Cho đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến xAy.. Chứng minh BN song song với OM b.. Chứng minh MP vuông góc với xAy c.. Chứng minh tam giác OSM cân.
Trang 1PHÒNG GD ĐT CÀNG LONG ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI NĂM ( 2010-2011) MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian : 120 phút
Bài 1:1 Cho 1 2 2 5
4
P
x
−
a Rút gọn P nếu x≥0;x≠4 (1điểm )
b Tìm x để P = 2 (1điểm )
2 Rút gọn các biểu thức sau :
a ( )2 ( )6
1− 2 − 3 2 2+ + −2 (1điểm )
b 24 8 5− − 9 4 5+ (1điểm )
Bài
2 : Với ba số a,b,c không âm , chứng minh bất đẳng thức (2 điểm )
a b c+ + ≥ ab+ ac+ bc
Bài 3: 1 Cho đường thẳng D: y= −(1 4m x m) + −2.Tìm m để :
a Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ (0.5điểm )
b Đường thẳng D tạo với Ox một góc nhọn ? Góc tù ? 0.5điểm )
2 Cho hai đường thẳng (D1): y = m(x+ 2) và (D2): y = (2m- 3)x+ 2
Với giá trị nào của m thì :
a (D1) song song với (D2 ) (0.5điểm )
b (D1) vuông góc với (D2) (0.5 điểm )
Bài 4: 1) Cho hệ phương trình : 25x x y+3y m= 1
− + = −
a Giải hệ phương trình khi m = 3 (1 điểm )
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) dương (1điểm)
2) Giải hệ phương trình :
3
1 2
5
(2điểm )
Bài 5: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD vuông góc với
nhau Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh rằng
OM ON OP OQ+ + + =12(AB BC CD DA+ + + )
Bài 6: (4 điểm) Cho đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến xAy Lấy điểm M khác
A trên xy, vẽ tiếp tuyến thứ hai MN
a Chứng minh BN song song với OM
b Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BN tại P Chứng minh MP vuông góc với xAy
c Đường thẳng ON và MP cắt nhau tại S Chứng minh tam giác OSM cân
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1
1a
1b
2a
2b
Baì 2
Bài 3
1a
1b
2a
2b
2
P
x x
x
=
−
−
+
2
x
+
2a
( )
3
2b
Khi a,b,c không âm ta có ( )2
a− b ≥ ⇒ + ≥a b ab (1) Tương tự ( )2
b− c ≥ ⇒ + ≥b c bc (2) ( )2
a− c ≥ ⇒ + ≥a c ac (3) Cộng 1, 2 và 3 theo vế ta được a b b+ + ≥ ab+ bc+ ac
Để D qua gốc tọa độ thì b = 0 tức là m – 2 = 0 ⇒m = 2
Để D tạo với Ox một góc nhọn thì a>0 tức là 1 4 0 1
4
− > ⇒ <
Để D tạo với Ox một góc tù thì a<0 tức là 1 4 0 1
4
− < ⇒ >
Để hai đường thẳng song song khi a = a’ tức là :
m = 2m – 3 ⇒ − = − ⇒ =m 3 m 3; b b≠ ⇔, 2m≠ ⇔ ≠2 m 1
Vậy khi m = 3 và m≠ 1 thì hai đường thẳng song song
Để hai đường thẳng vuông góc khi a a’ = -1 tức là :
0.5
0.5 1
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5
0.5 0.5 0.5 0.25 0.25
0.25
Trang 3Bài 4
1a
1b
Bài 5
2
1
2
m
m
=
=
Vậy khi m = 1 hoặc khi m = 1
2 thì hai đường thẳng vuông góc Thế m = 3 vào hệ phương trình giải hệ phương trình ta được
(x ; y) = ( 6 13;
17 17) Biến đổi hpt thành : 10 15 50
x y
− + = −
sử dụng phương pháp cộng
tìm được x = 3
17
m+
; y = 5 2
17
m−
Để hpt có nghiệm (x ; y ) dương thì x> 0 và y > 0
3
17
m
x> ⇔ + > ⇔ + > ⇔ > −m m
(1)
m
y> ⇔ − > ⇔ m− > ⇒ >m
(2) Kết hợp (1) và (2) ta được 2
5
m>
Vẽ hình :
a
O
N
C
P D
Q A
M
B
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác MNPQ là hình bình hành
Mà AC ⊥BD
MQ//BD suy ra AO ⊥ MQ ⇒ AC ⊥ MQ mà AC // MN
⇒MQ ⊥MN ⇒ QMNˆ =900
Vậy MNPQ là hình chữ nhật
0.25
0.5
0.25
0.25 0.25
0.25
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 4Baì 6
1
2
c Xét tam giác vuông OAB có :
OM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB
⇒OM = 1
2AB(1) Chứng minh tương tự ta có :
ON = BC OP= CD OQ= AD
Cộng (1),(2),(3) và (4) theo vế ta được
1 2
OM ON OP OD+ + + = AB BC CD DA+ + +
Vậy : OM ON OP OD+ + + =12(AB BC CD DA+ + + )
Vẽ hình :
M
I
N
A
y
x
Gọi I là giao điểm của MO và AN
BN song song với OM
Theo định lí hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được tam giác
AMN cân tại M có MO là đường phân giác nên MO là đường
trung tuyến
Xét tam giác ANB có OI là đường trung bình ⇒ OI//BN
⇒OM//BN
Chứng minh MP ⊥ xAy
Xét tam giác vuông OAM và tam giác vuông OBP có
MA = OP
AOMˆ =OBPˆ ( hai góc đổng vị )
tam giác vuông OAM = tam giác vuông OBP
⇒OB = MP ( Hai cạnh tương ứng) (1)
Mà OM// PB (2)
0.25
0.75
0.75 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 5Từ (1) và (2) Suy ra tứ giác OBOM là hình bình hành
⇒ OB // MP
Mà OB⊥xAy
⇒ MP ⊥xAy
Chứng minh tam giác OSM cân tại S
Xét tam giác vuông NMS và tam giác vuông POS có
OP = MN ( Cùng bằng đoạn MA )
Mà SMNˆ =SOPˆ ( Cùng phụ với góc S )
tam giác vuông NMS = tam giác vuông POS
SM SO
Vậy tam giác OSM cân tại S
HẾT
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25