- Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài.. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.. 4điểm Cho hình bình hành ABCD có BD = 3AD.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
Trang 1UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học: 2010 – 2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 16/01/2011
Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang.
- Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Câu 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x6 – x4 – 2x3 + 2x2
b) xk+3 – xk + x – 1
Câu 2 (3 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên:
3
14 6
3
x
x x
A
Câu 3 (3 điểm) Tìm x, biết:
a) ( 5 4 ) 2011 ( 5 4 ) 2010
x
351
7 7
7 91
9 9
Câu 4 (3 điểm)
a) Cho hai đa thức: P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m + 1)x + m2
với m R Tìm m khi P(1) = Q(-1).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bx4 10x2 2036
Câu 5 (4điểm)
Cho hình bình hành ABCD có BD = 3AD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và CD Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = EF = FD
a/ Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật
b/ Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông?
Câu 6 (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A < 120o Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE
a) Chứng minh rằng BE = CD
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD Tính góc BIC ?
– Hết –
HƯỚNG DẪN CHẤM
Đề chính thức
Trang 2ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8, NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang)
Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa.
1
(3đ)
a) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 = x2 (x4 – x2 – 2x + 2) = x2 [(x4 – 2x2 + 1) + (x2 – 2x + 1)]
= x2 [(x2 – 1)2 + (x – 1)2]
= x2 (x – 1)2 [(x+1)2 + 1]
= x2 (x – 1)2 (x2 + 2x + 2)
b) xk+3 – xk + x – 1 = xk (x3 – 1) + (x – 1)
= xk (x – 1) (x2 + x + 1) + (x – 1)
= (x – 1)[xk (x2 + x + 1) + 1]
= (x – 1)(xk+2 + xk+1 + xk + 1)
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
31 15 3 3
14
3
x x
x x
x x
A
Nếu tồn tại giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên
thì x2 – 3x +15 có giá trị nguyên và 313
x cũng có giá trị nguyên
Khi đó: x + 3 là ước của 31
Tập hợp các ước của 31 là: 1 ; 1 ; 31 ; 31
- Nếu x + 3 = – 1 thì x = – 4.
- Nếu x + 3 = 1 thì x = – 2.
- Nếu x + 3 = – 31 thì x = – 34.
- Nếu x + 3 = 31 thì x = 28.
Vậy với x = – 4; x = – 2; x = – 34; x = 28 thì giá trị của biểu thức A là
số nguyên
0,5đ
0,5đ 0,5đ
1đ
0,5đ
3
(3đ)
a) ( 5x 4 ) 2011 ( 5x 4 ) 2010 (5x – 4)2011 – (5x – 4)2010 = 0
(5x – 4)2010(5x – 5) = 0
5x – 4 = 0 hoặc 5x – 5 = 0
x = 54 hoặc x = 1
b)
351
7 7 7 91
9 9
x
351
) 7 7 1 ( 7 91
) 1 9 9 (
x
9x = 49x 1
49
9
x
0
49
9 49
9
0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
4
(3đ)
a) Khi: P(1) = Q(-1); ta được:
1 + 2m + m2 = 1 – 2m – 1 + m2
2m + 2m = – 1
4m = – 1 m = -1
4 b) Bx4 10x2 2036
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 3
5 2011 2011 2011 25 10 2011 25 10 2 2 2 4 2 4 x x x x x Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2011 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 (4đ) 2 2 1 1 N M C B E F A D a/ BME = DFN (c.g.c) ME = NF và E ˆ 1 Fˆ 1 E ˆ2 Fˆ2 nên ME // NF Vậy tứ giác MENF là hình bình hành Ta lại có: Tứ giác AMND là hình bình hành AD = MN Mà BD = 3AD nên BD = 3 MN Mặt khác BD = 3 EF nên MN = EF Vậy MENF là hình chữ nhật b/ Hình chữ nhật MENF là hình vuông MN EF MN BD AD BD (vì MN // AD) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 6 (4đ)
K
a) Hai tam giác ADC và ABE có: AD = AB (vì ABD đều)
DÂC = BÂE (= 60o + BÂC)
AC =AE (vì ACE đều )
Vậy ADC = ABE (c-g-c) Suy ra CD = BE
b/ Từ ADC = ABE ta có:A DˆCA BˆE
Gọi K là giao điểm của AB và CD Xét hai tam giác AKD và IKB, Chúng có hai góc bằng nhau từng đôi một: B K I D K Aˆ ˆ (đối đỉnh) K B I K D Aˆ ˆ (Vì A DˆCA BˆE)
Vậy hai góc còn lại của hai tam giác ấy bằng nhau: K AˆDK IˆB
Mà K ˆ A D= 60o Vậy Kˆ I B= 60O Ta suy ra Bˆ I C = 180 0 Kˆ I B = 120o
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Hết
E A
D
I