J có đường đi euler và có 2 đỉnh bậc lẻ -> là đồ thị nửa euler

Đồ thị B,K có đường đi euler và có 1 đỉnh bậc lẻ -> là đồ thị nửa euler

Đồ thị F có tất cả các đỉnh bậc chẵn nên nó là dồ thị euler

Đồ thị I tất cả các đỉnh có bậc vào bằng bậc ra nên nó là đồ thị euler

Đồ thị I có tất cả các đỉnh có bậc lớn hơn n/2 ( n là số đỉnh) nên nó là đồ thị Hamilton

A B

E

21

F G C D 11 3 8 9 7 14 8 21 16 4 10 5

14 4 B3 Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến các đỉnh khác.Độ dài là bao nhiêu ?

a) Thuật toán:

Nếu L(v) > L(u) + w(u,v) → L(v) := L(u) + w(u,v)

Giải thích ký hiệu:

14,a: 14: độ dài từ đỉnh xuất phát đến đỉnh v

a: Tên đỉnh trước đỉnh v để có độ dài bằng d(v)

∞: ko có cạnh nối

* : Cố định nhãn và dừng với đỉnh đó

- : Ko xét đỉnh đó nữa

Vòng lặp Đỉnh A Đỉnh B Đỉnh C Đỉnh D Đỉnh E Đỉnh F Đỉnh G

-Độ ngắn nhất từ A đến B là 14, đường đi a,b

A đến C là 16, đường đi : a,e,g,c

A đến D là 14, đường đi : a,e,d

A đến E là 4, đường đi : a,e,

A đến F là 8, đường đi a,f

A dến G là 13, đường đi a,e,g b) Với đồ thị đã cho như hình bài 4 tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến đỉnh D trong

đồ thị tương ứng không có trọng số ( coi trọng số của các cạnh bằng nhau và bằng 1 đơn vị dài)

Thuật toán:

Xuất phát gán nhãn (0)

Kề nhãn (0) gán nhãn (1)

Dừng khi đích có nhãn

Nhãn đỉnh đích là đường đi ngắn nhất

Bài toán:

Xuất phát gắn nhãn (0) cho đỉnh A

Kề với nhãn (0) gán nhãn (1) cho đỉnh B, đỉnh E, đỉnh F

Kề với nhãn (1) gán nhãn (2) cho đỉnh C, đỉnh C, đỉnh D

KL: Đường đi ngắn nhất A→D có 2 cạnh

Liệt kê đường đi: AE, ED

G

D

21

B4 Tìm cây khung nhỏ nhất theo thuật toán Kruskal và Prim cho bởi đồ thị sau:

1 2 7 3 4 5 6 11 13 16 9 12 18 7 20 10 11

Thuật toán Kruskal :

Chọn cạnh Min cho đồ thị có n đỉnh

Chọn cạnh Min trong các cạnh còn lại bổ sung vào cây sao cho ko tạo thành chu trình

Dừng lại khi số cạnh = (n-1)

Số đỉnh của cây là n=7 => số cạnh của cây khung nhỏ nhất là 7-1 = 6 cạnh

12 (2,4) Không chọn vì tạo thành chu trình 2,4,7,2 5

Độ dài của cây khung nhỏ nhất là 7+9+10+11+11+13 = 61

11 13 9 7 10 11

5 2

1

6 4

Thuật toán prim

Số đỉnh của cây là n=7 => số cạnh của cây khung nhỏ nhất là 7-1 = 6 cạnh

Vòng

lặp

K.tạo - 18,1 7,1

*

*

- - 13,4 16,4 - 1,3,7,4 (1,3),(1,7),(7,4)

*

16,4 - 1,3,7,4,2 (1,3),(1,7,),(7,4),

(7,2)

(7,2),(4,5)

(7,2),(4,5),(5,6)

B5 Thuật toán tô màu đồ thị:

Mỗi môn thi tương ứng 1 đỉnh

Cặp môn thi có chung sinh viên tương ứng với 1 cạnh nối với 2 đỉnh biểu diễn cho 2 môn thi đó

Để ko có sv nào phải thi lại 2 môn cùng 1 đợt thi thì 2 đỉnh biểu diễn 2 môn thi

đó là 2 đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau → Bài toán tô màu đỉnh của đồ thị sao cho

số màu cần tô là ít nhất

Số màu là số đợt thi

Thuật toán:

Sắp xếp số bậc của đỉnh theo thứ tự giảm dần:

Deg (4) = deg (7) = 4

10

5 2

1

7

6

4

10

Deg(1) = deg(2) = 3 Deg (3) = deg (5) = deg (6) = 2

- Tô màu (1) cho đỉnh 4

+ đỉnh 1 không kề với đỉnh 4: tô màu (1)

+ các đỉnh còn lại đều kề với màu 1 nên không được tô màu 1 nữa

- Tô màu (2) cho đỉnh 7

+ Đỉnh 5 không kề với đỉnh 7: Tô màu (2)

+

- Tô màu (3) cho đỉnh 2

+ Đỉnh 3 không kề với đỉnh 2: Tô màu (3)

+ Đỉnh 6 không kề với đỉnh 2 và đỉnh 3: Tô màu 3

Màu 1: đỉnh 4, đỉnh 1

Màu 2: đỉnh 7, đỉnh 5

Màu 3: đỉnh 2, đỉnh 3, đỉnh 6

KL: có 3 đợt thi:

Đợt 1: các môn 1, 4

Đợt 2: các môn 5, 7

Đợt 3: các môn 2, 3, 6

12 12

14 14

16 16